Cube de Hilbert
{{#invoke:Bandeau|ébauche}} En topologie, on appelle cube de Hilbert l'espace produit <math>K = \left[0,1\right]^\N</math> muni de la topologie produit, autrement dit : l'espace des suites à valeurs dans [0, 1], muni de la topologie de la convergence simple. D'après le théorème de Tykhonov, c'est un espace compact.
Il est homéomorphe au sous-espace suivant de ℓ2, pour tous <math>b,c\in\ell^2</math><ref>Pour le cas <math>b=-c</math>, voir Modèle:Lien web, exercice 7.</ref> :
Il est donc métrisable et par conséquent (puisqu'il est compact), séparable<ref>et « même » – ce qui, pour un espace métrisable, est en fait équivalent – à base dénombrable.</ref> et possède la propriété suivante<ref>Modèle:Citation : François Guénard et Gilbert Lelièvre, Compléments d'analyse, Volume 1, Topologie, première partie, ENS Fontenay, 1985, p. 29.</ref> :
Cela fournit en particulier un moyen commode pour compactifier les espaces métrisables séparables, et aussi un critère pour les classifier selon leur complexité ; par exemple un espace est polonais si et seulement s'il est homéomorphe à l'intersection d'une suite d'ouverts de K. On en déduit aussi que tout espace mesurable dénombrablement engendré et séparé est isomorphe à une partie de K munie de la tribu induite par la tribu borélienne de K.
