Gradient
En mathématiques et en physique, le gradient d'une fonction est son taux de variation selon la position (au sens large). Par exemple, en météorologie, le gradient de température est le taux de variation de la température selon l'altitude<ref>Modèle:Lien web</ref> ; on le mesure en °C/hm (Modèle:Cad degrés Celcius par cent mètres).
Pour une fonction <math>f : U \subset \R \to \R</math>, le gradient de Modèle:Mvar se confond avec la dérivée de Modèle:Mvar. Pour une fonction <math>f : U \subset \R^n \to \R</math>, où Modèle:Mvar est un nombre entier Modèle:Math, le gradient de Modèle:Mvar en un point est un vecteur dont la direction est celle de la variation la plus forte de Modèle:Mvar au voisinage de ce point<ref>Modèle:Lien web</ref>. Cette notion est liée à celle de différentielle pour des fonctions à valeurs réelles : si Modèle:Mvar est différentiable en Modèle:Mvar, la différentielle Modèle:Math est une forme linéaire ; à cette forme linéaire, si l'ensemble de départ Modèle:Mvar est de dimension finie, on peut associer un vecteur qui est le gradient de Modèle:Mvar en Modèle:Mvar.
Par exemple, si une fonction <math>f : \R^3 \to \R</math> est différentiable au point Modèle:Mvar, alors son gradient est le vecteur, noté à l'aide de l'opérateur nabla :
- <math>\overrightarrow{\nabla} f(a) = \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x}(a) \\ \frac{\partial f}{\partial y}(a) \\ \frac{\partial f}{\partial z}(a)\end{pmatrix},</math>
où <math>\frac{\partial f}{\partial x}(a), \frac{\partial f}{\partial y}(a), \frac{\partial f}{\partial z}(a)</math> sont les dérivées partielles de Modèle:Mvar au point Modèle:Mvar par rapport aux variables Modèle:Math respectivement. La variation de Modèle:Mvar au voisinage de Modèle:Mvar pour une petite variation <math>h = (x_h,y_h,z_h)</math> est :
- <math>f(a+h)-f(a) \approx \frac{\partial f}{\partial x}(a) \ x_h + \frac{\partial f}{\partial y}(a) \ y_h + \frac{\partial f}{\partial z}(a) \ z_h.</math>
À chaque point où Modèle:Mvar est différentiable, on peut définir un vecteur ; la famille de ces vecteurs forme un champ de vecteurs. Ce champ s'appelle aussi gradient de la fonction Modèle:Mvar et se note <math>\overrightarrow{\nabla} f.</math> C'est une fonction définie sur l'ensemble <math>U \subset E</math> des points de Modèle:Mvar où Modèle:Mvar est différentiable, et à valeurs dans Modèle:Mvar.
Le gradient permet d'approcher les fonctions de plusieurs variables par des formes linéaires. Il se révèle utile en physique, mais aussi en géométrie pour déterminer les normales aux lignes de niveaux ou aux isosurfaces.
Motivation
En physique et en analyse vectorielle, le gradient est un vecteur indiquant comment une grandeur physique varie dans l'espace<ref group="alpha">Autrement dit, quand une grandeur physique dépend aussi de variables non spatiales (par exemple, le temps), on ne tient compte dans le calcul du gradient que des variables spatiales.</ref>. Le gradient est d'une importance capitale en physique, qui l'employa avant les autres disciplines. En théorie des variations, il est aussi fondamental dans le domaine de l'optimisation ou de la résolution d'équations aux dérivées partielles.
En sciences de la Terre, le gradient est utilisé pour la variation dans toutes les directions d'un paramètre de la lithosphère, de l'hydrosphère, de l'atmosphère, ou de la biosphère. Cependant, le terme est souvent employé pour la composante dans une seule direction, comme dans le cas de la dérivée verticale d'une grandeur physique, Modèle:Cad sa dérivée par rapport à la coordonnée <math>z</math> (altitude ou profondeur). Par exemple, le gradient géothermique est la dérivée <math>\tfrac{\partial T}{\partial z}</math> fois <math>\vec{\mathrm k}</math>, où <math>T</math> est la température et <math>\vec{\mathrm k}</math> un vecteur unitaire vertical.
Définition
Dans un système de coordonnées cartésiennes, le gradient d'une fonction Modèle:Mvar différentiable au point <math>a = (x_1,x_2,\dots,x_n)</math> est le vecteur noté <math>\nabla f(a)</math> de composantes les <math>\tfrac{\partial f}{\partial x_i} (a) ~</math> (où Modèle:Math)<ref>Modèle:Lien web</ref>, Modèle:Cad les dérivées partielles de Modèle:Mvar par rapport aux coordonnées<ref name="Gradient">Modèle:Lien web</ref>,<ref>Modèle:Lien web</ref>, au point Modèle:Mvar :
<math display="block">\nabla f(a) = \begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial x_1} (a) \\ \vdots \\ \frac{\partial f}{\partial x_n} (a) \end{bmatrix}.</math>
Dans un repère orthonormé, si le vecteur gradient n'est pas nul, alors il pointe dans la direction où la fonction croît le plus rapidement, et sa norme est égale au taux de croissance dans cette direction.
Les composantes du gradient de Modèle:Mvar sont les coefficients des variables dans l'équation réduite de l'espace tangent au point Modèle:Mvar au graphe de Modèle:Mvar. Cette propriété lui permet d'être défini indépendamment du choix du système de coordonnées, en tant que champ de vecteurs dont les composantes se transforment lors du passage d'un système de coordonnées à un autre.
La généralisation du gradient aux fonctions différentiables de plusieurs variables et à valeurs vectorielles (et aux applications différentiables entre espaces euclidiens) est la matrice jacobienne. La généralisation aux fonctions entre espaces de Banach est la dérivée de Fréchet.
Notation
- La dérivée ou différentielle d'une fonction Modèle:Mvar en un point Modèle:Mvar est généralement notée :
- Modèle:Math ou Modèle:Math ou <math>\mathrm{D}f_a</math> ou <math>\mathrm{D}_a f</math> ou <math>\mathcal{D}_a f \ ;</math>
- ou, abusivement puisqu'elle n'est pas infinitésimale :
- Modèle:Math ou <math>\mathrm{d}f_a</math> ou <math>\mathrm{d}_a f.</math>
- Le gradient d'une fonction Modèle:Mvar en un point Modèle:Mvar est généralement noté :
- <math>\overrightarrow{\mathrm{grad}} \ f(a)</math> ou <math>\overrightarrow{\nabla} f(a)</math> ou <math>\overrightarrow{\mathrm{grad}}_a f</math> ou <math>\overrightarrow{\nabla}_a f \ ;</math>
- dans la littérature en anglais, ou en français par commodité typographique, on préfère souvent mettre en gras le symbole du gradient pour signifier son caractère vectoriel :
- <math>\mathbf{grad} \ f</math> ou Modèle:Math.
- Le symbole ∇ est appelé nabla.
Gradient de température
Le gradient de température, ou gradient thermique, est le gradient de la température en tant que fonction scalaire des coordonnées spatiales (lui est une fonction vectorielle de ces coordonnées).
Gradient dans une seule direction (dérivée)
Supposons que l'on place une poutre rectiligne entre deux murs qui n'ont pas la même température, le mur de gauche étant le plus froid. On observe que, sur la poutre, la température varie dans le temps, et dans l'espace : elle augmente de la gauche vers la droite. À ce phénomène thermodynamique, on associe un phénomène de flux de chaleur, lui-même lié à un gradient de température, Modèle:Cad à une variation de la température le long de la poutre (cf. Conduction thermique, Loi de Fourier).
À un instant fixé, à chaque point Modèle:Formule de la poutre, on attribue une abscisse Modèle:Formule ; par exemple, à l'extrémité gauche, l'abscisse Modèle:Math, et à l'extrémité droite, l'abscisse Modèle:Formule (longueur de la poutre). En chaque point Modèle:Formule de la poutre, on considère la température Modèle:Formule ; autrement dit, Modèle:Formule est fonction de Modèle:Formule.
Entre deux points distants d'une très petite longueur Modèle:Formule, on mesure un écart de température Modèle:Formule. Au sens usuel, le gradient (de température) est le rapport entre ces deux grandeurs :
- <math>\overrightarrow{\operatorname{grad}} \ T = \frac{\delta T}{\delta x} \ \vec{\mathrm i}.</math>
Au sens analytique (mathématique), on parle de gradient si ce rapport admet une limite quand Modèle:Formule tend vers 0, limite notée :
- <math>\overrightarrow{\nabla} T(x) = T'(x) \ \vec{\mathrm i} = \frac{\mathrm dT}{\mathrm dx} (x) \ \vec{\mathrm i}.</math>
On écrit la variation le long de Modèle:Formule comme l'approximation (dite du premier ordre) :
- <math>T(x + \delta x) - T(x) = \frac{\mathrm dT}{\mathrm dx} (x) \ \delta x + o(\delta x),</math>
où <math>o(\delta x)</math> signifie que le terme qui reste est négligeable par rapport à <math>\delta x.</math>
Propriétés
- Le rapport <math>\tfrac{\delta T}{\delta x}</math> a un signe, qui correspond à un sens. Dans notre poutre, la température augmente de gauche à droite, donc le gradient est orienté vers la droite ; l'axe des Modèle:Formule aussi est orienté de gauche à droite, donc <math>\tfrac{\delta T}{\delta x} > 0.</math>
- En dimension 1, les notions de gradient et de dérivée sont équivalentes.
- En physique, la norme de ce gradient est homogène à une température divisée par une distance (mesurée en K·m−1, ou plus usuellement en °C·m−1).
Gradient de température dans l'espace à trois dimensions usuel
En réalité, la température d'un point de la poutre varie en fonction d'un déplacement dans l'espace. On caractérise un point Modèle:Formule de l'espace par ses coordonnées cartésiennes : Modèle:Formule. « Comme » précédemment, la température est fonction des coordonnées de Modèle:Formule : Modèle:Formule.
Pour chacune de ces directions, on peut écrire une variation, dite partielle. Si, tout en étant en 3D, on ne se déplace que selon un axe, par exemple selon les ordonnées Modèle:Formule, alors on peut réécrire la même formule que précédemment sur l'accroissement de température. Cependant, pour noter la variation, on passe par l'écriture en dérivée partielle (dite ronde) plutôt que par la dérivée unidimensionnelle (dite droite). On écrit la variation le long de Modèle:Formule comme l'approximation (dite du premier ordre) :
- <math>T(x, y + \delta y, z) - T(x,y,z) = \frac{\partial T}{\partial y} (x,y,z) \ \delta y + o(\delta y),</math>
où <math>o(\delta y)</math> signifie que le terme qui reste est négligeable par rapport à <math>\delta y.</math>
Plus généralement, on se déplace dans l'espace d'un point Modèle:Formule à un point Modèle:Formule, et la température passe de Modèle:Formule à Modèle:Formule. En première approximation, cette variation est une fonction linéaire de <math>\vec h = \overrightarrow{MM'} = \delta \ \! \overrightarrow{\mathrm OM} = (\delta x, \delta y, \delta z)</math>, et s'exprime donc comme somme algébrique des variations liées à chacune des composantes de <math>\vec h :</math>
- <math>T(x + \delta x, y + \delta y, z + \delta z) - T(x,y,z) = \frac{\partial T}{\partial x} (x,y,z) \ \delta x + \frac{\partial T}{\partial y} (x,y,z) \ \delta y + \frac{\partial T}{\partial z} (x,y,z) \ \delta z + o \! \left( \big\| \vec h \big\| \right),</math>
où <math>o \! \left( \big\| \vec h \big\| \right)</math> signifie que le terme qui reste est négligeable par rapport à <math>\big\| \vec h \big\|.</math>
Soit <math>\overrightarrow{\nabla} T(x,y,z) = \left( \frac{\partial T}{\partial x} (x,y,z), \frac{\partial T}{\partial y} (x,y,z), \frac{\partial T}{\partial z} (x,y,z) \right)</math> le vecteur gradient de température. On peut alors réécrire la relation précédente sous la forme :
- <math>T(M + \vec h) - T(M) = \overrightarrow{\nabla} T(M) \cdot \vec h + o \! \left( \big\| \vec h \big\| \right),</math>
où <math>\text{«} \cdot \text{»}</math> désigne le produit scalaire usuel sur <math>\R^3.</math>
Propriétés
- Le gradient est un vecteur de même dimension que l'espace sur lequel porte la température (ici ℝModèle:3), alors que la température est à valeurs scalaires (Modèle:Cad que la température en un point est un nombre, pas un vecteur).
- La direction du (vecteur) gradient définit de nouveau la direction du plus froid au plus chaud, mais cette fois en 3D.
- La norme du gradient de température est toujours homogène à Modèle:Unité.
Introduction par les éléments différentiels
Comme pour la différentielle dont il est une variante, le gradient peut être introduit avec le vocabulaire des éléments différentiels. À titre d'exemple, examinons le problème de la variation de l'aire d'un rectangle.
Dans le plan (Modèle:Formule), considérons un rectangle de côtés Modèle:Formule et Modèle:Formule. Sa surface Modèle:Formule est égale à Modèle:Formule ; elle dépend donc des coordonnées du point Modèle:Formule. En suivant une démarche intuitive, on convient de noter par Modèle:Formule (resp. Modèle:Formule) une variation infinitésimale de la variable Modèle:Formule (resp. Modèle:Formule). Lorsque le point Modèle:Formule fait un déplacement infinitésimal, la surface varie de façon infinitésimale, et on peut écrire que :
- <math>S + \mathrm dS = (x + \mathrm dx)(y + \mathrm dy) = xy + x \ \mathrm dy + y \ \mathrm dx + \mathrm dx \ \mathrm dy.</math>
On en déduit facilement que :
- <math>\mathrm dS = y \ \mathrm dx + x \ \mathrm dy + \mathrm dx \ \mathrm dy.</math>
Une simple application numérique où Modèle:Formule et Modèle:Formule seraient des mètres et Modèle:Formule et Modèle:Formule des centimètres illustre que Modèle:Formule est négligeable par rapport aux autres grandeurs.
On peut donner un statut mathématique précis aux notations Modèle:Formule et Modèle:Formule (qui sont des formes différentielles), et à la quantité Modèle:Formule (qui est alors du second ordre). Le calcul précédent est en fait un calcul de développement limité à l'ordre 1, faisant intervenir les dérivées premières de la fonction Modèle:Formule par rapport à ses deux variables. En négligeant Modèle:Formule, on obtient donc :
- <math>\mathrm dS \approx y \ \mathrm dx + x \ \mathrm dy = (y,x) \cdot (\mathrm dx, \mathrm dy) = \left( \frac{\partial(xy)}{\partial x}, \frac{\partial(xy)}{\partial y} \right) \cdot (\mathrm dx, \mathrm dy) = \overrightarrow{\nabla} S \cdot \mathrm d \overrightarrow{\mathrm OM},</math>
où <math>\overrightarrow{\nabla} S = \overrightarrow{\mathrm{grad}} \ S.</math>
Bien sûr, on peut utiliser des notations un peu différentes :
- <math>\mathrm dS \approx y \ \mathrm dx + x \ \mathrm dy = (y \ \vec{\mathrm i} + x \ \vec{\mathrm j}) \cdot (\mathrm dx \ \vec{\mathrm i} + \mathrm dy \ \vec{\mathrm j}) = \left( \frac{\partial(xy)}{\partial x} \vec{\mathrm i} + \frac{\partial(xy)}{\partial y} \vec{\mathrm j} \right) \cdot (\mathrm dx \ \vec{\mathrm i} + \mathrm dy \ \vec{\mathrm j}) = \overrightarrow{\nabla} (xy) \cdot \mathrm d \overrightarrow{\mathrm OM},</math>
où <math>\overrightarrow{\nabla} (xy) = \overrightarrow{\mathrm{grad}} \ (xy).</math>
L'intérêt d'introduire ces vecteurs pour exprimer la variation d'une fonction de plusieurs variables est de montrer que :
- la fonction varie le plus si le point se déplace dans la direction du vecteur gradient ;
- elle ne varie presque pas s'il se déplace dans toute direction perpendiculaire au gradient.
En effet : <math>(y \ \vec{\mathrm i} + x \ \vec{\mathrm j} ) \perp (\mathrm dx \ \vec{\mathrm i} + \mathrm dy \ \vec{\mathrm j}) \Longleftrightarrow y \ \mathrm dx + x \ \mathrm dy = 0,</math> « Modèle:Cad » <math>\ \mathrm dS \approx 0.</math>
En électrostatique, ceci donne les courbes de même potentiel : les « équipotentielles ».
En mathématiques pures
Gradient dans un espace euclidien
Contexte
Soient Modèle:Formule un espace vectoriel euclidien, Modèle:Formule un ouvert de Modèle:Formule, et une fonction <math>f : U \to \R</math>, différentiable en un point Modèle:Formule de Modèle:Formule. On note <math>\mathrm{D}_a f</math> la différentielle en Modèle:Formule de Modèle:Mvar ; c'est une forme linéaire sur Modèle:Formule. On note <math>\mathrm{D}_a f \left( h \right)</math> l'image par cette différentielle d'un vecteur Modèle:Formule de Modèle:Formule.
Existence et unicité
Il existe un unique vecteur Modèle:Formule tel que pour tout vecteur Modèle:Formule de Modèle:Formule, <math>\ \mathrm{D}_a f \left( h \right) = \langle A \mid h \rangle</math>, où <math>\langle \cdot \mid \cdot \rangle</math> désigne le produit scalaire sur Modèle:Formule.
Le vecteur Modèle:Formule est appelé le gradient de Modèle:Formule en Modèle:Formule, et il est noté <math>\nabla_a f</math>. Il vérifie donc :
- <math>\forall \ h \in E, \quad \langle \nabla_a f \mid h \rangle = \mathrm{D}_a f \left( h \right).</math>
Développement limité
Si une application <math>f : U \to \R</math> est différentiable en un point Modèle:Mvar, alors on peut écrire le développement limité de Modèle:Mvar du premier ordre au voisinage de Modèle:Mvar (avec la notation de Landau)<ref>Modèle:Ouvrage</ref>:
- <math>\forall \ h \in E, \quad f(a+h) = f(a) + \langle \nabla f(a) \mid h \rangle + o \big( \| h \| \big).</math>
Expression canonique : avec dérivées partielles
Puisque le gradient est lui-même un vecteur de Modèle:Formule, il est naturel qu'on cherche à l'exprimer dans une base orthonormée <math>(\mathbf{e}_1, \dots, \mathbf{e}_n)</math> de cet espace vectoriel. On démontre qu'il s'exprime à l'aide des dérivées partielles sous la forme :
- <math>\nabla f(a) = \sum_{i=1}^n \left[ \frac{\partial f}{\partial x_i} (a) \ \mathbf{e}_i \right].</math>
Par exemple, en dimension 3, on obtient :
- <math>\nabla f(a) = \frac{\partial f}{\partial x_1}(a) \ \mathbf{e}_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2}(a) \ \mathbf{e}_2 + \frac{\partial f}{\partial x_3}(a) \ \mathbf{e}_3.</math>
Une propriété fondamentale
Le gradient de Modèle:Mvar désigne la direction où la pente de Modèle:Mvar est la plus grande. Précisément<ref name="Gradient" /> :
Soit un point <math>a \in U</math> tel que Modèle:Mvar est différentiable en Modèle:Mvar et que <math>\nabla f(a) \ne 0 \ ;</math> pour tout vecteur <math>v \in \R^n</math> tel que <math>\| v \| = \| \nabla f(a) \|,</math> il existe <math>\delta > 0</math> tel que :
- <math>\forall \ t \in \ \! ]0, \delta [, \quad f(a+t \ \! v) \le f \big( a + t \ \nabla f(a) \big).</math>
Gradient et dérivée directionnelle
Changement de base
Lors d'un changement de base, au travers d'un Modèle:Math1-difféomorphisme de Modèle:Formule, l'écriture du gradient suit les règles usuelles des changements de base.
Il ne faut pas confondre changement de base pour l'expression d'une fonction écrite en notations cartésiennes (canoniques) et écriture du gradient adaptée à une notation autre. Par exemple, pour une fonction exprimée en coordonnées polaires, on calcule l'écriture « polaire » du gradient en partant d'une fonction Modèle:Formule explicitée en fonction de l'abscisse polaire (Modèle:Formule) et de l'argument (Modèle:Formule).
- En coordonnées cylindriques (pour les coordonnées polaires, ne pas considérer la composante en Modèle:Formule) :
- <math>\nabla f
= \frac{\partial f}{\partial \rho}\mathbf{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \theta}\mathbf{e}_{\theta} + \frac{\partial f}{\partial z}\mathbf{e}_{z}, </math>
- qu'on peut aussi noter :
- <math>\nabla f
= \frac{\partial f}{\partial \rho}\mathbf{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \phi}\mathbf{e}_{\phi} + \frac{\partial f}{\partial z}\mathbf{e}_{z}, </math>
- tout dépend des notations utilisées. Voir :
- <math>\nabla f
= \frac{\partial f}{\partial r}\mathbf{e}_r + \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta}\mathbf{e}_{\theta} + \frac{1}{r \sin\theta}\frac{\partial f}{\partial \phi}\mathbf{e}_{\phi} ; </math> les vecteurs de type <math>\mathbf{e}_r</math> sont utilisés en coordonnées polaires.
Gradient dans un espace de Hilbert
Soient <math>\big( H, \langle \cdot \mid \cdot \rangle \big)</math> un espace de Hilbert (de dimension finie ou non), Modèle:Formule un ouvert de Modèle:Formule, et une application <math>f : U \to \R</math>, différentiable en un point Modèle:Formule de Modèle:Formule. La différentielle Modèle:Math étant, par définition, une forme linéaire continue sur Modèle:Formule, il résulte du théorème de représentation de Riesz qu'il existe un unique vecteur, noté <math>\nabla f(a)</math>, de Modèle:Formule tel que :
- <math>\forall \ h \in H, \quad \mathrm Df(a) \left( h \right) = \langle \nabla f(a) \mid h \rangle.</math>
Le vecteur <math>\nabla f(a)</math> est appelé le gradient de Modèle:Formule en Modèle:Formule.
Une propriété fondamentale
On montre que si <math>\nabla f(a) \ne 0</math>, alors Modèle:Mvar croît strictement dans la direction de <math>\nabla f(a)</math> en passant par Modèle:Mvar, Modèle:Cad :
Il existe <math>\alpha > 0</math> tel que pour tous Modèle:Mvar et Modèle:Mvar de <math>]- \alpha, \alpha [,</math>
- <math>s < t \Longrightarrow f \big( a + s \ \nabla f(a) \big) < f \big( a + t \ \nabla f(a) \big).</math>
Gradient dans une variété riemannienne
On peut encore étendre cette définition à une fonction définie et différentiable sur une variété riemannienne Modèle:Formule. Le gradient de Modèle:Formule en Modèle:Formule est alors un vecteur tangent à la variété en Modèle:Formule, défini par :
- <math>\forall \ h \in \mathrm T_a M, \quad \mathrm Df(a) \left( h \right) = g \big( \nabla f(a) \mid h \big).</math>
Enfin, si Modèle:Formule est un champ scalaire indépendant du système de coordonnées, c'est un tenseur d'ordre Modèle:Math, et sa dérivée partielle est égale à sa dérivée covariante :
- <math>(\nabla f)_i = \partial_i f = f_{,i} = f_{;i} \ .</math>
En coordonnées contravariantes, on calcule le champ de vecteurs appelé gradient de Modèle:Formule :
- <math>(\nabla f)^i = g^{ij}~f_{;j} \ .</math>
Cette formule permet, une fois établi le tenseur métrique, de calculer facilement le gradient dans tout système de coordonnées.
Propriétés géométriques en dimension 2 ou 3
Classiquement, le gradient permet de définir la « normale aux courbes de niveau », ce qui se traduit en 2D et en 3D par des propriétés géométriques intéressantes. La propriété de tangence étant liée à la convexité/concavité, il est aussi intéressant de voir le lien qui existe entre gradient et convexité, toujours en 2D ou 3D.
En dimension 2 : gradient normal à une courbe en un point, droite tangente
Soient une application <math>f : \R^2 \to \R</math> continûment différentiable, et une courbe définie par l'équation Modèle:Formule, où Modèle:Formule est une constante. En un point Modèle:Formule donné de cette courbe, si le gradient existe et s'il n'est pas nul, alors il donne la direction de la normale en Modèle:Formule à la courbe ; la droite tangente en Modèle:Formule à la courbe est alors orthogonale au gradient.
- Application au traitement d'image
En dimension 3 : gradient normal à une surface en un point, plan tangent
Soient une application <math>f : \R^3 \to \R</math> continûment différentiable, et une surface définie par l'équation Modèle:Formule, où Modèle:Formule est une constante. En un point Modèle:Formule donné de cette surface, si le gradient existe et s'il n'est pas nul, alors il donne la direction de la normale en Modèle:Formule à la surface ; le plan tangent en Modèle:Formule à la surface est alors orthogonal au gradient.
Gradient et convexité
Soient <math>n \in \N^*</math> (par exemple, Modèle:Formule ou Modèle:Formule), et une application <math>f : \R^n \to \R</math> continûment différentiable. Si l'application <math>\mathbf{\nabla} f : \R^n \to \R^n</math> est monotone (resp. strictement monotone), alors Modèle:Formule est convexe (resp. strictement convexe), Modèle:Càd, en utilisant la caractérisation par les cordes :
- <math>\forall (u,v) \in \left(\R^3\right)^2, \mathbf{\nabla}_u f \cdot \mathbf{\nabla}_v f \geq 0 \Rightarrow \forall (u,v,\lambda) \in \R^3 \times \R^3 \times [0,1], f \big( \lambda u + (1-\lambda)v \big) \leq \lambda f(u) + (1-\lambda)f(v).</math>
Cette propriété est intéressante parce qu'elle reste valable même si Modèle:Formule n'est pas deux fois différentiable.
Si Modèle:Formule est deux fois différentiable, le hessien est positif si et seulement si le gradient est monotone.
Cas de la dimension 1
La monotonie telle que définie ci-dessus permet de définir une fonction dérivée croissante ou décroissante au sens usuel. Dans le premier cas, on parle de fonction convexe ; dans le second, de fonction concave.
Si la fonction est deux fois dérivable, la croissance de la dérivée (donc du gradient) est assurée par la positivité de la dérivée seconde (équivalent du hessien).
Relations vectorielles
Modèle:Section sources secondaires En analyse vectorielle, le gradient peut être combiné à d'autres opérateurs : divergence (div), rotationnel (rot), laplacien (Δ). Soit Modèle:Formule une fonction décrivant un champ scalaire, que l'on suppose de classe Modèle:Math2 par rapport à chaque paramètre ; alors :
- <math>\frac{\partial}{\partial t} \left( \overrightarrow{\mathrm{grad}} f \right) = \overrightarrow{\mathrm{grad}} \frac{\partial f}{\partial t} \ ;</math> Modèle:Douteux (Que vient faire Modèle:Mvar ici ?)
- <math>\mathrm{div} \left( \overrightarrow{\mathrm{grad}} f \right) = \Delta f \ ;</math>
- <math>\overrightarrow{\mathrm{rot}} \left( \overrightarrow{\mathrm{grad}} f \right) = \overrightarrow{0}.</math>
Notes et références
Notes
Références
Voir aussi
Bibliographie
- {{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Serge Lang, Fundamentals of Differential Geometry, Springer
- {{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Barrett O'Neill, Elementary Differential Geometry, Modèle:2e éd. révisée Modèle:Isbn
