Table d'intégrales

En analyse, l'intégrale définie sur l'intervalle Modèle:Math, d'une fonction intégrable Modèle:Math s'exprime à l'aide d'une primitive Modèle:Math de Modèle:Math :

<math>\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x=\left[F(x)\right]_a^b{:=}F(b)-F(a).</math>

Les primitives de la plupart des fonctions qui sont intégrables ne peuvent être exprimées sous une « forme close » (voir le théorème de Liouville). Toutefois une valeur de certaines intégrales définies de ces fonctions peut parfois être calculée. Quelques valeurs d'intégrales particulières de certaines fonctions sont données ici.

Liste

• <math>\int_0^{+\infty}{x^{s-1}\mathrm{e}^{-\tfrac{x^{\alpha}}{\beta}}\,\mathrm{d}x}=\frac{\beta^{s/\alpha}}{\alpha}\Gamma(s/\alpha)</math> pour Modèle:Math et Modèle:Math, où Modèle:Math est la fonction gamma d'Euler, dont on connait quelques valeurs particulières, comme :
  • Modèle:Math pour Modèle:Math
  • Modèle:Math (intégrale de Gauss)
  • Modèle:Math

• <math>\int_0^{+\infty}{\frac{x^{s-1}}{\mathrm{e}^x-1}\,\mathrm{d}x}=\Gamma(s)\zeta(s)</math> pour Modèle:Math, où Modèle:Math est la fonction zêta de Riemann, dont on connaît aussi quelques valeurs particulières, comme :
  • Modèle:Math
  • Modèle:Math
• <math>\int_0^{+\infty}{\frac{\sin x}x\,\mathrm{d}x} = \frac{\pi}2</math> (intégrale de Dirichlet)

• <math>\int_0^1{\frac1{\sqrt{1-x^3}}\,\mathrm{d}x} = \frac13\Beta\left(\frac13,\frac12\right)</math> (intégrale elliptique ; Modèle:Math est la fonction bêta d'Euler)

• <math>\int_0^{\pi/2}{\ln(\cos x)\, \mathrm dx} = \int_0^{\pi/2}{\ln(\sin x)\, \mathrm{d}x} = -\frac{\pi}2\ln(2)</math> (intégrales d'Euler)

• <math>\int_{-\infty}^{+\infty}{\cos(x^2)\,\mathrm{d}x} = \int_{-\infty}^{+\infty}{\sin(x^2)\,\mathrm{d}x} = \sqrt{\frac{\pi}2}</math> (intégrales de Fresnel)

• <math>\int_0^{\pi}{\ln(1-2\alpha\cos\,x+\alpha^2)\,\mathrm{d}x}=\begin{cases}2\pi\ln|\alpha|&\text{si }|\alpha|>1\\0&\text{si }|\alpha|\le1\end{cases}</math> (intégrale de Poisson).

• <math>\int_0^{\pi/2}{\sin^nx\,\mathrm dx} = W_n</math> (intégrales de Wallis)

• <math>\begin{cases}

\int_0^1x^{-x}\,\mathrm dx&=\sum_{n=1}^\infty n^{-n}&\approx1{,}29\\ \int_0^1x^x\,\mathrm dx&=-\sum_{n=1}^\infty(-n)^{-n}&\approx0{,}78 \end{cases}</math> (Rêve du deuxième année, attribué à Jean Bernoulli).

• <math>\int_0^1 \frac{\ln(1+x)}{1+x^2}\mathrm dx = \frac{\pi}{8}\ln(2)</math> (intégrale de Serret)
• <math>\int_0^\infty \frac{\mathrm{e}^{-x}-\mathrm{e}^{-tx}}{x} \mathrm{d}x=\ln t</math> (intégrale de Frullani)

• <math>\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \ln (\ln (\tan (x)))\mathrm dx = \frac{\pi}{2}\ln\left[\sqrt{2\pi} \frac{\Gamma \left(\frac34\right)}{\Gamma \left(\frac14\right)}\right] = \frac{\pi}{4}\ln\left[\frac{4\pi^3}{\Gamma \left(\frac14\right)^4}\right]</math> (intégrale de Vardi)

Voir aussi

Articles connexes

• Intégrale indéfinie
• Intégrale définie

Bibliographie

• {{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Alan Jeffrey et Daniel Zwillinger, Table of Integrals, Series, and Products, Academic Press, 2007 Modèle:Isbn
• Modèle:Handbook of Mathematical Functions (Abramowitz et Stegun)

Liens externes

• {{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Calculateur automatique de primitive, sur WolframAlpha
• {{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Online Encyclopedia Of Equation