Quaternion hyperbolique
{{#invoke:Bandeau|ébauche}} L'algèbre des quaternions hyperboliques est un objet mathématique promu à partir de 1890 par Modèle:Lien. L'idée fut mise à l'écart, à cause de la non-associativité de la multiplication, mais elle est reprise dans l'espace de Minkowski. Comme les quaternions de Hamilton, c'est une algèbre réelle de dimension Modèle:Math.
Une combinaison linéaire :
- <math>q = a+b\mathrm{i}+c\mathrm{j}+d\mathrm{k}</math>
est un quaternion hyperbolique si <math>a, b, c</math> et <math>d</math> sont des nombres réels, et les unités <math>1,\mathrm i,\mathrm j,\mathrm k</math> sont telles que :
<math>\begin{cases} \mathrm{i}\mathrm{j} = -\mathrm{j}\mathrm{i}= \mathrm{k} \\ \mathrm{j}\mathrm{k} = -\mathrm{k}\mathrm{j} = \mathrm{i} \\ \mathrm{k}\mathrm{i} = -\mathrm{i}\mathrm{k} = \mathrm{j} \\ \mathrm{i}^2 = \mathrm{j}^2 = \mathrm{k}^2 = \mathrm{i}\mathrm{j}\mathrm{k} = +1 \end{cases}</math>
Soit :
| <math>\cdot</math> | <math>1</math> | <math>\mathrm{i}</math> | <math>\mathrm{j}</math> | <math>\mathrm{k}</math> |
| <math>1</math> | <math>1</math> | <math>\mathrm{i}</math> | <math>\mathrm{j}</math> | <math>\mathrm{k}</math> |
| <math>\mathrm{i}</math> | <math>\mathrm{i}</math> | <math>1</math> | <math>\mathrm{k}</math> | <math>-\mathrm{j}</math> |
| <math>\mathrm{j}</math> | <math>\mathrm{j}</math> | <math>-\mathrm{k}</math> | <math>1</math> | <math>\mathrm{i}</math> |
| <math>\mathrm{k}</math> | <math>\mathrm{k}</math> | <math>\mathrm{j}</math> | <math>-\mathrm{i}</math> | <math>1</math> |
La différence entre les quaternions et les quaternions hyperboliques est donc la valeur du carré <math>\mathrm{i}^2 = \mathrm{j}^2 = \mathrm{k}^2 = +1</math>. Elle vaut <math>-1</math> pour les quaternions et <math>+1</math> pour les quaternions hyperboliques.
Bien que ces unités ne respectent pas l'associativité, l'ensemble <math>\{1,\mathrm i,\mathrm j,\mathrm k,-1,-\mathrm i,-\mathrm j,-\mathrm k\}</math> forme un quasigroupe.
Exemple de non-associativité : <math>\left(\mathrm{i}\mathrm{j} \right)\mathrm{j} = \mathrm{k} \mathrm{j} =-\mathrm{i}</math> alors que <math>\mathrm{i}\left(\mathrm{j} \mathrm{j}\right) = \mathrm{i} \times 1 = \mathrm{i}</math>.
Si l'on définit le conjugué <math>q^*</math> de <math>q</math> par
- <math>q^* = a -b\mathrm{i} - c\mathrm{j} -d\mathrm{k}</math>
alors le produit
- <math>\|q\| := qq^* = a^2-b^2-c^2-d^2</math> est la forme quadratique utilisée dans l'espace de Minkowski, pour la convention <math>+---</math>.
Soit <math>X(\mathrm{c}t, x, y, z)</math> un point de l'espace temps et <math>X^*(\mathrm{c}t, x, y, z)</math> son conjugué. <math>\|X\| = \mathrm{c}^2t^2-x^2-y^2-z^2</math> est le carré de la pseudo-norme de <math>X</math> dans l'espace de Minkowski.
