Nombre harmonique
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En mathématiques, le Modèle:Mvar-ième nombre harmonique est la somme des inverses des Modèle:Mvar premiers entiers naturels non nuls :
- <math>H_n=1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n=\sum_{k=1}^n\frac1k</math>.
Ce nombre rationnel est aussi égal à Modèle:Mvar fois l'inverse de la moyenne harmonique de ces entiers, ainsi qu'à la Modèle:Mvar-ième somme partielle de la série harmonique.
Les nombres harmoniques ont été étudiés pendant l'Antiquité et sont importants dans plusieurs domaines de la théorie des nombres. Ils apparaissent dans de nombreux problèmes d'analyse combinatoire.
Table des premiers nombres harmoniques
| Valeur de Modèle:Mvar | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Valeur de Modèle:Mvar<ref>Modèle:Ouvrage.</ref> | Modèle:Math<ref>Somme vide.</ref> | Modèle:Math | <math>\frac32</math> | <math>\frac{11}{6}</math> | <math>\frac{25}{12}</math> | <math>\frac{137}{60}</math> | <math>\frac{49}{20}</math> | <math>\frac{363}{140}</math> | <math>\frac{761}{280}</math> | <math>\frac{7129}{2520}</math> | <math>\frac{7381}{2520}</math> |
| Valeur approchée de Modèle:Mvar | 0 | 1 | 1,5 | 1,8 | 2,1 | 2,3 | 2,5 | 2,6 | 2,7 | 2,8 | 2,9 |
Les numérateurs et dénominateurs de ces rationnels forment, à partir de Modèle:Math, les suites d'entiers Modèle:OEIS2C et Modèle:OEIS2C de l'OEIS.
La sous-suite des numérateurs premiers est 3, 11, 137, 761, Modèle:Nombre, … (Modèle:OEIS2C) et les indices correspondants sont 2, 3, 5, 8, 9, … (Modèle:OEIS2C).
Comportement asymptotique
La suite des nombres harmoniques croît lentement.
La série harmonique diverge ; sa [[Somme infinie|somme est Modèle:Math]]. On a le développement asymptotique suivant :
- <math>H_n=\ln n +\gamma+\frac1{2n}-\frac1{12n^2}+O\left(\frac1{n^4}\right),</math>
où <math>\gamma</math> est la constante d'Euler-Mascheroni ; plus généralement, la formule d'Euler-Maclaurin donne :
- <math>H_n=\ln n +\gamma+\frac1{2n}-\sum_{k=1}^p \frac{B_{2k}}{2k n^{2k}}+O\left(\frac1{n^{2p+2}}\right),</math>
où les <math>B_{2k}</math> sont les nombres de Bernoulli.
Propriétés
- <math>H_n=\frac1{n!}\left[\begin{matrix}n+1\\2\end{matrix}\right]</math>, où <math>\left[\begin{matrix} n+1\\ 2 \end{matrix}\right]</math> est un nombre de Stirling de première espèce.
- <math>H_n=\sum_{k=1}^n\binom nk\frac{(-1)^{k-1}}k</math><ref>Modèle:Note autre projet</ref>.
Le dénominateur de Modèle:Mvar (pour Modèle:Math) est divisible par<ref>Modèle:Harvsp.</ref> <math>2^{\lfloor\log_2n\rfloor}</math> donc (en omettant Modèle:Math) le seul nombre harmonique entier est Modèle:Math. D'après le théorème de Kürschák, Modèle:Math est même la seule somme d'inverses d'entiers naturels consécutifs qui soit entière.
Le postulat de Bertrand permet de démontrer<ref>Modèle:Ouvrage.</ref> que les deux seuls autres nombres harmoniques décimaux sont Modèle:Math et Modèle:Math.
Pour tout nombre premier Modèle:Math, le numérateur de Modèle:Math est divisible par Modèle:Math : voir « Théorème de Wolstenholme ».
Euler a donné la représentation intégrale suivante<ref>Modèle:Ouvrage.</ref> :
- <math>H_n=\int_0^1\frac{1-x^n}{1-x}\,\mathrm dx</math>,
en utilisant l'identité
- <math>\frac{1-x^n}{1-x}=1+x+\cdots+x^{n-1}</math>,
ce qui fournit un prolongement méromorphe <math>z\mapsto H_z</math>. En fait,
- <math>H_z=\sum_{k\ge1}\left(\frac1k-\frac1{k+z}\right)=\psi(z+1)+\gamma</math>,
où Modèle:Mvar est la fonction digamma.
Généralisation
On définit le Modèle:Mvar-ième nombre harmonique généralisé Modèle:Mvar d'exposant Modèle:Mvar comme la Modèle:Mvar-ième somme partielle de la série de Riemann d'exposant Modèle:Mvar :
Pour tout réel Modèle:Math, cette suite converge vers la valeur en Modèle:Mvar de la fonction zêta de Riemann :
- <math>\forall r>1\quad\lim_{n\to\infty}H_{n,r}=\zeta(r)</math>.
D'autres notations existent, comme Modèle:Math, prêtant à confusion avec les Modèle:Lien<ref>Modèle:MathWorld.</ref>.
Les numérateurs des nombres harmoniques généralisés d'exposant 2 sont appelés les nombres de Wolstenholme.
Exemples d'utilisation
Les nombres harmoniques apparaissent naturellement dans plusieurs problèmes de mathématiques récréatives, comme le problème d'empilage de blocs, le problème de la traversée du désert et le problème de la fourmi sur un élastique, ainsi que dans le problème du collectionneur de vignettes en théorie des probabilités.
