Il formalise le principe de Bernoulli, qui énonce que pour l'écoulement incompressible, parfait et stationnaire d'un fluide homogène soumis uniquement aux forces de pression et de pesanteur, une augmentation de vitesse entraîne une diminution de pression.
Dans le cas général, cette constante est propre à chaque ligne de courant considérée. Mais si l'écoulement est irrotationnel, c'est-à-dire que le rotationnel du champ des vitesses est nul, la quantité de Bernoulli se conserve dans l'intégralité du fluide. Cette constante dépend cependant de l'écoulement considéré. Elle est proportionnelle à la charge.
Interprétation
Le théorème de Bernoulli traduit en fait la conservation de l'énergie mécanique d'une particule de masse <math>m</math> et de volume <math>V</math> le long d'une ligne de courant :
<math>e_c = \frac{1}{2} \frac{m}{V} v^2 = \frac{1}{2} \rho v^2</math> est une densité volumique d'énergie cinétique ;
<math>e_g = \frac{m}{V} g z = \rho g z</math> est une densité volumique d'énergie potentielle gravitationelle ;
<math>e_p = p</math> est également une densité volumique d'énergie potentielle, dont dérivent les forces de pression dans l'équation de Navier-Stokes.
L'écoulement étant parfait et incompressible, la conservation de l'énergie de la particule donne alors :
<math>\tfrac12 \rho v^2 + \rho g z + p = \mathrm{constante}</math>
qui donne l'équation de Bernoulli en divisant l'égalité par <math>\rho</math>. La constante n'est alors plus la même, et devient homogène à une vitesse au carré.
Formulations étendues
Il existe d'autres formulations du théorème de Bernoulli applicables dans des contextes plus généraux.
Pour des fluides compressibles :
lorsque les effets de compressibilité dans un fluide ne sont plus négligeables (vitesse des particules de fluide comparable à la vitesse du son dans le fluide), il devient nécessaire d'apporter une correction au terme caractérisant l'énergie potentielle élastique du fluide. Dans le cas idéal d'un gaz parfait et d'un processus adiabatique, on a :
<math> \frac {v^2}{2} + g \, z + h = \mathrm{constante}</math><ref>{{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Van Wylen, G.J., and Sonntag, R.E., Fundamentals of Classical Thermodynamics, Section 5.9, John Wiley and Sons Inc., New York, 1965</ref>
où Modèle:Mvar représente le débit volumique du fluide (en mètres cubes par seconde) et Modèle:Mvar représente la puissance (en watts) de la machine. On a Modèle:Math dans le cas d'une pompe (la puissance est reçue par le fluide) et Modèle:Math dans le cas d'une turbine (la puissance est fournie par le fluide).
Démonstrations
Équation de Bernoulli pour les fluides incompressibles
L'équation de Bernoulli pour les fluides incompressibles peut être démontrée par intégration des équations d'Euler du mouvement, qui dans les hypothèses du théorème se ramènent à l'équation de Navier-Stokes.
On peut également appliquer le principe de conservation de l'énergie le long d'une ligne de courant, en négligeant les effets thermiques, de viscosité, de compressibilité.
Ce que l'on peut ramener ici à la conservation du débit massique : <math> \Delta t \; v_{1} \, A_{1} \, \rho = \Delta t \; v_{2} \, A_{2} \, \rho </math>.
Toutes les forces qui s'exercent (forces pressantes et poids) sont conservatives (il n'y a pas d'effet visqueux). On peut donc appliquer le théorème de conservation de l'énergie mécanique au système :
<math> \Delta E_{pp} + \Delta E_{k} = W </math>
où
<math> \Delta E_{k}=\Delta m(v^{2}_{2}- v^{2}_{1})/2 </math> est la variation d'énergie cinétique du système.
<math> \Delta E_{pp}=\Delta m \; g\, h_{2}- \Delta m \; g\, h_{1} </math> est la variation d'énergie potentielle de pesanteur du système.
<math> W = p_{1}A_{1}\,(v_{1}\Delta t) - p_{2}A_{2}\,(v_{2}\Delta t) </math> est le travail des forces de pressions.
Soit :
<math> \frac{1}{2} \, \Delta m \; v_{2}^{2}- \frac{1}{2} \, \Delta m \; v_{1}^{2} + \Delta m \; g\, h_{2} -\Delta m \; g \, h_{1}= p_{1}\, A_{1} \, (v_{1} \, \Delta t) - p_{2} \, A_{2} \, (v_{2} \, \Delta t) </math>
On peut remarquer que la démonstration est faite dans le contexte particulier d'un écoulement obéissant à la géométrie de la figure. Cependant, pour un écoulement quelconque en régime permanent, on pourra toujours définir au voisinage d'une ligne de courant une section sur laquelle la vitesse est homogène, et raisonner comme précédemment.
Équation de Bernoulli pour les fluides compressibles
La démonstration est identique à celles pour les fluides incompressibles : elle s'appuie sur la conservation du débit et de l'énergie.
Mais on doit prendre en compte dans la variation d'énergie du système la variation d'énergie interne du fluide entre Modèle:Mvar et Modèle:Math.
La conservation de l'énergie appliquée au système devient alors :
<math> \frac{1}{2}\, \Delta m \, v_{2}^{2}- \frac{1}{2} \, \Delta m \, v_{1}^{2} + \Delta m \, g\, h_{2} -\Delta m \, g \, h_{1} + \Delta m \, u_{2} - \Delta m \, u_{1} = p_{1} \, A_{1} \, (v_{1} \, \Delta t) - p_{2} \, A_{2} \, (v_{2} \, \Delta t) </math>
Variante adimensionnelle de l'équation de Bernoulli
Dans un écoulement où la variation d'énergie potentielle peut être négligée, si l'on écrit l’équation de Bernoulli en deux points le long d’une ligne de courant (le deuxième point étant loin du corps), on obtient :
Cette égalité très simple constitue la variante adimensionnelle de l’équation de Bernoulli.
Contrairement à ce que la relative complexité de leur libellé peut laisser penser, les coefficients adimensionnels de pression et de vitesse Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont extrêmement intuitifs et représentent bien les sous ou surpressions et les sous ou survitesses qui intéressent les mécaniciens des fluides ; ceci explique pourquoi ils apparaissent dans tous les résultats d’essais en souffleries<ref name="Profil_NACA">Modèle:Ouvrage</ref>.
La variante adimensionnelle de l'équation de Bernoulli s'applique en chaque point d'un écoulement (en dehors de la couche limite), donc en un seul point, ce qui peut sembler contradictoire avec le fait que l'équation classique de Bernoulli met en relation les caractéristiques de deux points sur la même ligne de courant. L'explication de cette rupture apparente de logique est que les Modèle:Mvar et Modèle:Mvar intègrent dans leur libellé la référence à certaines caractéristiques des points à l'infini amont (suffisamment à l'écart du corps). Il n'y a donc là qu'une libéralité apparente.
Applications
À vitesse nulle (v = 0), on retrouve la loi de l'hydrostatique.
Supposons maintenant que la vitesse ne soit pas nulle, mais que l'on reste toujours à la même altitude (z constant).
Si un liquide s'écoule dans une canalisation, alors comme il est incompressible, son débit (volume transitant à travers une surface par unité de temps) est constant. Si la canalisation s'élargit, alors la vitesse diminue (puisque le débit est le produit de la vitesse par la section, les deux varient à l'inverse). Le théorème de Bernoulli nous indique alors que la pression augmente. À l'inverse, si la canalisation se rétrécit, le fluide accélère et sa pression diminue. On qualifie ce dispositif expérimental de tube de Venturi.
Ce résultat est assez peu intuitif car on s'attendrait à ce que la pression augmente lorsque la section diminue.
Si maintenant la conduite reste de section constante mais que l'on met un obstacle à l'intérieur ; l'obstacle diminue la section, on a donc le même effet. Si cet obstacle est un cylindre tournant, d'axe perpendiculaire à l'axe de la canalisation, alors le frottement accélère le fluide d'un côté et le ralentit de l'autre. On a donc une diminution de pression d'un côté et une augmentation de l'autre, le cylindre subit une force : c'est l'effet Magnus (l'on considère souvent l'effet Magnus dans l'air, qui est un fluide compressible, mais le principe général reste le même).
Si la canalisation a une section constante, et qu'elle ne présente pas d'obstacle, alors la vitesse est constante. Si l'altitude varie, alors l'équation de Bernoulli nous indique que la pression varie à l'opposé de l'altitude.
On peut évaluer alors la pression dynamique : <math>q = \tfrac12 \, \rho \, v^2</math>.
Cet appareil de mesure permet d'évaluer la vitesse d'écoulement d'un fluide en mesurant la différence de pression entre deux points A et B de l'écoulement joint par une ligne de courant. Au point A, le fluide est supposé être à vitesse (quasi) nulle, on cherche la vitesse en B. Les points étant sensiblement à la même altitude, on peut appliquer le théorème de Bernoulli sous sa forme usuelle entre A et B.
Approche historique
La première formulation du théorème de Bernoulli apparaît dans Hydrodynamica - De viribus et motibus fluidorum commentarii de Daniel Bernoulli (première édition en 1738)<ref>Danieli Bernoulli, Hydrodynamica, Collections patrimoniales numérisées des bibliothèques de l'Université de Strasbourg</ref>. Pour d'Alembert, ce texte est l'œuvre fondatrice de l'hydrodynamique en tant que discipline physique moderne<ref>Jean Le Rond d'Alembert, article Hydrodynamique de l'Encyclopédie (Tome VIII), 1765 Encyclopédie, ou Dictionnaire Raisonné des Sciences, des Arts et des Métiers</ref>.
Il est alors formulé comme un bilan macroscopique global et une méthode de calcul, dans le cadre de la résolution d'un problème technique : la détermination de la durée de vidange des vases munis d'un orifice.
La justification réside dans l'égalité de la montée potentielle et de la descente actuelle<ref> traduction de Jean Peyroux, 2004 </ref>. Il s'agit d'une transposition aux fluides de la conservation des forces vives, déjà connue en mécanique, et qui est en fait l'ancêtre du principe de conservation de l'énergie dans le domaine de la physique classique.
C'est seulement en 1755, avec les travaux d'Euler<ref> Leonhard Euler, Principes Généraux du mouvement des fluides, 1755 [1] </ref>, que le théorème apparaît sous la forme d'un bilan local plus proche des formulations contemporaines.
