Théorème de Herbrand-Ribet
Modèle:Confusion Le théorème de Herbrand-Ribet renforce le théorème de Kummer selon lequel le nombre premier p divise le nombre de classes du corps cyclotomique des racines p-ièmes de l'unité si et seulement si p divise le numérateur du n-ième nombre de Bernoulli Bn pour un certain entier n strictement compris entre 0 et p-1. Le théorème de Herbrand-Ribet précise ce que veut dire, en particulier, l'éventuelle divisibilité par p de Bn.
Le groupe de Galois <math>\Sigma</math> du corps cyclotomique des racines p-ièmes de l'unité pour un nombre premier impair p, ℚ(ζ) avec <math>\zeta^p = 1</math>, est constitué des <math>p-1</math> éléments <math>\sigma_a</math>, où <math>\sigma_a</math> est défini par le fait que <math>\sigma_a(\zeta) = \zeta^a</math>. Comme conséquence du petit théorème de Fermat, dans l'anneau des entiers p-adiques ℤp, nous avons <math>p - 1</math> racines de l'unité, chacune d'elles est congrue mod p à un certain nombre dans l'intervalle 1 à p - 1 ; nous pouvons par conséquent définir un caractère de Dirichlet <math>\omega</math> (le caractère de Teichmüller) à valeurs dans ℤp en requérant que pour n premier à p, ω(n) soit congru à n modulo p. Le p-composant<ref>Appelé plutôt la p-composante ou encore la composante p-primaire. Voir par exemple J.-P. Serre, Œuvres, Collected papers, vol. 1, Springer, 2003, partiellement consultable sur Google livres, p. 178, note 3. La composante p-primaire d'un groupe abélien fini est l'unique p-sous-groupe de Sylow de ce groupe.</ref> du groupe de classes, c'est-à-dire le sous-groupe de ce groupe formé par les éléments dont les ordres sont des puissances de p, est un ℤp-module, et nous pouvons appliquer les éléments de l'anneau ℤp[Σ] vers elle et obtenir les éléments du groupe de classes. Nous pouvons maintenant définir un élément idempotent de l'anneau pour chaque n de 1 à p - 1, comme
Nous pouvons maintenant séparer la p-composante du groupe G des classes d'idéaux de ℚ(ζ) par identification des idempotents ; si G est le groupe des classes d'idéaux, alors <math>G_n=\epsilon_n(G)</math>.
Alors, nous avons le théorème de Herbrand-Ribet : <math>G_n</math> est non trivial si et seulement si p divise le nombre de Bernoulli <math>B_{p - n}</math>. La partie exprimant p divise <math>B_{p - n}</math> si <math>G_n</math> est non trivial est due à Jacques Herbrand. La réciproque (si <math>p</math> divise <math>B_{p - n}</math> alors <math>G_n</math> est non trivial) est due à Ken Ribet, et est considérablement plus difficile. Par la théorie des corps de classes, ceci n'est possible que s'il existe une extension non ramifiée du corps des racines <math>p</math>-ièmes de l'unité par une extension cyclique de degré <math>p</math> qui se comporte de la manière prescrite sous l'action de <math>\Sigma</math> ; Ribet démontra ceci en 1976, par une construction concrète d'une telle extension.
