Trigonalisation

En algèbre linéaire, une matrice carrée A à coefficients dans un corps K est dite trigonalisable (ou triangularisable) sur K si elle est semblable à une matrice triangulaire T à coefficients dans K, via une matrice de passage P elle aussi à coefficients dans K :

<math>A=PTP^{-1}.</math>

Trigonaliser (on dit aussi triangulariser) A sur K consiste à trouver de telles matrices T et P. Cela est possible (on dit alors que A est trigonalisable) si et seulement si le polynôme caractéristique de A est scindé sur K. Par exemple, si A est à coefficients réels, elle est trigonalisable sur ℝ si et seulement si toutes ses valeurs propres (complexes a priori) sont réelles.

Dans la suite, on se donne un entier n > 0 et <math>\operatorname M_n(K)</math> désignera l'algèbre des matrices carrées d'ordre n à coefficients dans K.

Matrices triangulaires

Une matrice triangulaire supérieure est une matrice carrée dont tous les coefficients situés strictement en dessous de la diagonale principale sont nuls, c'est-à-dire une matrice de la forme

<math>\begin{pmatrix} a_{1,1} & \cdots & \cdots & a_{1,n} \\ 0 & \ddots & \ddots & a_{2,n}\\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & a_{n,n} \end{pmatrix}.</math>

De même, une matrice triangulaire inférieure est une matrice carrée dont tous les coefficients situés strictement au-dessus de la diagonale sont nuls.

Endomorphismes et matrices trigonalisables

• Soit <math>M\in\operatorname M_n(K)</math>, on dit que <math>M</math> est une matrice trigonalisable<ref>Pour des exemples, voir par exemple la leçon sur Wikiversité.</ref> s'il existe une matrice inversible <math>P\in GL_n(K)</math> et une matrice triangulaire supérieure <math>T\in\operatorname M_n(K)</math> telles que :<math>M=PTP^{-1}</math> (ou, ce qui est équivalent : <math>T=P^{-1}MP</math>).Cela revient à dire que <math>M</math> est semblable dans <math>\operatorname M_n(K)</math> à une matrice triangulaire supérieure (ou à une matrice triangulaire inférieure, ce qui est équivalent<ref name=DémoWikiversité/>).
  En particulier :
  • toute matrice triangulaire supérieure est trigonalisable (il suffit de choisir <math> P = I_n </math> où <math> I_n </math> est la matrice identité de dimension <math>n</math>) ;
  • toute matrice diagonalisable est a fortiori trigonalisable (car une matrice diagonale est un cas particulier de matrice triangulaire).
• Soient <math>E</math> un <math>K</math>-espace vectoriel de dimension finie et <math>u</math> un endomorphisme de <math>E</math>. On dit que <math>u</math> est un endomorphisme trigonalisable s'il existe une base de <math>E</math> dans laquelle la matrice de <math>u</math> est triangulaire supérieure.
• Ces deux définitions sont reliées par le fait qu'un endomorphisme est trigonalisable si et seulement si sa matrice dans au moins une base de <math>E</math> est trigonalisable ; dans ce cas, sa matrice dans n'importe quelle base de <math>E</math> est trigonalisable.

Conditions de trigonalisation

Il existe plusieurs critères pour savoir si une matrice ou un endomorphisme sont trigonalisables :

• Une matrice est trigonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé dans K[X]<ref name=DémoWikiversité>Pour une démonstration, voir par exemple la leçon sur Wikiversité.</ref>.

  En particulier, si K est algébriquement clos, toute matrice carrée à coefficients dans K est trigonalisable et donc aussi tout endomorphisme d'un K-espace vectoriel de dimension finie.

  Sur le corps des nombres complexes (algébriquement clos d'après le théorème de d'Alembert-Gauss), Issai Schur a démontré un résultat plus précis :

• Un endomorphisme u de E est trigonalisable si et seulement s'il existe un drapeau total de E stable par u.

Voir aussi

• Réduction d'endomorphisme
• Décomposition de Dunford
• Théorèmes de trigonalisation simultanée :
  • Théorème de Lie (1876)
  • Théorème de Engel (1890)
  • Théorème de McCoy (1934)
  • Théorème de Lie-Kolchin (1948)