Produit semi-direct

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En théorie des groupes, le produit semi-direct permet de définir un groupe G à partir de deux groupes H et K, et généralise la notion de produit direct de deux groupes.

Produit semi-direct interne

Un groupe G est produit semi-direct interne d'un sous-groupe normal H par un sous-groupe K<ref>C'est cette convention sur les deux prépositions « de » et « par » qui est choisie dans :

Mais d'autres auteurs choisissent la convention inverse, en écrivant qu'alors, G est produit semi-direct du sous-groupe K par le sous-groupe normal H :

  • N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, chap. I, § 6, p. I.64 ;
  • Jean Fresnel, Groupes, Hermann, 2001, p. 24.</ref> si et seulement si l'une des définitions équivalentes suivantes est vérifiée :
  • <math>H\cap K=\{1\} \text{ et } G=HK</math> (en d'autres termes, H et K sont compléments l'un de l'autre dans G) ;
  • <math>\forall g\in G,\exists!(h,k)\in H\times K,g=hk</math> (tout élément de G s'écrit de manière unique comme produit d'un élément de H et d'un élément de K) ;
  • la restriction à K de la surjection canonique <math>G\to G/H</math> est un isomorphisme entre <math>K</math> et <math>G/H</math> ;
  • la surjection canonique <math>G\to G/H\to 1</math> se scinde par un morphisme <math>s</math> tel que <math>s(G/H)=K</math>.

La décomposition des éléments de G comme produit d'un élément de H et d'un élément de K est d'une certaine façon compatible avec la loi de composition du groupe. Soit en effet

<math>g_1 = h_1k_1 \text{ et } g_2 = h_2k_2</math>

deux éléments de G ainsi décomposés. On a :

<math>g_1g_2 = h_1k_1h_2k_2 = (h_1k_1h_2k_1^{-1})(k_1k_2)</math>

décomposé en un élément <math>h_1k_1h_2k_1^{-1}</math> de H (on utilise ici le fait que H est normal), et un élément <math>k_1k_2</math> de K.

Dans ce cas, le groupe K agit par conjugaison sur H, et le groupe G est donc isomorphe au produit semi-direct externe, c'est-à-dire au groupe défini par le produit cartésien de H par K muni de la loi :

<math>(h_1,k_1)(h_2,k_2)=(h_1(k_1h_2k_1^{-1}),k_1k_2)</math>

Pour tout <math>k \in K</math>, l'application

<math>\quad f(k) : H \to H : h \mapsto khk^{-1} </math>

est un automorphisme de H. En outre, l'application

<math> f : K \to \text{Aut}(H) : k \mapsto f(k) </math>

est un morphisme de groupes.

Produit semi-direct externe

On est donc amené à poser la définition plus générale suivante. Deux groupes, <math>H</math> et <math>K</math>, et un morphisme <math>f</math> de <math>K</math> dans le groupe <math>{\rm Aut}(H)</math> des automorphismes de <math>H</math>, étant donnés, on peut définir le produit semi-direct externe <math>G</math> de <math>H</math> et <math>K</math> suivant <math>f</math> comme le produit cartésien de <math>H</math> et <math>K</math> muni de la loi de groupe :

<math>(h_1,k_1)(h_2,k_2)=(h_1f(k_1)(h_2),k_1k_2)~</math>

où l'inverse d'un élément <math>\left(h,k\right)</math> est <math>\left(f(k^{-1})(h^{-1}),\ k^{-1}\right)</math>.

On peut injecter <math>H</math> dans <math>G</math> par l'injection canonique <math>h\ \mapsto\ (h, e_K)</math>, et injecter <math>K</math> dans <math>G</math> par l'injection canonique <math>k\ \mapsto\ (e_H, k)</math>. On vérifie alors que <math>G</math> est le produit semi-direct interne de <math>H</math> par <math>K</math> au sens donné en début d'article. Sous ces identifications, on vérifie également que l'automorphisme <math>f(k)</math> est l'automorphisme de conjugaison par <math>k</math>. On note

<math> G = H \rtimes_f K</math> ou tout simplement <math> G = H \times_f K</math>.

Le cas où <math>f</math> est le morphisme trivial de groupe (i.e. <math>f(k_1)(h_2) = h_2</math>) correspond au produit direct.

Soient H, H1, K, K1 des groupes, f un morphisme de H dans Aut(K), f1 un morphisme de H1 dans Aut(K1). Alors f et f1 peuvent être vus respectivement comme des actions (à gauche) de H sur K et de H1 sur K1 par automorphismes. Si ces actions sont quasi équivalentes (comme actions par automorphismes), les produits semi-directs

<math> H \rtimes_f K</math> et <math>H_{1} \rtimes_{f_{1}} K_{1}</math>

sont des groupes isomorphes<ref>Voir Modèle:Harvsp, énoncé 10.3.</ref>.

Exemples

  • Le groupe diédral D2n est le produit semi-direct d'un groupe cyclique Cn d'ordre n par un groupe cyclique C2 d'ordre 2, où l'unité de C2 agit sur Cn comme l'application identique et l'autre élément de C2 agit sur Cn par inversion<ref>Voir Modèle:Harvsp.</ref>. Explicitement, le morphisme <math> f</math> de C2 dans Aut(Cn) est défini par :Modèle:RetraitGéométriquement, le groupe Cn est engendré par une rotation, le groupe C2 par une réflexion.
  • Le groupe affine est le produit semi-direct du groupe additif formé de l'espace vectoriel E sous-jacent à l'espace affine (isomorphe au groupe des translations), par le groupe linéaire de cet espace vectoriel. Si on identifie l'espace affine à son espace vectoriel E, un élément f du groupe affine est de la forme <math>f(v)=u+\varphi(v)</math> où <math>\varphi</math> est un élément du groupe linéaire et u un vecteur de E. f est donc défini par la donnée du couple <math>(u,\varphi)</math>. La composée des applications affines se traduira alors par la loi de groupe suivante :
<math>(u,\varphi)(v,\psi) := (u + \varphi(v), \varphi \circ \psi)</math>.

Groupe dérivé

Le groupe dérivé D(G) d'un produit semi-direct G = H⋊K est égal au sous-groupe (D(H)[H, K])⋊D(K)<ref>Modèle:Article (Proposition 3.3), Modèle:Arxiv2 (Proposition 29).</ref>.

En effet, D(G) est le sous-groupe engendré par la réunion des trois sous-groupes D(H), [H, K] (inclus dans H) et D(K), or l'ensemble produit D(H)[H, K] est un sous-groupe de H, stable par l'action de K donc par celle du sous-groupe D(K).

Notes et références

Modèle:Références

Voir aussi

Modèle:Autres projets

Articles connexes

Bibliographie

Modèle:Portail

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