Nombre premier de Sophie Germain
Un nombre premier G est appelé nombre premier de Sophie Germain si 2G + 1 est aussi un nombre premier, qui est alors appelé nombre premier sûr et noté S dans ce qui suit.
Un corollaire du théorème de Sophie Germain est que pour ces nombres premiers, un cas particulier du dernier théorème de Fermat (le Modèle:Citation) est vrai, c'est-à-dire qu'il n'existe pas d'entiers x, y, z tous trois non divisibles par G tels que Modèle:Nobr
Il est conjecturé qu'il existe une infinité de nombres premiers de Sophie Germain ; cependant, comme pour la conjecture des nombres premiers jumeaux, cela n'a pour le moment pas été démontré.
Listes de nombres premiers de Sophie Germain
Les quarante-cinq premiers nombres premiers de Sophie Germain sont (voir Modèle:OEIS) :
2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, 173, 179, 191, 233, 239, 251, 281, 293, 359, 419, 431, 443, 491, 509, 593, 641, 653, 659, 683, 719, 743, 761, 809, 911, 953, 1 013, 1 019, 1 031, 1 049, 1 103, 1 223, 1 229 et 1 289.
Ils sont classés dans les deux tableaux ci-dessous, ordonnés sous la forme Gi inscrite en gras sous leur occurrence dans la liste complète des nombres premiers p, associés à leur nombre premier sûr noté Si = 2Gi + 1 dans la case immédiatement au-dessous.
Modèle:Démonstration/début Modèle:TI Les seize nombres premiers de Sophie Germain G compris entre 2 et 127 sont présentés dans le tableau 1 ci-dessous. À partir de 131, les nombres premiers ordinaires p intermédiaires ne sont plus indiqués.
décades d'entiers n |
première décade |
deuxième décade |
troisième décade |
quatrième décade |
cinquième décade |
sixième décade |
septième décade |
huitième décade |
neuvième décade |
dixième décade |
onzième décade |
douzième décade |
treizième décade |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
entiers n = | 00 à 09 | 10 à 19 | 20 à 29 | 30 à 39 | 40 à 49 | 50 à 59 | 60 à 69 | 70 à 79 | 80 à 89 | 90 à 99 | 100 à 109 | 110 à 119 | 120 à 127 |
premiers dont Gi et Si | -<ref group="n" name=0nonpremier>Le nombre 0 n'est pas premier. Par conséquent 1 = 2 × 0 + 1 n'est pas un nombre premier sûr.</ref> | 11 G4 et S3 |
23 G5 et S4 |
31 | 41 G7 |
53 G8 |
61 | 71 | 83 G9 et S7 |
97 | 101 | 113 G11 |
127 |
S | -<ref group="n" name=0nonpremier/> | S4=23 | S5=47 | - | S7=83 | S8=107 | - | - | S9=167 | - | - | S11=227 | - |
premiers dont Gi et Si | -<ref group="n" name=1nonpremier>Le nombre 1 n'est pas premier. Par conséquent 3 = 2 × 1 + 1 n'est pas un nombre premier sûr.</ref> | 13 | 29 G6 |
37 | 43 | 59 S6 |
67 | 73 | 89 G10 |
103 | (131) (G12) | ||
S | -<ref group="n" name=1nonpremier/> | - | S6=59 | - | - | - | - | - | S10=179 | - | (S12=263) | ||
premiers dont Gi et Si | 2 G1 |
17 | 47 S5 |
79 | 107 S8 |
(173) (G13) | |||||||
S | S1=5 | - | - | - | - | (S13=347) | |||||||
premiers dont Gi et Si | 3 G2 |
19 | 109 | (179) (S10 et G14) | |||||||||
S | S2=7 | - | - | (S14=359) | |||||||||
premiers dont Gi et Si | 5 G3 et S1 |
(191) (G15) | |||||||||||
S | S3=11 | (S15=383) | |||||||||||
premiers dont Gi et Si | 7 S2 |
(233) (G16) | |||||||||||
S | - | (S16=467) | |||||||||||
sous-totaux des p, Gi, Si, par décade | 4 p 3 G 2 S |
4 p 1 G 1 S |
2 p 2 G 1 S |
2 p 0 G 0 S |
3 p 1 G 1 S |
2 p 1 G 1 S |
2 p 0 G 0 S |
3 p 0 G 0 S |
2 p 2 G 1 S |
1 p 0 G 0 S |
4 p 0 G 1 S |
1 p 1 G 0 S |
1 p 0 G 0 S |
Totaux et ratios A | - A1 - 25 soit 25 % de Modèle:Souligner p parmi les 100 entiers n compris entre 0 et 99, à comparer à : 10 soit 10 % de Modèle:Souligner G parmi les 100 entiers n compris entre 0 et 99. |
||||||||||||
Totaux et ratios B | - B1 - 31 soit 24 % de Modèle:Souligner p parmi les 128 entiers n compris entre 0 et 127, à comparer à : 11 soit 8,6 % de Modèle:Souligner G parmi les 128 entiers n compris entre 0 et 127. |
Modèle:Références Modèle:Démonstration/fin Modèle:Démonstration/début Modèle:TI Les nombres premiers de Sophie Germain G compris entre 2 et 1 023 sont présentés dans le tableau 2 ci-dessous. À partir de 1 031, les nombres premiers ordinaires p intermédiaires ne sont plus indiqués.
centaines d'entiers n | premier cent |
deuxième cent |
troisième cent |
quatrième cent |
cinquième cent |
sixième cent |
septième cent |
huitième cent |
neuvième cent |
dixième cent |
+ 23 → 1023 | ||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Typ | Qté | 00 | 10 | 20 | 00 | 10 | 20 | 00 | 10 | 00 | 10 | 00 | 10 | 00 | 10 | 00 | 10 | 00 | 10 | 00 | 10 | 00 | 10 | 00 | |
p Gi Si |
01 | 2 G1 |
31 | 73 | 101 | 151 | 199 | 211 | 269 | 307 | 367 | 401 | 461 | 503 S18 |
577 | 601 | 659 G30 |
701 | 769 | 809 G35 |
863 S23 |
907 | 977 | 1009 | |
S | S1=5 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | S30=1319 | - | - | S35=1619 | - | - | - | - | ||
p Gi Si |
02 | 3 G2 |
37 | 79 | 103 | 157 | 223 | 271 | 311 | 373 | 409 | 463 | 509 G26 |
587 S20 |
607 | 661 | 709 | 773 | 811 | 877 | 911 G36 |
983 S25 |
1013 G38 | ||
S | S2=7 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | S26=1019 | - | - | - | - | - | - | - | S36=1823 | - | S38=2027 | |||
p Gi Si |
03 | 5 G3 S1 |
41 G7 |
83 G9 S7 |
107 S8 |
163 | 227 S11 |
277 | 313 | 379 | 419 G22 |
467 S16 |
521 | 593 G27 |
613 | 673 | 719 G32 S21 |
787 | 821 | 881 | 919 | 991 | 1019 G39 S26 | ||
S | S3=11 | S7=83 | S9=167 | - | - | - | - | - | - | S22=839 | - | - | S27=1187 | - | - | S32=1439 | - | - | - | - | - | S39=2039 | |||
p Gi Si |
04 | 7 S2 |
43 | 89 G10 |
109 | 167 S9 |
229 | 281 G19 |
317 | 383 S15 |
421 | 479 S17 |
523 | 599 | 617 | 677 | 727 | 797 | 823 | 883 | 929 | 997 | 1021 | ||
S | - | - | S10=179 | - | - | - | S19=563 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | |||
p Gi Si |
05 | 11 G4 S3 |
47 S5 |
97 | 113 G11 |
173 G13 |
233 G16 |
283 | 331 | 389 | 431 G23 |
487 | 541 | 619 | 683 G31 |
733 | 827 | 887 S24 |
937 | (1031) (G40) | |||||
S | S4=23 | - | - | S11=227 | S13=347 | S16=467 | - | - | - | S23=863 | - | - | - | S31=1367 | - | - | - | - | (S40= 2063) | ||||||
p Gi Si |
06 | 13 | 53 G8 |
127 | 179 G14 S10 |
239 G17 |
293 G20 |
337 | 397 | 433 | 491 G25 |
547 | 631 | 691 | 739 | 829 | 941 | (1049) (G41) | |||||||
S | - | S8=107 | - | S14=359 | S17=479 | S20=587 | - | - | - | S25=983 | - | - | - | - | - | - | (S41= 2099) | ||||||||
p Gi Si |
07 | 17 | 59 S6 |
131 G12 |
181 | 241 | 347 S13 |
439 | 499 | 557 | 641 G28 |
743 G33 |
839 S22 |
947 | (1103) (G42) | ||||||||||
S | - | - | S12=263 | - | - | - | - | - | - | S28=1283 | S33=1487 | - | - | (S42= 2207) | |||||||||||
p Gi Si |
08 | 19 | 61 | 137 | 191 G15 |
251 G18 |
349 | 443 G24 |
563 S19 |
643 | 751 | 853 | 953 G37 |
(1223) (G43) | |||||||||||
S | - | - | - | S15=383 | S18=503 | - | S24=887 | - | - | - | - | S37=1907 | (S43= 2447) | ||||||||||||
p Gi Si |
09 | 23 G5 S4 |
67 | 139 | 193 | 257 | 353 | 449 | 569 | 647 | 757 | 857 | 967 | (1229) (G44) | |||||||||||
S | S5=47 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | (S44= 2459) | ||||||||||||
p Gi Si |
10 | 29 G6 |
71 | 149 | 197 | 263 S12 |
359 G21 S14 |
457 | 571 | 653 G29 |
761 G34 |
859 | 971 | (1289) (G45) | |||||||||||
S | S6=59 | - | - | - | - | S21=759 | - | - | S29=1307 | S34=1523 | - | - | (S45= 2579) | ||||||||||||
ss-totaux et ratios par cent | 25 p → 25 % 10 G → 10 % 7 S → 7 % |
21 p → 21 % 5 G → 5 % 3 S → 3 % |
16 p → 16 % 5 G → 5 % 2 S → 2 % |
16 p → 16 % 1 G → 1 % 3 S → 3 % |
17 p → 17 % 4 G → 4 % 2 S → 2 % |
14 p → 14 % 2 G → 2 % 3 S → 3 % |
16 p → 16 % 4 G → 4 % 0 S → 0 % |
14 p → 14 % 3 G → 3 % 1 S → 1 % |
15 p → 15 % 1 G → 1 % 3 S → 3 % |
14 p → 14 % 2 G → 2 % 1 S → 1 % |
4 p 2 G 1 S | ||||||||||||||
Totaux et ratios A | - A1 - 168 soit 16,8 % de Modèle:Souligner p parmi les 1 000 entiers n compris entre 0 et 999, à comparer à : 37 soit 3,70 % de Modèle:Souligner G parmi les 1 000 entiers n compris entre 0 et 999. |
||||||||||||||||||||||||
Totaux et ratios B | - B1 - 172 soit 16,8 % de Modèle:Souligner p parmi les 1 024 entiers n compris entre 0 et 1 023, à comparer à : 39 soit 3,81 % de Modèle:Souligner G parmi les 1024 entiers n compris entre 0 et 1023. |
Quantité de nombres premiers de Sophie Germain
Une estimation heuristique pour la quantité de nombres premiers de Sophie Germain inférieurs à n est<ref>Modèle:Ouvrage.</ref> 2C2 n / (ln n)² où C2 est la constante des nombres premiers jumeaux, approximativement égale à 0,660161. Pour n = 104, cette estimation prédit 156 nombres premiers de Sophie Germain, qui est de 20 % d'erreur comparé à la valeur exacte de 190. Pour n = 107, l'estimation prédit 50 822, qui est d'un écart de 10 % par rapport à la valeur exacte de 56 032.
Chaîne de Cunningham
Modèle:Article détaillé Une suite {p, 2p + 1, 2(2p + 1) + 1, ...} de nombres premiers de Sophie Germain est appelée une chaîne de Cunningham de première espèce. Chaque terme d'une telle suite, à l'exception du premier et du dernier, est à la fois un nombre premier de Sophie Germain et un nombre premier sûr. Le premier est un nombre de Sophie Germain, le dernier un nombre premier sûr.
Exemple d'application
Modèle:... Soit <math>p</math> un nombre premier de la forme <math>p = 4k + 3</math>. Alors <math>p</math> est un nombre premier de Sophie Germain si et seulement si le nombre de Mersenne <math>M_p = 2^p - 1</math> est un nombre composé dont <math>2p + 1</math> est un diviseur<ref name = "HW">Modèle:HardyWrightFr, chapitre 6 (« Le théorème de Fermat et ses conséquences »), section 6.15.</ref>. Ce théorème dû à Euler<ref name=HW/> peut être utilisé comme test de primalité<ref name = "HW"/>; par exemple 83 est premier (et 83 = 4 × 20 + 3) de même que 167 = 2 × 83 + 1. Par conséquent <math>M_{83} = 2^{83} - 1</math> est divisible par 167 et n'est donc pas premier.
Références
Modèle:Traduction/Référence Modèle:Références