Nombre de Bell

En mathématiques, le n-ième nombre de Bell (du nom de Eric Temple Bell) est le nombre de partitions d'un ensemble à n éléments distincts<ref>Les éléments d'un ensemble sont toujours distincts dans la théorie des ensembles usuelle, mais ce n'est pas le cas dans la théorie des multiensembles. Et, le nombre de partition d'un ensemble à n éléments indiscernables est le nombre de partitions d'un entier.</ref> ou, ce qui revient au même, le nombre de relations d'équivalence sur un tel ensemble.

Premières propriétés

• Ces nombres forment la suite d'entiers Modèle:OEIS2C de l'OEIS, dont on peut calculer à la main les premiers termes :<math>B_0=1,\quad B_1=1,\quad B_2=2,\quad B_3=5,\quad B_4=15,\quad B_5=52,\quad B_6=203,\quad B_7=877,\quad\ldots</math>Le premier vaut 1 car il existe exactement une partition de l'ensemble vide : la partition vide, formée d'aucune partie. En effet, ses éléments (puisqu'il n'y en a aucun) sont bien non vides et disjoints deux à deux, et de réunion vide.
• Les <math>B_3=5</math> partitions de <math>\{a,b,c\}</math> sont <math>\{\{a\},\{b\},\{c\}\}</math>, <math>\{\{a,b,c\}\}</math>, et les trois partitions du type <math>\{\{a\},\{b,c\}\}</math>.
• Les nombres de Bell peuvent aussi se calculer de proche en proche par la relation de récurrence suivante, parfois nommée « relation d'Aitken »<ref>Modèle:Article</ref> et en fait due au mathématicien japonais du Modèle:Lien siècleModèle:Vérification siècle Yoshisuke Matsunaga<ref>Modèle:Ouvrage</ref>:<math>B_{n+1}=\sum_{k=0}^{n}{n \choose k} B_k,</math>qui peut se démontrer ainsi :
  Ayant fixé un élément Modèle:Mvar dans un ensemble à Modèle:Mvar + 1 éléments, on trie les partitions suivant le nombre k d'éléments hors de la partie contenant x.
  Pour chaque valeur de Modèle:Mvar de 0 à Modèle:Mvar, il faut donc choisir Modèle:Mvar éléments parmi les Modèle:Mvar éléments différents de Modèle:Mvar, puis s'en donner une partition.
• Les sept plus petits nombres de Bell premiers sont B₂ = 2, B₃ = 5, Modèle:Nobr Modèle:Nobr Modèle:Nobr Modèle:Nobr et B₂₈₄₁ (cf. suites Modèle:OEIS2C et Modèle:OEIS2C de l'OEIS). On ignore s'il en existe d'autres.

Série génératrice

Pour manipuler tous les nombres de Bell, on peut s'intéresser aux séries génératrice et génératrice exponentielle associées, qui sont respectivement :

<math>G(X)=\sum_n B_nX^n \text{ et } E(X)=\sum_n \frac{B_n}{n!}X^n=1+X+2 \frac{X^2}{2!}+5 \frac{X^3}{3!} + 15 \frac{X^4}{4!} + \ldots</math>

La première est par exemple<ref>Modèle:Article</ref> utilisée pour étudier les classes de congruence des <math>B_n</math>. Quant à la seconde série formelle, elle satisfait l'équation différentielle <math>E'(X)=\mathrm{e}^XE(X)</math> : on le constate en écrivant la formule de récurrence sous la forme

<math>\frac{B_{n+1}}{n!}=\sum_{k+l=n}\frac{1}{k!}\frac{B_l}{l!}~.</math>

On en déduit qu'elle est égale à <math>\mathrm{e}^{\mathrm{e}^X}</math> à une constante multiplicative près (qu'on trouve par identification du terme constant) :

<math>E(X)=\mathrm{e}^{\mathrm{e}^X-1}.</math>

L'identification des coefficients conduit à la formule de Dobinski :

<math>B_n=\frac{1}{\mathrm{e}}\sum_{k=0}^\infty \frac{k^n}{k!}</math>

qui est le moment d'ordre n d'une loi de Poisson de paramètre 1.

D'autres propriétés

Ils satisfont également à la congruence de Touchard : si p est un nombre premier quelconque alors

<math>B_{p+n}\equiv B_n+B_{n+1}\mod p.</math>

Chaque nombre de Bell est une somme des nombres de Stirling de seconde espèce :

<math>B_n=\sum_{k=0}^n S (n, k)=\sum_{k=0}^n \left\{\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right\}.</math>

Plusieurs formules asymptotiques pour les nombres de Bell sont connues ; l'une d'elles est

<math>B_n \sim \frac{1}Modèle:\sqrt n\left[ {\frac{n}{W(n)}} \right]^{n + \frac{1}{2}} e^{\frac{n}{W(n)} - n - 1},</math>

où W est la fonction W de Lambert ; on obtient une approximation moins précise, mais plus commode d'emploi, à l'aide de l'encadrement <math>\ln x-\ln\ln x<W(x)<\ln x</math> ; on pourra également remarquer la similitude de l'approximation précédente avec la formule de Stirling<ref>On trouvera d'autres approximations de B_n sur Modèle:MathWorld.</ref>.

Voir aussi

• Les nombres de Bell ordonnés, qui dénombrent les partitions ordonnées.
• Le triangle de Bell, qui permet d'obtenir simplement les nombres de Bell

Bibliographie

• Modèle:Ouvrage