Processus stochastique
Modèle:Voir homonymes Modèle:À sourcer Un processus Modèle:Page h' ou processus aléatoire (voir Calcul stochastique) ou fonction aléatoire (voir Probabilité) représente une évolution, discrète ou à temps continu, d'une variable aléatoire. Celle-ci intervient dans le calcul classique des probabilités, où elle mesure chaque résultat possible (ou réalisation) d'une épreuve.
Cette notion se généralise à plusieurs dimensions. Un cas particulier important, le champ aléatoire de Markov, est utilisé en analyse spatiale.
Utilité
Notion de processus
De nombreux domaines utilisent des observations en fonction du temps (ou plus rarement, d'une variable d'espace). Dans les cas les plus simples, ces observations se traduisent par une courbe bien définie. En réalité, des sciences de la Terre aux sciences humaines, les observations se présentent souvent de manière plus ou moins erratique. L'interprétation de ces observations est donc soumise à une certaine incertitude qui peut être traduite par l'utilisation des probabilités pour les représenter.
Un processus aléatoire généralise la notion de variable aléatoire utilisée en probabilité. On le définit comme une famille de variables aléatoires Modèle:Math associées à toutes les valeurs Modèle:Math (souvent le temps).
D'un point de vue statistique, on considèrera l'ensemble des observations disponibles Modèle:Math comme une réalisation du processus, ce qui donne lieu à certaines difficultés. Un premier problème concerne le fait que la durée sur laquelle est construit le processus est généralement infinie alors qu'une réalisation porte sur une durée finie. Il est donc impossible de représenter parfaitement la réalité. Il y a une seconde difficulté beaucoup plus sérieuse : à la différence du problème des variables aléatoires, l'information disponible sur un processus se réduit généralement à une seule réalisation.
Types de processus
On distingue généralement les processus en temps discret et en temps continu, à valeurs discrètes et à valeurs continues.
Si l'ensemble Modèle:Mvar est dénombrable on parle de Modèle:Terme défini ou de Modèle:Terme défini, si l'ensemble est indénombrable on parle de Modèle:Terme défini. La différence n'a rien de fondamental : en particulier la stationnarité, constance en fonction du temps des propriétés statistiques, se définit de la même façon. Il ne s'agit même pas d'une différence pratique car les calculs sur un processus continu s'effectuent à partir de l'échantillonnage d'une réalisation du processus. La différence porte plutôt sur l'attitude adoptée face à l'utilisation d'une seule réalisation.
Il existe une différence un peu plus nette entre les processus à valeurs continues et les processus de comptage à valeurs discrètes. Les seconds remplacent par des sommes algébriques les intégrales utilisées par les premiers.
Exemples
En matière de processus à valeurs continues, les processus de Gauss sont particulièrement utilisés pour les mêmes raisons que les variables de Gauss en statistiques élémentaires. Une application intuitive du théorème central limite conduit à penser que bon nombre de phénomènes, dus à des causes nombreuses, sont approximativement gaussiens. D'autre part, un tel processus présente l'avantage d'être entièrement défini par ses caractéristiques au second ordre, espérance et autocovariance.
La description d'un phénomène par des valeurs discrètes conduit à des processus de comptage dont le plus simple est le processus de Poisson utilisé dans la théorie des files d'attente.
La notion de propriété markovienne définit une classe de processus discrets ou continus, à valeurs discrètes ou continues, qui repose sur l'hypothèse selon laquelle l'avenir ne dépend que de l'instant présent.
Approche mathématique des processus stochastiques
Définitions et propriété de base
On désigne par <math>(\Omega , \mathcal{F} , P)</math> un espace de probabilité, Modèle:Mvar un ensemble arbitraire et Modèle:Mvar un espace métrique muni de la tribu borélienne notée <math>\mathcal{B}(S)</math>. Modèle:Mvar est souvent appelé Modèle:Terme défini (souvent, on aura <math>T=\mathbb{R}, \mathbb{R}_+, \mathbb{R}^p, \mathbb{N}, ...</math>). Modèle:Mvar peut faire référence au temps, à l'espace ou aux deux à la fois.
L'indice Modèle:Math désigne alors un instant (<math>\mathbb{R}_+</math>), une date (<math>\mathbb{N}</math>), un point, ou encore un point à un certain instant. Modèle:Mvar est appelé Modèle:Terme défini (souvent, on aura <math>S=\mathbb{R}, \mathbb{C}, \mathbb{C}^{\mathbb{N}},</math> un ensemble fini ou dénombrable). Si l'espace d'état Modèle:Mvar est de la forme Modèle:Formule, on parle de Modèle:Terme défini.
Un Modèle:Terme défini est une famille de variables aléatoires (c'est-à-dire, des applications mesurables) définies sur le même espace de probabilité <math>(\Omega , \mathcal{F} , P)</math> indexée par Modèle:Mvar et à valeurs dans Modèle:Mvar. Si Modèle:Mvar est un sous-ensemble d'un espace multidimensionnel, on préfère utiliser la dénomination de Modèle:Terme défini. Un processus stochastique est noté par Modèle:Math. La valeur de la variable aléatoire Modèle:Mvar en un certain Modèle:Math est désignée par Modèle:Math.
La famille de toutes les distributions finies-dimensionnelles de Modèle:Mvar s'appelle la Modèle:Terme défini du processus. Si <math>S\subseteq\R</math>, on parle de Modèle:Terme défini.
Trajectoire d'un processus stochastique
Notons par Modèle:Mvar l'ensemble des applications définies sur Modèle:Mvar en tout point et à valeur dans Modèle:Mvar. Fixons Modèle:Math et désignons par Modèle:Math l'application : <math>t\mapsto{X_t(\omega)}</math>. Une telle application est appelée trajectoire (ou réalisation) du processus stochastique Modèle:Math.
Mesure de probabilité induite par un processus stochastique
Soit Modèle:Math un processus stochastique, <math>\mathcal{B}(S^T)</math> la σ-algèbre borélienne de Modèle:Mvar (c'est-à-dire, la σ-algèbre engendrée par les ouverts de la topologie produit de Modèle:Mvar) et l'application suivante :
\Phi_X\colon (\Omega , \mathcal{F}) &\to (S^T , \mathcal{B}(S^T)) \\
w &\mapsto \Phi_X(w)=X_{.}(w)
\end{align}</math>Modèle:Math est mesurable. Désignons par <math>\tilde{\mathbb{P}}_X</math> la mesure de probabilité sur <math>(S^T , \mathcal{B}(S^T))</math> définie pour tout <math>\tilde{D}\in\mathcal{B}(S^T)</math> par <math>\tilde{\mathbb{P}}_X (\tilde{D}) = P \circ {\Phi_X}^{-1}(\tilde{D})</math> mesure de probabilité sur un espace de fonctions.
La probabilité <math>\tilde{\mathbb{P}}_X</math> est dite induite par le processus stochastique Modèle:Math sur l'espace mesuré <math>(S^T , \mathcal{B}(S^T))</math>.
Lois fini-dimensionnelles
Soient deux processus stochastiques Modèle:Math et Modèle:Math. On suppose que ces deux processus sont à valeur dans <math>(S,\mathcal{B}(S))</math>. Dans cette définition, on ne suppose pas qu'ils sont définis sur le même espace de probabilité. On dit alors que Modèle:Math et Modèle:Math possèdent les mêmes lois finis dimensionnelles si pour tout <math>k\in\mathbb{N}^*</math> et pour tout Modèle:Math, les vecteurs (donc de dimension finie) aléatoires Modèle:Math et Modèle:Math sont de même loi. Pour tout <math>A\in\mathcal{B}(S^k)</math>, on a :
On suppose que le processus Modèle:Math est défini sur l'espace de probabilité <math>(\Omega_X , \mathcal{F}_X , P_X)</math> et le processus Modèle:Math est défini sur l'espace de probabilité <math>(\Omega_Y , \mathcal{F}_Y , P_Y)</math>.
Lorsque deux processus stochastiques Modèle:Math et Modèle:Math possèdent les mêmes lois finis dimensionnelles, ils induisent alors la même mesure de probabilité sur <math>(S^T , \mathcal{B}(S^T))</math>, c'est-à-dire :
Version d'un processus stochastique
Soient deux processus stochastiques Modèle:Math et Modèle:Math définis sur le même espace de probabilité <math>(\Omega , \mathcal{F} , P)</math>. On dit que Modèle:Math est une version (ou modification) du processus stochastique Modèle:Math si Modèle:Math. Il est clair que si Modèle:Math est une version de Modèle:Math, alors ils ont les mêmes lois finis dimensionnelles.
Processus stochastiques indistinguables
Soient deux processus stochastiques Modèle:Math et Modèle:Math définis sur le même espace de probabilité <math>(\Omega , \mathcal{F} , P)</math>. On dit que Modèle:Math et Modèle:Math sont deux processus stochastiques indistinguables s'il existe <math>\Omega'\in\mathcal{F}</math> tel que :
Il en découle plusieurs propriétés :
- Si Modèle:Mvar est dénombrable, deux processus sont indistinguables si et seulement s'ils sont des versions l'un de l'autre ;
- Si Modèle:Mvar est non dénombrable, deux processus peuvent être une version l'un de l'autre sans pour autant être indistinguables ;
- Supposons Modèle:Math ou ℝ+ et Modèle:Math et Modèle:Math deux processus stochastiques tels que pour tout Modèle:Math, les applications de Modèle:Mvar dans Modèle:Mvar, <math>t \mapsto X_t(w)</math> et <math>t \mapsto Y_t(w)</math> sont continues à droite (resp. à gauche). Alors, Modèle:Math et Modèle:Math sont des versions l'un de l'autre si et seulement si Modèle:Math et Modèle:Math sont indistinguables.
Mutuelle indépendance
On dit que Modèle:Mvar processus stochastiques Modèle:Math sont mutuellement indépendants si <math>\forall k^1, ...,k^m\in\mathbb{N}^*</math> et <math>\forall (t^1_1, ..., t^1_{k_1})\in T^{k_1}, ..., (t^m_1, ..., t^m_{k_m})\in T^{k_m}</math>, les vecteurs aléatoires <math>\big({X^1_{t^1_1}}, ...,{X^1_{t^1_{k_1}}}\big), ..., \big({X^m_{t^m_1}}, ...,{X^m_{t^m_{k_m}}}\big)</math> sont mutuellement indépendants.
Mesurabilité d'un processus stochastique
On suppose Modèle:Math. On dit qu'un processus stochastique Modèle:Math est mesurable si l'application suivante est mesurable :
(\Omega\times{T} , \mathcal{F}\otimes\mathcal{B}(T)) &\to (S , \mathcal{B}(S)) \\
(w, t) &\mapsto X_t(w)
\end{align}</math>Supposons que Modèle:Math ou ℝ+ et que Modèle:Math est un processus à trajectoires continues à droite (respectivement continues à gauches), i.e. Modèle:Math est continue à droite (resp. continues à gauches). Alors, Modèle:Math est mesurable.
Voir aussi
Bibliographie
- Modèle:Ouvrage.
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- Modèle:Ouvrage.
- Modèle:Ouvrage.
- Modèle:Ouvrage.
- Modèle:Ouvrage
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