Intégrale indéfinie

En analyse réelle ou complexe, une intégrale indéfinie d'une fonction Modèle:Math intégrable sur un intervalle Modèle:Math est une fonction définie sur Modèle:Math par

<math>F(x)=\int_a^xf(t)\,{\rm d}t + K</math>

où Modèle:Math est un élément de Modèle:Math et Modèle:Math une constante réelle ou complexe<ref>Roger Descombes, Intégration, Hermann, Paris, 1972 Modèle:ISBN, Modèle:P..</ref>.

Lorsque Modèle:Math est continue, Modèle:Math est une primitive de Modèle:Math, c'est-à-dire que la dérivée de Modèle:Math est Modèle:Math. On prend alors l'habitude de noter toute primitive de Modèle:Math sous la forme

<math> F = \int f(x)\,{\rm d}x</math>

et de confondre intégrale indéfinie et primitive.

Lorsque Modèle:Math n'est pas continue, il n'y a pas de correspondance simple entre intégrale indéfinie et primitive, du moins tant qu'il s'agit de l'intégrale de Lebesgue. Mais d'autres types d'intégrales plus puissantes, telles que l'intégrale de Kurzweil-Henstock, permettent d'intégrer entre autres toute fonction admettant une primitive, en assurant l'égalité de l'intégrale et de la primitive à une constante près.

Cas de la fonction continue

Toute fonction continue sur un intervalle Modèle:Math est intégrable sur tout intervalle fermé borné inclus dans Modèle:Math. Le premier théorème fondamental de l'analyse affirme que pour tout réel Modèle:Math de Modèle:Math, la fonction définie sur Modèle:Math par

<math>F(x)=\int_a^xf(t)\,{\rm d}t</math>

est la primitive de Modèle:Math qui s'annule en Modèle:Math.

Les primitives de Modèle:Math sont donc les intégrales indéfinies

<math> F(x)=\int_a^xf(t)\,{\rm d}t + K.</math>

La constante Modèle:Math est nécessaire pour couvrir l'ensemble des primitives possibles de Modèle:Math.

Cas de la fonction non continue

Durant quatre siècles, les mathématiciens, de Torricelli à Kurzweil et Modèle:Lien en passant par Leibniz, Euler, Cauchy, Riemann, Lebesgue, Denjoy et Perron, se sont efforcés de rechercher un lien fort entre intégrale d'une part et primitive d'autre part. Tant que le travail s'effectue sur les fonctions continues, la relation est simple, et c'est Cauchy qui en fournit la preuve (Modèle:26e du Résumé des Leçons données à l'École royale polytechnique sur le Calcul infinitésimal en 1823)<ref>Modèle:Article : p. 133.</ref>. Ce résultat établi, les recherches se portent sur le cas des fonctions non continues. Riemann, puis Lebesgue, puis Kurzweil et Henstock s'efforcent de présenter des définitions de l'intégrabilité qui permettent d'élargir la relation entre intégrale indéfinie et primitive.

Intégrale indéfinie d'une fonction Riemann-intégrable

L'intégrale indéfinie d'une fonction Riemann-intégrable est toujours continue. Elle est de plus dérivable en tout point où la fonction initiale est continue. Ce résultat est démontré par Darboux et du Bois Reymond en 1875<ref>Modèle:Harvsp.</ref>. Mais la relation entre intégrale indéfinie et primitive devient plus lâche. On rencontre ainsi

• des intégrales indéfinies non dérivables en quelques points comme celle de la fonction partie entière ;
• des intégrales indéfinies dérivables sur <math>\R</math> mais dont la dérivée ne coïncide pas en tout point avec f. Il suffit de prendre par exemple la fonction constante égale à 1 sauf en <math>x_0</math> où la fonction vaut 2. Son intégrale indéfinie a pour expression Modèle:Math et la dérivée de Modèle:Math en <math> x_0</math> vaut 1 ;
• des intégrales indéfinies qui restent non dérivables sur un ensemble dense<ref>Henri Lebesgue, Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives, 1904, Modèle:P..</ref> ;
• des intégrales indéfinies dérivables sur [0, 1] dont la dérivée ne coïncide pas avec Modèle:Math sur un ensemble dense<ref>Bertrand Hauchecorne, Les contre-exemples en mathématiques, Ellipses, Paris, 1988 Modèle:ISBN, Modèle:P..</ref> ;
• des fonctions Modèle:Math, dérivables sauf en quelques points, mais qui ne sont pas une intégrale indéfinie de leur dérivée : par exemple, la partie entière ;
• Des fonctions Modèle:Math, dérivables sur <math>\R</math>, mais dont la dérivée Modèle:Math n'est pas Riemann-intégrable donc pour laquelle on ne peut pas définir d'intégrale indéfinie. Par exemple, le prolongement continu en 0 de la fonction <math>x\mapsto x^2\sin(1/x^2)</math> est dérivable, de dérivée non bornée donc non intégrable en tant que fonction sur le segment [0, 1] par exemple<ref>Alain Michel, Constitution de la théorie moderne de l'intégration, Vrin, 1992, Modèle:P., Modèle:Google Livres.</ref>. Notons cependant que l'intégrale impropre de cette dérivée sur l'intervalle ]0, 1] est convergente.

• Fonction discontinue f (bleu) dont l'intégrale indéfinie F (rouge) est telle que F'(0) et f(0) sont distincts

  Fonction discontinue f (bleu) dont l'intégrale indéfinie F (rouge) est telle que F'(0) et f(0) sont distincts

• Fonction partie entière (bleu) dont l'intégrale indéfinie (rouge) n'est pas toujours dérivable

  Fonction partie entière (bleu) dont l'intégrale indéfinie (rouge) n'est pas toujours dérivable

• Fonction partie entière (rouge) qui n'est pas intégrale indéfinie de sa dérivée (bleue)

  Fonction partie entière (rouge) qui n'est pas intégrale indéfinie de sa dérivée (bleue)

• Fonction x2sin(1/x2) (rouge) dont la dérivée (bleue) n'est pas bornée au voisinage de 0

  Fonction x²sin(1/x²) (rouge) dont la dérivée (bleue) n'est pas bornée au voisinage de 0

Intégrale indéfinie d'une fonction Lebesgue-intégrable

Les fonctions Lebesgue-intégrables élargissent le champ des fonctions intégrables et donc celui des intégrales indéfinies.

L'intégrale indéfinie d'une fonction Lebesgue-intégrable est absolument continue. Réciproquement une fonction absolument continue est l'intégrale indéfinie d'une fonction Lebesgue-intégrable.

L'intégrale indéfinie d'une fonction Lebesgue-intégrable est dérivable en tout point Modèle:Mvar où Modèle:Math est continue et Modèle:Math et, plus généralement, elle est dérivable μ-presque partout de dérivée Modèle:Math.

Si Modèle:Math est dérivable sur Modèle:Math et de dérivée Lebesgue-intégrable alors Modèle:Math est une intégrale indéfinie de sa dérivée. Autrement dit, si Modèle:Math est Lebesgue-intégrable et possède une primitive, cette primitive correspond à une intégrale indéfinie de Modèle:Math.

Fichier:CantorEscalier.svg

Escalier de Cantor : fonction continue, dérivable presque partout de dérivée presque partout nulle

Mais il existe encore des fonctions Modèle:Math continues, dérivables presque partout, dont la dérivée est Lebesgue-intégrable sans pour autant que Modèle:Math soit une intégrale indéfinie de sa dérivée. Un exemple classique de telle fonction est l'escalier de Cantor.

Cependant, toute fonction Modèle:Math à variation bornée est dérivable presque partout et est la somme d'une intégrale indéfinie de Modèle:Math et d'une fonction Modèle:Math à variation bornée de dérivée nulle μ-presque partout.

Intégrale indéfinie d'une fonction Kurzweil-Henstock-intégrable

Les fonctions KH-intégrables élargissent encore le champ des fonctions intégrables et fait coïncider presque parfaitement la notion de primitive et d'intégrale indéfinie.

Si Modèle:Math est dérivable sur Modèle:Math, alors Modèle:Math est KH-intégrable et Modèle:Math est une intégrale indéfinie de sa dérivée. Autrement dit, si Modèle:Math possède des primitives, alors ce sont des intégrales indéfinies de Modèle:Math.

Si Modèle:Math est KH-intégrable sur Modèle:Math, alors toute intégrale indéfinie de Modèle:Math est continue et admet presque partout une dérivée égale à Modèle:Math.

Notes et références

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