Noyau de Dirichlet
En mathématiques, et plus précisément en analyse, le Modèle:Math-ième noyau de Dirichlet — nommé ainsi en l'honneur du mathématicien allemand Johann Dirichlet — est le polynôme trigonométrique défini par :
C'est donc une fonction Modèle:Math-périodique de classe <math>\mathcal{C}^\infty</math>. Elle vérifie de plus :
- si Modèle:Math n'est pas un multiple entier de Modèle:Math, alors <math>D_n(x)=\frac{\sin\left(\left(n+\frac12\right)x\right)}{\sin\left(\frac x2\right)}</math> ;
- si Modèle:Math est un multiple entier de Modèle:Math, alors <math>D_n(x)=2n+1</math>.
Le noyau de Dirichlet permet notamment d'améliorer la convergence des séries de Fourier. Il intervient aussi en optique, pour rendre compte des franges et des compositions d'ondes cohérentes.
Considérations élémentaires
Équivalence des deux écritures du noyau de Dirichlet
Lorsque <math>\mathrm e^{\mathrm ix}=1</math>, c'est-à-dire lorsque Modèle:Math appartient à Modèle:Math, le noyau de Dirichlet est la somme de Modèle:Math termes chacun égaux à Modèle:Math, et vaut donc Modèle:Math.
Lorsque <math>\mathrm e^{\mathrm ix}\ne1</math>, l'identité trigonométrique qui apparaît au début de l'article peut être établie par le calcul d'une somme d'une suite géométrique de raison <math>\mathrm e^{\mathrm ix}</math> et en utilisant la formule d'Euler<ref>Modèle:Note autre projet</ref>.
Propriétés du noyau de Dirichlet
- C'est un polynôme trigonométrique, donc une fonction <math>\mathcal C^\infty</math>, Modèle:Math-périodique ;
- il est pair ;
- sa valeur moyenne est Modèle:Math ;
- le comportement asymptotique de sa norme de la convergence en moyenne est :
- <math>\|D_n\|_1=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left|D_n(t)\right|\,\mathrm dt=\frac4{\pi^2}\ln n+O(1)</math>.
Opérateur associé
Le Modèle:Math-ième terme de la série de Fourier d'une fonction Modèle:Math-périodique et intégrable <math>f</math> s'écrit :
L'identité précédente est un produit de convolution, ou l'application d'un opérateur à noyau.
C'est à partir de cette expression et des propriétés du noyau de Dirichlet qu'on démontre le théorème de Dirichlet sur la convergence des séries de Fourier.
Cet opérateur est un opérateur borné sur l'espace des fonctions continues, dont la norme d'opérateur est majorée par <math>\|D_n\|_1</math>.
En spécialisant l'étude en un point Modèle:Math particulier, l'application <math>x\mapsto S_n(f)(x)</math> a pour norme d'opérateur <math>\|D_n\|_1</math> lui-même, qui tend vers l'infini avec Modèle:Math. À l'aide du théorème de Banach-Steinhaus, on peut en déduire qu'il existe des fonctions continues dont la série de Fourier diverge au point Modèle:Math.
Introduction au formalisme des distributions
Le noyau de Dirichlet est Modèle:Math fois la somme d'ordre Modèle:Math du développement en série de Fourier du peigne de Dirac δp, qui est la [[Distribution tempérée#Distributions périodiques|distribution de période Modèle:Math]] donnée par
- <math>\delta_p(x)=\sum_{k=-\infty}^\infty\delta(x-2\pi k)</math>
où δ est la « fonction » delta de Dirac, qui en réalité n'est pas une fonction mais une distribution. En d'autres termes, le développement en série de Fourier de la distribution δp s'écrit
- <math>\delta_p(x)=\frac1{2\pi}\sum_{k=-\infty}^\infty\mathrm e^{\mathrm ikx}=\frac1{2\pi}\left(1+2\sum_{k=1}^\infty\cos(kx)\right).</math>
La distribution périodique δp est l'élément neutre pour le produit de convolution défini sur l'ensemble des fonctions de période Modèle:Math par
- <math>(f*g)(x)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(y)g(x-y)\,\mathrm dy.</math>
Autrement dit,
- pour toute fonction <math>f</math> de période Modèle:Math, <math>f*\delta_p=\delta_p*f=f</math>
Le produit de convolution de Modèle:Math avec n'importe quelle fonction <math>f</math> de période Modèle:Math est égal à la somme d'ordre Modèle:Math du développement en série de Fourier de <math>f</math>, Modèle:C.-à-d. qu'on a
- <math>(D_n*f)(x)=(f*D_n)(x)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(y)D_n(x-y)\,\mathrm dy=\sum_{k=-n}^n \hat f(k)\mathrm e^{\mathrm ikx},</math>
où
- <math>\hat f(k)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\mathrm e^{-\mathrm ikx}\,\mathrm dx</math>
est le Modèle:Math-ième coefficient de Fourier de <math>f</math>.
Notes et références
Modèle:Traduction/Référence Modèle:Références
