Série hypergéométrique

En mathématiques, une série hypergéométrique est la somme d'une suite de termes tels que le quotient du terme d'indice Modèle:Math divisé par le terme d'indice Modèle:Mvar est une fonction rationnelle de Modèle:Mvar.

La série, lorsqu'elle converge, définit une fonction hypergéométrique qui peut ensuite être étendue à un domaine plus grand par prolongement analytique. On écrit généralement la série hypergéométrique comme suit :

<math>_pF_q(a_1,\ldots,a_p;b_1,\ldots,b_q;x)=\sum_{k=0}^\infty c_k x^k</math>

où les coefficients sont définis par récurrence :

<math>c_0=1\text{ et }\frac{c_{k+1}}{c_k}=\frac{(k+a_1)(k+a_2)\cdots(k+a_p)}{(k+b_1)(k+b_2)\cdots(k+b_q)}\,\frac{1}{k+1}.</math>

On peut aussi l'écrire :

<math>_pF_q(a_1, \ldots, a_p ; b_1, \ldots ,b_q ; x)

= \sum_{k = 0}^\infty \frac{ (a_1)_k (a_2)_k \ldots (a_p)_k }{ (b_1)_k (b_2)_k \ldots (b_q)_k } \, \frac{x^k}{k!}</math>

où <math>(a)_k = a(a+1) \ldots (a+k-1) = \frac{ (a+k-1)! }{ (a - 1)! }</math> est la « factorielle croissante » ou symbole de Pochhammer.

Le cas Modèle:Math est la fonction hypergéométrique ordinaire.

Introduction

Une série hypergéométrique est une série formelle dans laquelle le quotient des coefficients successifs Modèle:Math est une fraction rationnelle de Modèle:Mvar : il existe des polynômes <math>\widetilde P(n)</math> et <math>\widetilde Q(n)</math> tels que

<math>\frac{\alpha_n}{\alpha_{n-1}} = \frac{\widetilde P(n)}{\widetilde Q(n)}</math>

Ainsi, par exemple, dans le cas d'une série géométrique, ce quotient est une constante. Un autre exemple est la série de Taylor de la fonction exponentielle où

<math>\alpha_n/\alpha_{n-1}=z/n.</math>

En pratique, la série est écrite comme une série génératrice exponentielle, en modifiant les coefficients pour que le terme général de la série soit de la forme

<math>\alpha_n = \beta_n z^n /n!\,</math>

et Modèle:Math. Ici la variable Modèle:Mvar correspond à une constante dans le quotient <math>\widetilde P/\widetilde Q</math>. On va se servir de la fonction exponentielle comme modèle pour la suite.

De nombreuses suites intéressantes en mathématiques ont la propriété que le quotient de deux termes successifs est une fraction rationnelle. Cependant, lorsqu'on les encode dans une série génératrice exponentielle, celle-ci a un rayon de convergence non nul seulement sous certaines conditions. Par convention, le terme de série hypergéométrique est d'ordinaire réservé au cas où la série définit une vraie fonction analytique avec un rayon de convergence strictement positif. Une telle fonction et son prolongement analytique éventuel est appelée une fonction hypergéométrique.

Des conditions de convergence ont été données par Carl Friedrich Gauss, dans le cas de :<math>\frac{\beta_n}{\beta_{n-1}} = \frac{(n+a)(n+b)}{(n+c)},</math> qui correspond à la série hypergéométrique standard classique

<math>\,_2F_1(a,b;c;z).</math>

Notation

La notation standard pour la série hypergéométrique générale est

<math>_pF_q</math>,

où les entiers Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont les degrés des polynômes Modèle:Mvar et Modèle:Mvar dans le quotient

<math>\frac{\beta_n}{\beta_{n-1}} = \frac{P(n)}{Q(n)}.</math>

Si Modèle:Math, le rayon de convergence est nul et il n'y a pas de fonction analytique associée. La série se termine au bout d'un nombre fini de termes si jamais Modèle:Math s'annule en un entier naturel Modèle:Mvar. Si Modèle:Math est nul, les termes de la suite ne sont pas définis.

La notation complète pour Modèle:Mvar suppose que Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont unitaires et factorisés, de telle sorte qu'elle comprend un Modèle:Mvar-uplet qui est la liste des zéros de Modèle:Mvar et un Modèle:Mvar-uplet pour ceux de Modèle:Mvar. Par le théorème fondamental de l'algèbre, ceci n'est pas vraiment une restriction. Par ailleurs, on peut aussi absorber les coefficients dominants de Modèle:Mvar ou Modèle:Mvar en changeant Modèle:Mvar. Sous cette forme, le terme général de la suite est un produit de quotients de symboles de Pochhammer. Comme la notation de Pochhammer pour les factorielles ascendantes est traditionnelle, il est plus commode d'indexer Modèle:Mvar par les listes des opposés des zéros de Modèle:Mvar et Modèle:Mvar. Ainsi, on a

<math> \,_2F_1 (a,b;c;z) = \sum_{n=0}^\infty

\frac{(a)_n(b)_n}{(c)_n} \, \frac {z^n} {n!} \quad\mathrm{o\grave u}\quad(a)_n=a(a+1)(a+2)...(a+n-1).</math> Dans cet exemple, les zéros de Modèle:Mvar sont Modèle:Math et Modèle:Math, et le zéro de Modèle:Mvar est Modèle:Math.

Cas particuliers

Certaines fonctions usuelles peuvent être exprimées comme des séries hypergéométriques :

<math>\mathrm e^z={}_0F_0(;;z),\quad(1-z)^{-a}={}_1F_0(a;;z)</math>

et

<math>\cosh z={}_0F_1\left(;\cfrac12;\cfrac{z^2}4\right),\quad\sinh z=z\ _0F_1\left(;\cfrac32;\cfrac{z^2}4\right)</math>

donc

<math>\cos z={}_0F_1\left(;\frac12;-\frac{z^2}{4}\right),\quad\sin z=z\ _0F_1\left(;\frac32;-\frac{z^2}{4}\right)</math>.

Les fonctions de Kummer Modèle:Math sont les fonctions hypergéométriques confluentes.

Voir aussi les [[Fonction hypergéométrique#Cas particuliers|cas particuliers de Modèle:Math]] et le théorème hypergéométrique de Gauss.

La formule suivante met en jeu les coefficients binomiaux centraux<ref>Modèle:MathWorld.</ref> :

<math>2\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^k\binom{2n}n}={_{k+1}F_k\left(1,\dots,1;\tfrac32,2,\dots,2;\tfrac14\right)}</math>.

Histoire et généralisations

Les travaux du Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle comprennent ceux de Ernst Kummer et la caractérisation fondamentale par Bernhard Riemann de la fonction Modèle:Mvar par le biais de l'équation différentielle qu'elle vérifie. Riemann a démontré que l'équation différentielle du second ordre (en la variable Modèle:Mvar) pour Modèle:Mvar, considérée dans le plan complexe, pouvait être caractérisée (sur la sphère de Riemann) par ses trois Modèle:Lien : que toute la partie algorithmique de la théorie était une conséquence de résultats de base et de l'usage des transformations de Möbius comme groupe de symétrie.

Par la suite, les séries hypergéométriques ont été généralisées au cas de plusieurs variables complexes, par exemple par Paul Appell, mais une théorie générale comparable a mis du temps à apparaître. De nombreuses identités ont été découvertes, dont quelques-unes remarquables. Des analogues avec un paramètre Modèle:Mvar ont été trouvées. Durant le Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle, les fonctions hypergéométriques ont formé une partie active des mathématiques combinatoires, avec de nombreuses interactions avec les autres domaines. Il y a plusieurs définitions nouvelles de généralisations des fonctions hypergéométriques, notamment par Modèle:Lien et Israel Gelfand. Il y a des applications à la combinatoire des arrangements d'hyperplans.

On peut définir des séries hypergéométriques sur des espaces symétriques riemanniens et sur des groupes de Lie semi-simples. Leur importance transparait dans l'exemple suivant : la série hypergéométrique Modèle:Math est très proche des polynômes de Legendre et exprime, vue comme harmonique sphérique, les propriétés de symétrie de la sphère de Riemann.

Voir aussi

Bibliographie

• Paul Appell et Joseph Kampé de Fériet, Fonctions hypergéométriques et hypersphériques, Gauthier-Villars, Paris, 1926
• Édouard Goursat, « Mémoire sur les fonctions hypergéométriques d'ordre supérieur », dans Annales scientifiques de l'École normale supérieure, Sér. 2, vol. 12, 1883
  • p. 261-286
  • (seconde partie) p. 395-430
• Pascal Maroni, Fonctions hypergéométriques - Fonctions de Bessel, Techniques de l'ingénieur, Document A160, 1997

Articles connexes

• Fonction de Kampé de Fériet
• Fraction continue de Gauss
• Identité hypergéométrique
• Série hypergéométrique basique