Matrice élémentaire
Une matrice est dite élémentaire lorsqu'elle est obtenue en appliquant une seule opération élémentaire sur les lignes de la matrice identité<ref>Modèle:Ouvrage.</ref>.
Les opérations élémentaires sur les lignes d'une matrice sont les suivantes<ref>Modèle:Harvsp.</ref> :
- permuter deux lignes entre elles ;
- ajouter un multiple d'une ligne à une autre ligne ;
- multiplier une ligne par un scalaire non nul.
Exemples
| Opération effectuée sur la matrice identité Modèle:Math | type de matrice | |
| échanger lignes 1 et 2 | <math>
\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} </math>||matrice de permutation | |
| multiplier ligne n°3 par 5 | <math>
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \\ \end{pmatrix} </math>||matrice de dilatation | |
| ajouter 5×ligne n°2 à la ligne n°3 | <math>
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 \\ \end{pmatrix}</math>||matrice de transvection |
Propriétés
Un examen direct des trois types montre que toute matrice élémentaire est inversible et de transposée élémentaire.
Multiplier à gauche une matrice A par une matrice élémentaire résultant d'une opération élémentaire sur les lignes de la matrice identité revient à effectuer l'opération correspondante sur les lignes de A<ref name=C127/> (on retrouve ainsi que toute matrice élémentaire est inversible : son inverse correspond à l'opération élémentaire inverse).
En notant M la matrice élémentaire associée à une certaine opération élémentaire sur les lignes, effectuer sur A l'opération élémentaire correspondante sur les colonnes revient à multiplier A à droite par la transposée de M<ref name=C127>Modèle:Harvsp.</ref>.
Remarque
Le premier type d'opérations élémentaires (permutation de deux lignes ou colonnes) est en fait superflu car il peut s'obtenir à partir des deux autres<ref>Modèle:Ouvrage.</ref>. En effet,
Notes et références
<references/>
