Théorèmes de Guldin
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On désigne sous le nom de théorèmes de Guldin deux énoncés de géométrie euclidienne concernant les solides de révolution établis par le mathématicien suisse Paul Guldin. Il est probable que ces résultats étaient déjà connus de Pappus d'Alexandrie et c'est pourquoi on rencontre aussi l'appellation de théorème de Pappus-Guldin (à ne pas confondre avec le théorème de Pappus). Il exprime sous certaines conditions :
- l'aire de la surface engendrée par un arc de courbe ;
- la mesure du volume engendré par une surface.
Une autre application courante de ce théorème est le calcul de la position du centre de gravité d'un arc de courbe ou d'une surface.
Premier énoncé
Exemples :
- l'aire du tore ouvert de rayons Modèle:Mvar et Modèle:Mvar vaut <math>\mathcal A = (2\pi r)(2\pi R) = 4\pi^2 r R</math>
- l'aire engendrée par un demi-cercle de rayon Modèle:Mvar et de centre de gravité Modèle:Mvar est la sphère d'aire <math>\mathcal A = (2\pi r_G)(\pi R) = 4\pi R^2</math>. Il vient Modèle:Math.
Second énoncé
Exemples :
- le volume intérieur du tore ouvert de rayons Modèle:Mvar et Modèle:Mvar vaut <math> V = (\pi r^2)(2\pi R) = 2\pi^2 r^2 R</math>.
- le volume engendré par un demi-disque de rayon Modèle:Mvar et de centre de gravité Modèle:Mvar est la boule de mesure <math> V = (\tfrac{1}{2}\pi R^2)(2\pi r_G) = \tfrac{4}{3}\pi R^3</math>. Il vient Modèle:Math.
