Nombre cabtaxi

En mathématiques récréatives, le n-ième nombre cabtaxi, souvent noté Cabtaxi(n), est défini comme le plus petit entier strictement positif pouvant s'écrire d'au moins n façons différentes (à l'ordre des termes près) comme somme de deux cubes d'entiers relatifs. Les nombres cabtaxi existent pour tout n ≥ 1 puisqu'il en est de même pour les nombres taxicab<ref>Modèle:HardyWright, Thm. 412.</ref> ; mais seulement dix d'entre eux sont prouvés (Modèle:OEIS) :

Nombres cabtaxi connus

<math>\begin{matrix}Ca(1)&=&1\\&=&1^3+0^3\\\\\end{matrix}</math>

<math>\begin{matrix}Ca(2)&=&91\\&=&3^3 + 4^3 \\&=&6^3 - 5^3\\\\\end{matrix}</math>

<math>\begin{matrix}Ca(3)&=&728\\&=&6^3 + 8^3 \\&=&9^3 - 1^3 \\&=&12^3 - 10^3\\\\\end{matrix}</math>

<math>\begin{matrix}Ca(4)&=&2741256\\&=&108^3 + 114^3 \\&=&140^3 - 14^3 \\&=&168^3 - 126^3 \\&=&207^3 - 183^3\\\\\end{matrix}</math>

<math>\begin{matrix}Ca(5)&=&6017193\\&=&166^3 + 113^3 \\&=&180^3 + 57^3 \\&=&185^3 - 68^3 \\&=&209^3 - 146^3 \\&=&246^3 - 207^3\\\\\end{matrix}</math>

<math>\begin{matrix}Ca(6)&=&1412774811\\&=&963^3 + 804^3 \\&=&1134^3 - 357^3 \\&=&1155^3 - 504^3 \\&=&1246^3 - 805^3 \\&=&2115^3 - 2004^3 \\&=&4746^3 - 4725^3\\\\\end{matrix}</math>

<math>\begin{matrix}Ca(7)&=&11302198488\\&=&1926^3 + 1608^3 \\&=&1939^3 + 1589^3 \\&=&2268^3 - 714^3 \\&=&2310^3 - 1008^3 \\&=&2492^3 - 1610^3 \\&=&4230^3 - 4008^3 \\&=&9492^3 - 9450^3\\\\\end{matrix}</math>

<math>\begin{matrix}Ca(8)&=&137513849003496\\&=&22944^3 + 50058^3 \\&=&36547^3 + 44597^3 \\&=&36984^3 + 44298^3 \\&=&52164^3 - 16422^3 \\&=&53130^3 - 23184^3 \\&=&57316^3 - 37030^3 \\&=&97290^3 - 92184^3 \\&=&218316^3 - 217350^3\\\\\end{matrix}</math>

<math>\begin{matrix}Ca(9)&~=&424910390480793000\end{matrix}</math>

<math>\begin{matrix}Ca(10)&=&933528127886302221000\end{matrix}</math>

Les nombres Cabtaxi(5), Cabtaxi(6) et Cabtaxi(7) ont été trouvés par Randall L. Rathbun en 1992, Cabtaxi(8) a été trouvé par Daniel J. Bernstein en 1998, Cabtaxi(9) a été trouvé par Duncan Moore en 2005, Cabtaxi(10) a été identifié par Christian Boyer en 2006 et confirmé par Uwe Hollerbach en 2008<ref>Modèle:Lien web</ref>.

Majorants de nombres cabtaxi

De tels nombres plus grands sont connus, mais on ne sait pas encore si ce sont les plus petits possibles à répondre aux exigences Cabtaxi. L'entier <math>\operatorname{Ca}(n)</math> est le plus petit qui est somme ou différence de deux cubes de <math>n</math> façons différentes. Si on trouve un entier <math>m</math> qui est somme de deux cubes de <math>n</math> façons différentes, on a donc <math>\operatorname{Ca}(n)\le m</math>. On a ainsi de tels exemples pour <math>n</math> allant de 11 à 42. A titre d'exemple, on a<ref>Modèle:Article</ref> :

<math>Ca(12)\le 10^{24}</math>

<math>Ca(22)\le 10^{58}</math>

<math>Ca(32)\le 10^{95}</math>

<math>Ca(42)\le 10^{158}</math>

Voir aussi

Nombre taxicab généralisé