Tribu borélienne
En mathématiques, la tribu borélienne (également appelée tribu de Borel ou tribu des boréliens) sur un espace topologique Modèle:Formule est la plus petite tribu sur Modèle:Formule contenant tous les ensembles ouverts. Les éléments de la tribu borélienne sont appelés des boréliens.
Le concept doit son nom à Émile Borel, qui a publié en 1898 une première exposition de la tribu borélienne de la droite réelle<ref>Modèle:Ouvrage, Modèle:P. qui renvoie à Modèle:Ouvrage.</ref>.
Propriétés formelles
La tribu borélienne peut, de manière équivalente, se définir comme la plus petite tribu qui contient tous les sous-ensembles fermés de Modèle:Formule.
Si la topologie de Modèle:Formule admet une prébase dénombrable Modèle:Formule, alors la tribu borélienne associée à Modèle:Formule est aussi engendrée par Modèle:Formule.
Étant donné un sous-ensemble Modèle:Formule de Modèle:Formule, la tribu borélienne de Modèle:Formule pour la topologie induite est identique à la trace sur Modèle:Formule de la tribu borélienne de Modèle:Formule. Cela se prouve en une ligne<ref>Modèle:Ouvrage, Modèle:P..</ref> si on applique le lemme de transport à l'injection canonique de Modèle:Formule dans Modèle:Formule.
Sur un produit de deux espaces topologiques Modèle:Formule et Modèle:Formule, la tribu produit des tribus boréliennes de Modèle:Formule et Modèle:Formule est toujours incluse dans la tribu borélienne du produit. Quand Modèle:Formule et Modèle:Formule sont à base dénombrable, il y a même égalité<ref>Briane-Pagès, op. cit., Modèle:P..</ref>. On trouvera plus de détails à l'article « tribu produit ».
Tribu borélienne de ℝModèle:Math
Un exemple particulièrement important est la tribu borélienne de l’ensemble des nombres réels. La tribu borélienne sur l'ensemble des nombres réels est la plus petite tribu sur ℝ contenant tous les intervalles.
La tribu borélienne est aussi engendrée par les intervalles ouverts de la forme Modèle:Formule, où Modèle:Formule parcourt ℝ ; il suffit même de considérer Modèle:Formule dans une partie dense de ℝ comme ℚ l’ensemble des rationnels.
De la même façon, en dimension quelconque, la tribu borélienne sur ℝModèle:Math est engendrée par les pavés. De nombreuses variantes sont possibles, ainsi la tribu borélienne de ℝModèle:Math est également engendrée par :
- les boules euclidiennes ouvertes (éventuellement en se restreignant aux rayons rationnels et centres à coordonnées rationnelles)
- les pavés ouverts
- les pavés fermés
- les pavés de la forme Modèle:Formule
- les produits de la forme Modèle:Formule
- les produits de la forme Modèle:Formule
(dans chacun des exemples, on peut se borner à utiliser des nombres rationnels : toutes ces familles génératrices sont donc dénombrables)<ref>Modèle:Ouvrage, Modèle:P..</ref>.
Tribu borélienne et tribu de Lebesgue
La tribu borélienne permet de définir la mesure borélienne, qui correspond à la notion intuitive de longueur, surface, volume, etc. (la dénomination "mesure borélienne" peut varier suivant les auteurs, voir Mesure de Borel (homonymie) ).
La mesure borélienne n'est pas complète puisque la tribu borélienne n'inclut pas certains éléments négligeables. Lorsqu'on complète la mesure borélienne, on obtient la mesure de Lebesgue.
La mesure de Lebesgue <math display="inline">\Lambda</math> et la mesure borélienne <math display="inline">\mu</math> coïncident sur la tribu borélienne. Et, si on a <math display="inline">N \in P(\R), A\in \mathcal{B}(\R), </math> et <math display="inline"> N\subset A</math> où <math display="inline">\mu(A)=0</math> , on définit <math>\Lambda(N)=0</math>, et on obtient que <math>N \in \mathcal{L}(\R)</math>.
La tribu de Lebesgue <math display="inline">\mathcal{L}</math> est la tribu sur laquelle est définie la mesure de Lebesgue. C'est donc la tribu borélienne <math display="inline">\mathcal{B}</math> à laquelle on ajoute tous les sous-ensembles de <math>\R</math> inclus dans un sous ensemble de mesure nulle (pour la mesure borélienne <math display="inline">\mu</math>).
<math display="block">{\mathcal{L}} = \{A\cup N\,\mid\,A\in\mathcal{B},\ N \subset B \in \mathcal{B}, \mu(B)=0\}</math>Par conséquent, <math display="inline">\mathcal{B} \subset \mathcal{L}</math>.
Construction par récurrence transfinie
Un sous-ensemble de Modèle:Formule est un borélien s’il peut être obtenu à partir d'ensembles ouverts en effectuant une suite dénombrable d’opérations d’unions, d’intersections et de passage au complémentaire, mais, contrairement à l’intuition première, on n'obtient pas ainsi, loin de là, tous les boréliens (quoiqu'on obtienne tous les boréliens usuels) ; en effet, la classe obtenue selon ce schéma de construction n'est pas stable pour les réunions et intersections dénombrables, et il faut, pour obtenir tous les boréliens, itérer transfiniment ce schéma ; pour plus de détails, voir les articles « tribu engendrée » et « hiérarchie de Borel ».
Cette construction permet de prouver que la tribu borélienne de ℝModèle:Math a la puissance du continu<ref>Modèle:Ouvrage, Modèle:P..</ref>.
Espaces boréliens standard à isomorphisme près
Un espace mesurable est dit lusinien ou standard s’il est isomorphe à une partie borélienne d'un espace polonais, munie de la tribu borélienne. Un théorème de Kuratowski assure<ref>Modèle:Ouvrage, Théorème 3-3-13, Modèle:P. (la source ne fournit pas l'attribution à Kuratowski).</ref> que
Ainsi, du point de vue de la structure borélienne, tous les espaces non dénombrables usuels sont indistinguables : ℝ est isomorphe à tous les ℝModèle:Math, à l’espace de Baire ℕℕ, au cube de Hilbert Modèle:Mathℕ, à l’espace de Cantor Modèle:Mathℕ, à l’espace de Banach séparable Modèle:Formule (espace vectoriel des fonctions continues de Modèle:Formule dans ℝ, muni de la norme de la convergence uniforme), etc. — quoique ces espaces soient très différents du point de vue topologique ou algébrique.
