Table de primitives

Le calcul d'une primitive d'une fonction est l'une des deux opérations de base de l'analyse et comme cette opération est délicate à effectuer, à l'inverse de la dérivation, des tables de primitives connues sont souvent utiles.

Nous savons qu'une fonction continue sur un intervalle admet une infinité de primitives et que ces primitives diffèrent d'une constante ; nous désignons par Modèle:Math une constante arbitraire qui peut seulement être déterminée si nous connaissons la valeur de la primitive en un point.

<math>\int f(x)\,\mathrm dx</math> — appelé intégrale indéfinie de Modèle:Math — désigne l'ensemble de toutes les primitives d'une fonction Modèle:Math à une constante additive près.

Règles générales d'intégration

• Linéarité :
  <math> \int \left( {\color{Blue} a } \, {\color{ Blue } f(x) } + {\color{ blue } b } \, {\color{ blue } g(x) } \right) \mathrm dx = {\color{ Blue } a } \int {\color{ Blue } f(x) } \, \mathrm dx + {\color{ Blue } b } \int {\color{ Blue } g(x) } \, \mathrm dx </math>
• relation de Chasles :
  <math> \int_a^cf(x) \, \mathrm dx = \int_a^{\color{ blue } b} f(x) \,\mathrm dx + \int_{\color{ blue } b}^cf(x) \, \mathrm dx </math>
  et en particulier :
  <math> \int_{\color{ blue } a}^{\color{blue } b} f(x) \, \mathrm dx = {\color{ blue } - } \int_{\color{ blue } b}^{\color{ blue } a} f(x) \, \mathrm dx </math>
• intégration par parties :
  <math> \int {\color{ Blue } f(x)} \, {\color{ blue } g'(x)} \, \mathrm dx = [{\color{ Blue } f(x)} \, {\color{ Blue} g(x)}] - \int {\color{ Blue } f'(x)} \, {\color{ blue } g(x)} \, \mathrm dx </math>
  moyen mnémotechnique :
  <math> \int {\color{ Blue } u} {\color{ blue } v'} = [{\color{ Blue } u} {\color{ Blue } v}] \ - \int {\color{ Blue } u'} {\color{ blue } v} </math>

avec <math>u = f(x),~u' = f'(x),~v = g(x),~v' = g'(x)</math> et Modèle:Math implicite.

• intégration par changement de variable (si f et φ' sont continues) :
  <math> \int_a^b f( {\color{ Blue } \varphi(t)} ) \, {\color{ Blue } \varphi'(t)} \, \mathrm d{\color{ Blue } t} = \int_{\color{ blue } \varphi(a)}^{\color{ blue } \varphi(b)} f({\color{ Blue } x}) \, \mathrm d{\color{ Blue } x} </math>.

Primitives de fonctions simples

<math> \int \,\mathrm dx = x + C \qquad \forall x \in \R </math>

Primitives de fonctions rationnelles

<math> \int x^n\,\mathrm dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \qquad \text{ si } n \ne -1 </math>

<math> \int \frac1{x}\,\mathrm dx = \ln \left| x \right| + C \qquad \text{ si } x \ne 0 </math>

<math> \int \frac1{x-a} \, \mathrm dx = \ln | x-a | + C \qquad \text{ si } x \ne a </math>

<math> \int \frac1{(x-a)^n} \, \mathrm dx = -\frac1{(n-1)(x-a)^{n-1}} + C \qquad \text{ si } n \ne 1 \text{ et } x \ne a </math>

<math> \int \frac1{1+x^2} \, \mathrm dx = \operatorname{arctan}x+ C \qquad \forall x \in \R </math>

<math> \int \frac1{a^2+x^2} \, \mathrm dx = \frac1a\operatorname{arctan}\frac xa+ C \qquad \text{ si } a \ne 0 </math>

<math> \int \frac1{1-x^2} \, \mathrm dx = \frac12\ln { \left| \frac{x+1}{x-1} \right| } + C =

\begin{cases} \operatorname{artanh}x+ C &\text{ sur } ]-1,1[\\ \operatorname{arcoth}x+ C &\text{ sur } ]-\infty,-1[\text{ et sur }]1,+\infty[. \end{cases} </math>

Primitives de fonctions logarithmes

<math> \forall x \in \R_+^*</math>

<math> \int \ln x\,\mathrm dx = x \ln x- x + C </math>

Plus généralement, une primitive Modèle:Mvar-ième de <math> \ln</math> est :

<math> \frac{x^n}{n!} \left( \ln x- \sum_{k=1}^n\frac1k\right)</math>.

Primitives de fonctions exponentielles

<math> \forall x \in \R</math>

<math>\int e^{ax}\,dx = \frac{1}{a}e^{ax} + C</math>

<math>\int f'(x)e^{f(x)}\,dx = e^{f(x)} + C</math>

<math> \int a^x\,\mathrm dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \qquad \text{ si } a > 0 </math> et Modèle:Math car Modèle:Math.

Primitives de fonctions irrationnelles

<math> \forall x \in \R \setminus \{-1,1\}</math>

<math> \int {1 \over \sqrt{1-x^2}} \, \mathrm dx = \operatorname{arcsin}x+ C </math>

<math> \int {-1 \over \sqrt{1-x^2}} \, \mathrm dx = \operatorname{arccos}x+ C </math>

<math> \int {x \over \sqrt{x^2-1}} \, \mathrm dx = \sqrt{x^2-1} + C </math>

Voir aussi

Bibliographie

• {{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Alan Jeffrey et Daniel Zwillinger, Table of Integrals, Series, and Products, Academic Press, 2007 Modèle:Isbn
• Modèle:Handbook of Mathematical Functions (Abramowitz et Stegun)

Articles connexes

• Calcul intégral
• Calcul numérique d'une intégrale
• Intégration
• Table d'intégrales

Lien externe

Calculateur automatique de primitive par Mathematica