Intégrale de Lebesgue

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En mathématiques, l’intégrale de Lebesgue désigne à la fois une théorie relative à l'intégration et à la mesure, et le résultat de l'intégration d'une fonction à valeurs réelles définie sur <math>\mathbb{R}</math> (ou sur <math>\mathbb{R}^n</math>) muni de la mesure de Lebesgue.

Généralisant l'intégrale de Riemann, l'intégrale de Lebesgue joue un rôle important en analyse, en théorie des probabilités et dans beaucoup d'autres domaines des mathématiques.

Dans les cas simples, l'intégrale d'une fonction positive Modèle:Mvar peut être vue comme l'aire comprise entre l'axe des Modèle:Mvar (l'axe horizontal) et la courbe de la fonction Modèle:Mvar. En étendant cette notion, la construction de l'intégrale de Lebesgue s’applique à un ensemble plus riche de fonctions définies sur des espaces plus généraux que <math>\mathbb R</math> ou <math>\mathbb R^n</math>.

Intérêt pratique de l'intégrale de Lebesgue

Après la construction de l'intégrale de Cauchy-Riemann, l’intérêt s’est porté sur des extensions du théorème fondamental du calcul intégral : Modèle:Énoncé

Les études réalisées sur l'intégrale de Riemann aboutissent au théorème suivant qui est le « meilleur qu'on sache démontrer » : Modèle:Énoncé

Cependant, il existe des fonctions Modèle:Mvar dérivables sur Modèle:Math sans que leur dérivée soit Riemann-intégrable.

L'objectif premier de l'intégrale de Lebesgue est de lever cette restriction afin de satisfaire à l'énoncé : Modèle:Énoncé

Par la suite, d’autres constructions d'une intégrale ont été élaborées (intégrale de Kurzweil-Henstock, Denjoy, Perron, Khintchine, etc.) et elles satisfont à l'énoncé plus général

Modèle:Énoncé

Historique

Avant les travaux d’Henri Lebesgue, la théorie de l'intégration s'appuyait sur l'intégrale de Riemann, mais celle-ci était plutôt insatisfaisante pour diverses raisons : problème de définition « efficace » des intégrales dites impropres (par exemple l’intégrale de Dirichlet), difficulté à établir des théorèmes de convergence…

En concevant son intégrale, Lebesgue l'a lui-même comparée à l'intégrale de Riemann : Modèle:Citation Pour comprendre cette phrase, il faut préciser que l'intégration de Riemann « parcourt » le segment et exploite au fur et à mesure la « hauteur » Modèle:Mvar de la fonction, alors que l'intégration de Lebesgue exploite la « taille » des ensembles de niveau Modèle:Mvar pour toutes les valeurs de Modèle:Mvar.

Cette théorie s'est avérée particulièrement féconde. Elle a permis (via la théorie des tribus) de formaliser les probabilités, de définir de nombreux espaces fonctionnels extrêmement importants et elle a marqué le début de la théorie de la mesure.

Construction formelle

L'idée générale consiste à définir l'intégrale de fonctions simples (en l'occurrence les fonctions étagées positives), d’étendre successivement cette notion à toute fonction mesurable à valeurs positives, puis finalement à une catégorie plus riche : les fonctions mesurables.

Soit <math>(X,\mathcal A,\mu)</math> un espace mesuré. En analyse réelle, Modèle:Mvar est l'espace euclidien <math>\mathbb R^n</math>, <math>\mathcal{A}</math> désigne la tribu des boréliens de <math>\mathbb R^n</math>, et Modèle:Mvar la mesure de Lebesgue. En probabilité et en statistique, Modèle:Mvar est une probabilité sur un espace probabilisable <math>(X,\mathcal A)</math>.

L'intégrale de Lebesgue des fonctions mesurables définies sur Modèle:Mvar et à valeurs réelles est construite de la manière suivante :

Soit Modèle:Mvar un élément de <math>\mathcal A</math> et soit Modèle:Math la fonction indicatrice de Modèle:Mvar : c'est la fonction définie sur Modèle:Mvar qui vaut 1 sur Modèle:Mvar et 0 en dehors.

La valeur attribuée à <math>\int \mathbf 1_A\,\mathrm d\mu</math> est conforme à la mesure Modèle:Mvar :

<math>\int 1_A \,\mathrm d\mu= \mu (A)</math>.

Par linéarité, l’intégrale est étendue à l'espace vectoriel engendré par les fonctions indicatrices (une combinaison linéaire finie de fonctions indicatrices s'appelle une fonction étagée) :

<math>\int \sum a_k \mathbf 1_{A_k} \,\mathrm d\mu= \sum a_k \mu(A_k) </math>

pour toute somme finie et tous coefficients Modèle:Mvar réels<ref>Modèle:Ouvrage.</ref>.

Remarquons que l’intégrale ainsi définie pour une fonction qui est une combinaison linéaire de fonctions indicatrices est indépendante du choix de la combinaison : c'est une condition essentielle à la consistance de la définition (preuve).

Soit Modèle:Mvar une fonction mesurable à valeurs dans [[droite réelle achevée|Modèle:Math]]. L’intégrale de Lebesgue de Modèle:Mvar est définie comme étant la borne supérieure de l'ensemble des <math>\int s\,\mathrm d\mu</math> pour toutes les fonctions étagées positives Modèle:Mvar inférieures à Modèle:Mvar (pour tout Modèle:Mvar, Modèle:Math)<ref>Modèle:Ouvrage.</ref>. Lorsque cet ensemble n'est pas borné, <math>\int f\,\mathrm d\mu</math> est donc infinie.

Remarque : cette construction est analogue à celle des sommes inférieures de Riemann, bien qu’elle n’envisage pas de somme supérieure ; ce fait important permet d’obtenir une classe plus générale de fonctions intégrables.

Pour être plus précis, il convient encore de mentionner la mesure et le domaine d'intégration :

<math>\int_X f\,\mathrm d\mu = \sup_{s \text{ étagée}, s \le f} \int_X s\,\mathrm d\mu</math>.

L’intégrale est ainsi établie pour toute fonction définie sur Modèle:Mvar et à valeurs positives. Cependant, afin de satisfaire des propriétés de linéarité et de convergence pour des suites, les fonctions considérées sont limitées aux fonctions mesurables, soit celles pour lesquelles l'image réciproque de tout intervalle soit dans la tribu <math>\mathcal A</math>.

Une telle fonction Modèle:Mvar mesurable sur l'ensemble Modèle:Mvar et à valeurs dans [[Droite réelle achevée|Modèle:Surligner]] se décompose en une différence de deux fonctions positives Modèle:Math et Modèle:Math. Si <math>\int_X |f|\,\mathrm d\mu < +\infty</math>, alors Modèle:Mvar est dite intégrable au sens de Lebesgue ou sommable. Dans ce cas, les deux intégrales <math>\int f^+ \mathrm d\mu</math> et <math>\int f^-\,\mathrm d\mu</math> sont finies et donnent un sens à la définition :

<math>\int_X f\,\mathrm d\mu = \int_X f^+\,\mathrm d\mu - \int_X f^-\,\mathrm d\mu</math>.

Il est possible de vérifier que cette définition étend la notion d'intégrale de Riemann.

Les fonctions à valeurs complexes peuvent être intégrées de la même manière, en intégrant séparément la partie réelle et la partie imaginaire.

Théorèmes

Toute notion raisonnable d'intégrale doit satisfaire les propriétés de linéarité et de monotonie. L'intégrale de Lebesgue ne fait pas exception : si Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont des fonctions intégrables et si Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont des nombres réels, alors Modèle:Mvar est intégrable et <math>\int (af+bg)\,\mathrm d\mu= a \int f\,\mathrm d\mu+ b \int g\,\mathrm d\mu</math> ; si Modèle:Math, alors <math>\int f\,\mathrm d\mu\le\int g\,\mathrm d\mu</math> (et de même en remplaçant les deux ≤ par des <, si le domaine d'intégration est de mesure non nulle), en particulier <math>\left|\int f\,\mathrm d\mu\right|\le\int|f|\,\mathrm d\mu</math>. On démontre que cette inégalité est vraie aussi pour Modèle:Mvar à valeurs complexes.

Deux fonctions qui diffèrent seulement sur un ensemble de mesure μ nulle (on dit alors que Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont égales µ-presque-partout) ont la même intégrale, ou plus précisément : si <math>\mu(\{x \in X, f(x) \neq g(x)\}) = 0 </math>, alors Modèle:Mvar est intégrable si et seulement si Modèle:Mvar est intégrable, et dans ce cas <math>\int f\,\mathrm d\mu= \int g\,\mathrm d\mu</math>.

Toute fonction intégrable à valeurs dans Modèle:Surligner est finie presque partout, c'est-à-dire que l'ensemble des points où elle prend les valeurs Modèle:Math est de mesure nulle.

Comparativement à l'intégrale de Riemann, l'un des avantages essentiels de l'intégrale de Lebesgue est la facilité avec laquelle s'effectue un passage à la limite. Les trois théorèmes suivants sont parmi les plus utilisés :

Références

Modèle:Références

Voir aussi

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Articles connexes

Bibliographie

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Lien externe

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