Anticommutativité
Modèle:À sourcer En mathématiques, l'anticommutativité est la propriété caractérisant les opérations pour lesquelles intervertir deux arguments transforme le résultat en son opposé. Par exemple, une opération binaire ✻ est anticommutative si
Cette propriété intervient en algèbre, en géométrie, en analyse et, par conséquent, en physique.
Définition
Étant donné un entier naturel Modèle:Math, une opération Modèle:Math-aire est dite anticommutative si intervertir deux arguments transforme le résultat en son opposé.
Plus formellement, une application <math>*:A^n\to G</math> de l'[[Produit cartésien#Multiplets|ensemble de tous les Modèle:Math-uplets]] d'éléments d'un ensemble Modèle:Math dans un groupe Modèle:Math est dite anticommutative si pour toute permutation Modèle:Math de l'ensemble Modèle:Math, on a :
- <math>\forall(x_1,x_2,\dots,x_n)\in A^n\qquad x_1*x_2*\dots*x_n=\sgn(\sigma)\;x_{\sigma(1)}*x_{\sigma(2)}*\dots* x_{\sigma(n)}</math>,
où Modèle:Math désigne la signature de Modèle:Math.
Cette formule est à interpréter comme suit :
- si deux [[n-uplet|Modèle:Math-uplets]] se déduisent l'un de l'autre par une permutation impaire alors leurs images sont symétriques l'une de l'autre dans le groupe Modèle:Math ;
- si deux Modèle:Math-uplets se déduisent l'un de l'autre par une permutation paire alors ils ont même image.
La formule comporte donc un abus de notation puisqu'a priori, l'ensemble d'arrivée Modèle:Math est seulement un groupe, dans lequel « –1 » et la multiplication n'ont pas de sens précis. Dans le groupe Modèle:Math, noté ici additivement, Modèle:Math représente le symétrique (ou opposé) Modèle:Math d'un élément Modèle:Math.
Le cas Modèle:Math est particulièrement important. Une opération binaire <math>*:A\times A\to G</math> est anticommutative si
- <math>\forall(x_1,x_2)\in A\times A\qquad x_1*x_2=-\;x_2*x_1</math>,
ce qui signifie que Modèle:Math est l'élément symétrique de Modèle:Math dans le groupe Modèle:Math.
Exemples
- Sont anticommutatifs :
- la soustraction ;
- le produit vectoriel ;
- le crochet de Lie.
- Une application multilinéaire anticommutative est dite antisymétrique.
Propriété
Si le groupe Modèle:Math est tel que
- <math>\forall g\in G\quad( g=-g~\Rightarrow~g=0 )</math>,
c'est-à-dire si l'élément neutre est le seul élément qui soit égal à son symétrique alors :
- pour toute opération binaire ✻ anticommutative et tout élément Modèle:Math on a :
- <math>x_1*x_1=0</math> ;
- plus généralement, pour toute opération Modèle:Math-aire ✻ anticommutative, l'image de tout Modèle:Math-uplet <math>(x_1,\ldots,x_n)</math> comportant une répétition (Modèle:C.-à-d. tel que <math>x_i=x_j</math> pour au moins deux indices Modèle:Math et Modèle:Math distincts) est égale à l'élément neutre :
- <math>[\exists i\neq j\quad x_i=x_j] \Rightarrow x_1*x_2*\dots*x_n=0</math>.
Cette propriété est plus connue dans le cas particulier d'une application Modèle:Math-linéaire antisymétrique <math>f:E^n\to F</math> (Modèle:Math et Modèle:Math étant des espaces vectoriels sur un même corps Modèle:Math) : si la caractéristique de Modèle:Math est différente de 2 alors le seul vecteur de Modèle:Math égal à son opposé est le vecteur nul, si bien que Modèle:Math est alternée.
Voir aussi
Articles connexes
- Loi commutative
- Commutateur (théorie des groupes)
- Algèbre extérieure
- Physique statistique
- Matrice antisymétrique
Bibliographie
Modèle:Ouvrage, voir chap. 3 : « Algèbres tensorielles, algèbres extérieures, algèbres symétriques ».
