Test de la dérivée première
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En analyse réelle, le test de la dérivée première permet de déterminer l'allure d'une fonction dérivable <math>f</math> en étudiant le signe de sa dérivée. Grâce à ce test, on peut déduire les extrema locaux, le sens de variation de f et les points d'inflexion « horizontaux », permettant ainsi de donner une allure du graphe de la fonction <math>f</math>.
Cas général
Soit <math>f :\, I\,\rightarrow \mathbb{R},\, x \mapsto f(x)</math> avec <math>I</math> un intervalle ouvert réel (par exemple <math>I = ]a,b[</math> où <math>a</math> et <math>b</math> sont des réels). On suppose de plus que <math>f</math> dérivable sur <math>I</math> .
L'étude du signe de la dérivée <math>f'</math> permet d'en déduire les variations de la fonction <math>f</math> :
- Si <math>I_1 \subset I</math> est un intervalle tel que pour tout <math>x \in I_1,</math> <math>f'(x) < 0</math>, alors <math>f</math> est strictement décroissante sur <math>I_1</math>
- Si <math>I_2 \subset I</math> est un intervalle tel que pour tout <math>x \in I_2,</math> <math>f'(x) > 0</math>, alors <math>f</math> est strictement croissante sur <math>I_2</math>
- Si <math>x \in I</math> est tel que <math>f'(x) = 0</math>, alors <math>f</math> admet un extremum local ou un point d'inflexion (suivant si <math>f'</math>change de signe en <math>x</math> ou non).
Les points en lesquels <math>f'</math> s'annule sont parfois appelés points critiques. Leur étude est très utile quand on s'intéresse aux variations d'une fonction. En effet, si la fonction <math>f</math> change de sens de variation en un point, la dérivée s'annule en ce point. Cependant, la réciproque est fausse dans le cas général : <math>f'</math>peut s'annuler sans que <math>f</math> ne change de sens de variation, c'est par exemple le cas lorsque <math>f</math> admet un point d'inflexion horizontal.
Exemple
Soit la fonction polynomiale définie pour tout <math>x \in \mathbb{R}</math> par <math>f(x)=2x^3-3x^2-12x+10</math>.
On utilise le test de la dérivée première pour établir le tableau de variation de <math>f</math> et ainsi donner l'allure du graphe de cette fonction.
Dérivée
On commence par calculer la dérivée de <math>f</math> à l'aide des formules usuelles des dérivées. Pour <math>x \in \mathbb{R}</math>,
- <math>f'(x)= 6 x^2 - 6 x - 12 = 6(x-2)(x+1)</math>
On en déduit que <math>f'(x)=0 \Leftrightarrow x = -1 \text{ ou } x= 2</math> et donc que la tangente à la courbe de la fonction est horizontale en <math>x=2</math> et <math>x=-1</math>. De plus, la fonction <math>f'</math> est strictement positive sur <math>]-\infty, -1[</math> et <math>]2,+\infty[</math> et strictement négative sur <math>]-1, 2[</math> (voir Fonction du second degré).
Tableau de variations
Un aperçu de la représentation graphique de <math>f(x)=2x^3-3x^2-12x+10</math> peut être obtenu en regroupant toutes les informations précédentes dans un tableau, appelé tableau de variation.
| <math>x</math> | <math>- \infty</math> | <math>-1</math> | <math>2</math> | <math>+ \infty</math> | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| signe de
<math>f'(x)</math> |
<math>+</math> | <math>0</math> | <math>-</math> | <math>0</math> | <math>+</math> | ||
| variations de
<math>f</math> |
<math>- \infty</math> | <math>\nearrow</math> | <math>17</math> | <math>\searrow</math> | <math>-10</math> | <math>\nearrow</math> | <math>+ \infty</math> |
On remarque que la fonction <math>f'</math>change de signe en Modèle:Math donc il s'agit bien d'un extremum local, ici un maximum. De même, en Modèle:Math, la fonction atteint un minimum local. On peut en déduire une esquisse du graphe de <math>f</math>.
Cas multivarié
De manière analogue, on peut déterminer les extrema locaux et globaux d'une fonction réelle à valeurs réelles par l'étude des points d'annulation du gradient.
