Groupe général linéaire
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}} En mathématiques, le groupe général linéaire — ou groupe linéaire — de degré Modèle:Mvar d’un corps commutatif Modèle:Mvar (ou plus généralement d'un anneau commutatif unifère) est le groupe des matrices inversibles de taille Modèle:Mvar à coefficients dans Modèle:Mvar, muni du produit matriciel. On le note Modèle:Math ou Modèle:Math et il représente les automorphismes de l’espace vectoriel Modèle:Math.
Ce groupe est non abélien dès lors que Modèle:Math. Lorsque Modèle:Mvar est un corps commutatif, l’ensemble Modèle:Math est en outre un ouvert pour la topologie de Zariski. Dans les cas particuliers Modèle:Math ou Modèle:Math, il s’agit même d’un ouvert dense de <math>\mathcal M_n(K)</math>.
Modèle:Math et ses sous-groupes sont souvent appelés « groupes linéaires » ou « groupes matriciels ». En particulier, le groupe spécial linéaire, noté Modèle:Math et constitué des matrices de déterminant 1, forme un sous-groupe normal de Modèle:Math.
Ces groupes sont importants dans la théorie des représentations de groupes et apparaissent lors de l’étude des symétries et des polynômes.
Description
Modèle:... Pour tout anneau commutatif unifère Modèle:Math est un groupe pour la multiplication des matrices : c'est le groupe des unités de l'anneau des matrices Modèle:Math à coefficients dans Modèle:Math.
Si Modèle:Math n’est pas abélien (sauf bien sûr si Modèle:Math est nul).
Pour tout corps commutatif Modèle:Math est engendré par les matrices élémentaires de transvections et de dilatations (car les transvections engendrent le groupe spécial linéaire).
Groupe général linéaire
Groupe général linéaire d’un espace vectoriel
Si Modèle:Math est un espace vectoriel sur le corps Modèle:Math, on appelle groupe général linéaire de E et on note GL(E) ou Aut(E), le groupe des automorphismes de E muni de la composition des applications.
Si E est de dimension n, alors GL(E) et GL(n, K) sont isomorphes. Cet isomorphisme n’est pas canonique : il dépend du choix d’une base de E. Une fois cette base choisie, tout automorphisme de E peut être représenté par une matrice n × n inversible qui détermine l’isomorphisme.
Sur les réels et les complexes
Si le corps Modèle:Math est ℝ (les nombres réels) ou ℂ (les nombres complexes), alors Modèle:Math est un groupe de Lie réel ou complexe de dimension Modèle:Math. En effet, Modèle:Math est constitué des matrices de déterminant non nul. Le déterminant étant une application continue (et même polynomiale), Modèle:Math est un sous-ensemble ouvert non vide de la variété M(n) des matrices Modèle:Math, or cette variété est de dimension Modèle:Math.
L’algèbre de Lie associée à Modèle:Math est M(n).
Modèle:Math est dense dans M(n).
Modèle:Math est connexe mais pas simplement connexe : son groupe fondamental est monogène infini.
Modèle:Math possède deux composantes connexes : les matrices de déterminant positif et celles de déterminant négatif. Les matrices Modèle:Math réelles de déterminant positif forment un sous-groupe de Modèle:Math, noté Modèle:Math. Ce dernier est également un groupe de Lie de dimension Modèle:Math et possède la même algèbre de Lie que Modèle:Math. Son groupe fondamental est monogène : trivial pour Modèle:Math = 1, infini pour Modèle:Math = 2 et d'ordre 2 pour Modèle:Math.
Sur les corps finis
Si Modèle:Math est un corps fini à Modèle:Math éléments, alors on écrit parfois Modèle:Math à la place de Modèle:Math. C'est un groupe fini d'ordre Modèle:Math, ce qui peut être prouvé en comptant les bases d'un espace vectoriel fini.
Groupe spécial linéaire
Le groupe spécial linéaire d’ordre n sur l'anneau commutatif R, noté SL(n,R), est constitué des matrices de déterminant 1.
C'est un sous-groupe normal de GL(n,R), puisque c'est le noyau du morphisme de groupes « déterminant », de GL(n, R) dans le groupe multiplicatif R× des éléments inversibles de R. D’après le premier théorème d'isomorphisme, le groupe quotient GL(n,R)/SL(n,R) est isomorphe à R×. En fait, GL(n,R) est un produit semi-direct de SL(n,R) par R× : Modèle:Nobr
Pour un corps K, SL(n,K) est engendré par les matrices élémentaires de transvections<ref>Voir par exemple Modèle:Note autre projet Cette propriété se généralise à SL(n, R) pour tout anneau commutatif R euclidien ou semi-local (Modèle:Ouvrage) mais pas pour tout R principal (Modèle:Ouvrage).</ref>.
SL(n, K) est le groupe dérivé de GL(n, K), sauf si n = 2 et K = F2. Modèle:Démonstration Les mêmes techniques permettent de montrer que tous les groupes SL(n, K) sont parfaits, sauf SL(2,F2) et SL(2,F3)<ref>Voir par exemple Modèle:Note autre projet</ref>.
Lorsque K est ℝ ou ℂ, SL(n) est un sous-groupe de Lie de GL(n) de dimension n2-1. L'algèbre de Lie de SL(n) est formée des matrices n×n à coefficients réels ou complexes de trace nulle.
Le groupe spécial linéaire SL(n,ℝ) peut être vu comme le groupe des transformations linéaires de ℝn préservant le volume et l’orientation.
Groupe projectif linéaire
Le Modèle:Lien PGL(E) d’un espace vectoriel E sur un corps commutatif K est le groupe quotient GL(E)/Z(E), où Z(E) est le centre de GL(E), c'est-à-dire le sous-groupe formé des homothéties non nulles. Le groupe projectif spécial linéaire PSL(E) d'un espace E de dimension finie est le groupe quotient de SL(E) par son centre SZ(E), c'est-à-dire par le sous-groupe formé des homothéties de déterminant 1<ref>Pour ces définitions, voir par exemple Modèle:Rotman1, Modèle:4e édition, tirage de 1999, p. 222-223.</ref>. Si E = Kn, ils sont notés respectivement PGL(n, K) et PSL(n, K). Le groupe projectif spécial linéaire PSL(n, Fq) d’un corps fini Fq est parfois noté Ln(q).
Cette dénomination de « groupe projectif » vient de la géométrie projective, où le groupe projectif agissant sur les coordonnées homogènes (x0:x1: … :xn) est le groupe sous-jacent de cette géométrie (en conséquence, le groupe PGL(n+1,K) agit sur l'espace projectif de dimension n). Le groupe projectif linéaire généralise donc le groupe PGL(2) des transformations de Möbius, parfois appelé le groupe de Möbius.
Le monomorphisme canonique de PSL(n, K) dans PGL(n, K) est surjectif si et seulement si tout élément de K a une racine n-ième dans K.
Tous les groupes PSL(n, K) pour n ≥ 2 sont simples, sauf PSL(2, F2) et PSL(2, F3)<ref>Pour une démonstration, voir par exemple Modèle:Harvsp, ou Modèle:Note autre projet</ref>.
Sur les entiers relatifs
Une matrice carrée à coefficients dans un anneau commutatif R est inversible (i.e. possède une matrice inverse également à coefficients dans R) si et seulement si son déterminant est inversible dans R (si R n'est pas un corps, il ne suffit donc pas que le déterminant soit non nul). Les éléments de GL(n, ℤ) sont donc les matrices n × n à coefficients entiers de déterminant égal à 1 ou –1. Le groupe modulaire est le groupe PSL(2, ℤ).
Sous-groupes
Diagonaux
L’ensemble des matrices diagonales de déterminant non nul forme un sous-groupe de GL(n, K) isomorphe à (K×)n. Il est engendré par les dilatations.
Une matrice scalaire est une matrice d'homothétie, c'est-à-dire une matrice diagonale qui est le produit de la matrice identité par une constante. L’ensemble des matrices scalaires non nulles, parfois noté Z(n,K), forme un sous-groupe de GL(n, K) isomorphe à K×. Ce groupe est le centre de GL(n, K). Il est donc normal dans GL(n, K) et abélien.
Le centre de SL(n,K), noté SZ(n,K), est simplement l’ensemble des matrices scalaires de déterminant 1. Il est isomorphe au groupe des racines n-ièmes de 1.
Classiques
Les groupes classiques sont les sous-groupes de GL(E) qui préservent une partie du produit interne sur E. Par exemple :
- le groupe orthogonal, O(E), qui préserve une forme bilinéaire symétrique sur E ;
- le groupe symplectique, Sp(E), qui préserve une forme bilinéaire antisymétrique (dite aussi alternée) sur E ;
- le groupe unitaire, U(E), qui préserve une forme hermitienne sur E (quand K est ℂ).
Ces groupes sont des exemples importants de groupes de Lie.
Groupe général linéaire infini
Le groupe général linéaire « infini », ou « stable », d'un anneau unitaire A est la limite inductive de la suite des GL(n, A), pour les inclusions par blocs supérieurs gauches :
On le note GL(A) ou GL(Modèle:Math, A). On peut voir ses éléments comme les matrices infinies inversibles qui ne diffèrent de la matrice identité (infinie) que par un nombre fini de leurs coefficients. Le lemme de Whitehead permet de calculer son groupe dérivé.
Notes et références
Modèle:Traduction/Référence <references/>
