Primitives de fonctions rationnelles
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Les primitives des fonctions rationnelles se déduisent par celles de leur décomposition en éléments simples, donc des formules suivantes :
(On suppose Modèle:Math.)
- <math>\int (ax+b)^n\,\mathrm dx=
\frac{1}{(n+1)a}(ax+b)^{n+1}+C</math> pour tout entier relatif Modèle:Math différent de –1 (Modèle:Lien)
- <math>\int \frac{1}{ax+b}\,\mathrm dx=\frac{1}{a}\ln |ax+b|+C</math>
- <math>\int\frac{1}{ax^2+bx+c}\,\mathrm dx=\left\{
\begin{array}{lll} \displaystyle \frac{2}{\sqrt{-(b^2-4ac)}}\operatorname{arctan}\frac{2ax+b}{\sqrt{-(b^2-4ac)}} +C & \text{ si } & b^2-4ac<0\\[18pt] \displaystyle \frac{-2}{2ax+b} +C & \text{ si } & b^2-4ac=0\\[6pt] \displaystyle \frac{1}{\sqrt{b^2-4ac}}\ln \left|\frac{2ax+b-\sqrt{b^2-4ac}}{2ax+b+\sqrt{b^2-4ac}}\right| +C =
\left\{\begin{array}{ll}
-\frac{2}{\sqrt{b^2-4ac}}\operatorname{artanh}\frac{2ax+b}{\sqrt{b^2-4ac}} +C & \text{ si } |2ax+b|<\sqrt{b^2-4ac}\\
-\frac{2}{\sqrt{b^2-4ac}}\operatorname{arcoth}\frac{2ax+b}{\sqrt{b^2-4ac}} +C & \text{ sinon }
\end{array}\right.
&\text{ si } & b^2-4ac>0 \end{array}\right.</math>
- <math>\int \frac{x}{ax^2+bx+c}\,\mathrm dx=\frac{1}{2a}\ln |ax^2+bx+c|-\frac{b}{2a}\int\frac{1}{ax^2+bx+c}\,\mathrm dx</math>
Pour tout entier Modèle:Math :
- <math>\begin{align}\int \frac{1}{(ax^2+bx+c)^n}\,\mathrm dx=
-\frac{2ax+b}{(n-1)(b^2-4ac)(ax^2+bx+c)^{n-1}}-\frac{2(2n-3)a}{(n-1)(b^2-4ac)}\int\frac{1}{(ax^2+bx+c)^{n-1}}\,\mathrm dx\end{align}</math>
- <math>\int \frac{x}{(ax^2+bx+c)^n}\,\mathrm dx=
\frac{bx+2c}{(n-1)(b^2-4ac)(ax^2+bx+c)^{n-1}}+\frac{(2n-3)b}{(n-1)(b^2-4ac)}\int\frac{1}{(ax^2+bx+c)^{n-1}}\,\mathrm dx</math>
