Négligeabilité

En analyse mathématique, la Modèle:Terme défini ou Modèle:Terme défini relie deux fonctions à valeurs dans <math>\R</math> ou <math>\C</math>, formalisant la notion que l'une devient insignifiante devant l'autre au voisinage d'un point ou de l'infini.

Par exemple, avec <math>f : x \mapsto x^2</math> et <math>g : x \mapsto 3x</math>, quand <math>x \rightarrow \pm \infty</math>, <math>3x</math> devient arbitrairement petit devant <math>x^{2}</math>. On dit alors que <math>g</math> est négligeable devant <math>f</math> ou que <math>f</math> est prépondérante devant <math>g</math> au voisinage de l'infini, ce que l'on note <math>g \ \underset{ { \infty }} = \ o(f).</math>

Avec la domination et l'équivalence, la négligeabilité est une relation de comparaison. Elle est transitive, mais n'est ni réflexive, ni symétrique.

Définition

Soient <math>f</math> et <math>g</math> deux fonctions définies sur une partie <math>I</math> de <math>\R</math> à valeurs dans <math>\R</math> ou <math>\C</math>, et soit <math>a</math> un point adhérent à <math>I</math> (<math>a</math> peut être un réel, <math>+\infty</math> ou <math>-\infty</math>).

Ce qui est équivalent à  :

Une autre caractérisation plus commode dans le cas où <math>g</math> ne s'annule pas au voisinage de <math>a</math> est : Modèle:Énoncé

On écrit alors <math>f\,\underset a=\,o(g)</math>, qui se lit « <math>f</math> est un petit <math>o</math> de <math>g</math> au voisinage de <math>a</math> ». C'est une des notations de Landau.

Dans le cas où <math>g</math> ne s'annule pas au voisinage de <math>a</math> mais s’annule en <math>a</math>, f est négligeable devant g au voisinage de <math>a</math> si :

<math>\lim_{\underset{x\neq a}{x\to a}} \dfrac{f(x)}{g(x)}=0</math> et si <math>f(a)=0</math>

Propriétés

• Si <math>f_1\,\underset a=\,o(g)</math> et <math>f_2\,\underset a=\,o(g)</math> alors <math>f_1 +f_2\,\underset a=\,o(g)</math>.
• Si <math>f_1\,\underset a=\,o(g_1)</math> et <math>f_2\,\underset a=\,O(g_2)</math> alors <math>f_1f_2\,\underset a=\,o(g_1g_2)</math>,

  en particulier, si <math>f_1\,\underset a=\,o(g)</math> et <math>f_2</math> est bornée au voisinage de Modèle:Mvar, alors <math>f_1f_2\,\underset a=\,o(g)</math>.

• Si <math>f\,\underset a=\,o(g)</math> et <math>g\,\underset a=\,O(h)</math>, ou si <math>f\,\underset a=\,O(g)</math> et <math>g\,\underset a=\,o(h)</math>, alors <math>f\,\underset a=\,o(h)</math>

  en particulier, <math>\,\underset a=\,o</math> est transitive.

• <math>f\,\underset a\sim\,g \Leftrightarrow f-g\,\underset a=\,o(g)\Leftrightarrow f\,\underset a=\,g+o(g)</math>.

Partie principale d'une fonction par rapport à une échelle

Échelle de comparaison

Une échelle de comparaison <math>E_a</math> est<ref>Modèle:Ouvrage.</ref> une famille de fonctions définies au voisinage de Modèle:Mvar (sauf peut-être en Modèle:Mvar), non équivalentes à 0 en Modèle:Mvar, telle que :

<math>\forall(f,g)\in {E_a}^2\quad f\ne g\Rightarrow\left(f\,\underset a=\,o(g)\text{ ou }g\,\underset a=\,o(f)\right)</math>.

Définition

Soient Modèle:Mvar une fonction définie dans un voisinage Modèle:Mvar de Modèle:Mvar (sauf peut-être en Modèle:Mvar), ne s'annulant pas sur <math>V\setminus\{a\}</math>, et <math>E_a</math> une échelle de comparaison en Modèle:Mvar.

On dit que Modèle:Mvar admet la fonction <math>g \in E_a</math> comme partie principale par rapport à l'échelle <math>E_a</math> s'il existe un réel Modèle:Mvar non nul tel que <math>f\,\underset a\sim\,Ag</math> (ou <math>f\,\underset a=\,Ag + o(g)</math>)<ref>Modèle:Harvsp.</ref>.

Propriétés

• Unicité en cas d'existence
• Soient <math>f_1</math> et <math>f_2</math> admettant respectivement <math>g_1</math> et <math>g_2</math> comme partie principale par rapport à l'échelle de comparaison <math>E_a</math>.

1. La partie principale de <math>f_1f_2</math> par rapport à l'échelle de comparaison <math>E_a</math> est la même que celle de <math>g_1g_2</math>.
2. Si <math>g_1\,\underset a=\,o(g_2)</math> alors <math>g_2</math> est la partie principale de <math>f_1+f_2</math> par rapport à l'échelle de comparaison <math>E_a</math>.
3. Si <math>g_1 = g_2</math> et <math>A_1+A_2\ne0</math> alors <math>(A_{1}+A_{2})g_1</math> est la partie principale de <math>f_1+f_2</math> par rapport à l'échelle de comparaison <math>E_a</math>.

Comparaison pour les suites

Une suite n'est qu'un cas particulier de fonction, définie sur <math>I=\N</math>, auquel <math>a=+\infty</math> est adhérent.

Par conséquent, une suite <math>(u_n)</math> de nombres réels est négligeable devant une suite réelle <math>(v_n)</math> si et seulement si :

il existe une suite <math>(\varepsilon_n)</math> de limite nulle telle que, à partir d'un certain rang, <math>u_n=\varepsilon_nv_n</math>

ou encore :

<math>\forall\varepsilon>0\quad\exists N\in\N\quad\forall n\ge N\quad|u_n|\le\varepsilon|v_n|</math>,

ce qui, lorsque <math>(v_n)</math> ne s'annule pas à partir d'un certain rang, équivaut à :

<math>\lim_{n\to+\infty}\frac{u_n}{v_n}=0</math>.

On note : <math>u_n=o(v_n)</math>.

Voir aussi

Modèle:Autres projets Propriété N de Luzin