Appartenance (mathématiques)
Modèle:Voir homonymes Modèle:Confusion
En mathématique ensembliste, l’Modèle:Terme défini est une relation entre un élément et un ensemble, et également par abus de notations une relation entre un objet et une classe.
On écrit <math>x \in E</math> pour signifier que l'élément <math>x</math> appartient à l'ensemble <math>E</math>, ou que l'objet <math>x</math> appartient à la classe <math> E</math>.
L'axiome d'extensionnalité donne un rôle important à la relation d'appartenance, car elle permet de caractériser un ensemble par les éléments qui lui appartiennent. L'axiome de fondation énonce que la relation d'appartenance est bien fondée, ce qui interdit notamment qu'un ensemble puisse être élément de lui-même<ref group="Note">D'autres théories des ensembles requièrent au contraire l'axiome d'anti-fondation pour obtenir des Modèle:Lien qui échappent à cette restriction.</ref>. L'appartenance n'est ni symétrique, ni transitive<ref group="Note">Mais peut l'être sur une sous-classe d'ensembles, comme il en est sur la classe particulière, mais souvent considérée, des nombres ordinaux.</ref>, ni réflexive.
Notation et terminologie
Le symbole <math>\in</math> a été introduit par Giuseppe Peano en 1889 dans Modèle:Lien (page X) : Modèle:Citation blocIl s'agit d'un epsilon, première lettre de la troisième personne du singulier ἐστί du verbe « être » en grec ancien. Sa graphie correspond à celle répandue en Europe continentale à l'époque de Peano. Cependant Peano utilisera aussi le symbole ε<ref name="Peano">G. Peano, Formulaire de mathématiques, Tome II, Logique mathématique (1897) Notations pour les classes</ref>.
La relation <math>x \in E</math> se lisait ainsi à l'origine « <math>x</math> est un <math>E</math> »<ref name="Peano"/>. Cette formulation subsiste aujourd'hui dans une certaine mesure, par exemple lorsque l'on traduit <math>n \in \mathbb{N}</math> par « <math>n</math> est un entier naturel »<ref group="Note"> Qui est plutôt une affirmation du type de <math>n</math>, à savoir celui des entiers naturels, que l'on noterait formellement aujourd'hui <math>n:\mathbb{N}</math>.</ref>.
Dans le cas général <math>x \in E</math> se lit de nos jours « <math>x</math> appartient à <math>E</math> », « <math>x</math> est un élément de <math>E</math> », ou « <math>x</math> est dans <math>E</math> »<ref name=":0" group="Note">Nicolas Bourbaki recommande d'utiliser « <math>x</math> appartient à <math>E</math> » ou « <math>x</math> est un élément de <math>E</math> » (E II.1) ; mis à part quelques rares exceptions (par exemple « tout sous-groupe du groupe additif Z qui contient 1 est égal à Z », A I.98), cette recommandation est respectée dans l'ensemble des Éléments de mathématiques.</ref>.
La relation réciproque <math>E \ni x</math>, moins utilisée, se lit « <math>E</math> contient <math>x</math> », « <math>E</math> comprend <math>x</math> », ou « <math>E</math> possède <math>x</math> ». Le terme contient présente le désavantage d'être ambigu, pouvant également désigner l'inclusion. Utiliser possède, comme le recommande Gérard Debreu en soulignant que possède est le symétrique naturel de appartient<ref>Modèle:Ouvrage</ref>, élude ce problème. D'autres auteurs, tels que Paul Halmos<ref>Modèle:Article</ref> ou George Boolos<ref>George Boolos (4 février 1992). 24.243 Classical Set Theory (lecture). (Speech). Massachusetts Institute of Technology, Cambridge, MA.</ref>, recommandent plutôt d'utiliser systématiquement « <math>E</math> contient <math>x</math> » pour traduire <math>E \ni x</math>, et « <math>E</math> inclut <math>X</math> » pour <math>E \supseteq X</math>. Enfin, la plupart des auteurs, dont par exemple Nicolas Bourbaki<ref name=":0" group="Note" />, n'utilisent tout simplement pas cette relation réciproque, tournant systématiquement leurs phrases de façon à pouvoir utiliser « <math>x</math> appartient à <math>E</math> » ou « <math>x</math> est un élément de <math>E</math> ».
En LaTex : <math>x \in E</math> s'écrit en utilisant la commande « \in », signifiant dans en anglais ; <math>E \ni x</math> s'écrit en utilisant l'une des commandes équivalentes « \ni » et « \owns », respectivement un « \in » inversé et possède en anglais.
Dans le langage de programmation Haskell qui admet une définition de listes en compréhension, l'appartenance se note <-.
Première approche
La définition historique donnée par Cantor en Modèle:Date-<ref>Modèle:Ouvrage, page 481 Modèle:Lire en ligne</ref> est :
Par exemple, si <math>M= \{1,2,3 \}</math>, alors <math>1</math>, <math>2</math> et <math>3</math> sont les éléments de <math>M</math>. Ils appartiennent à <math>M</math>.
On prendra garde à ne pas confondre « élément » et « sous-ensemble ». Dans l'exemple qui précède, <math>\{1,2 \}</math> et <math>\{3 \}</math> sont parmi d'autres des sous-ensembles de <math>M</math> mais n'en sont pas des éléments. Ils n'appartiennent donc pas à <math>M</math>, au même titre que <math>7</math> ou <math>\pi</math>.
Approche formelle
Les exposés contemporains de la théorie des ensembles la décrivent comme une théorie égalitaire du premier ordre comportant outre l'égalité = un seul prédicat binaire, l'appartenance <math>\in</math><ref>Voir Modèle:Cori-Lascar II, chapitre 7, p. 113-114 notamment.</ref>. Dans cette approche, la phrase « x est élément de M » n'est que la verbalisation de la formule <math>x\in M</math>.
Le formalisme le plus généralement admis est celui de Zermelo-Fraenkel.
Felix Hausdorff relève que cette approche ne constitue pas une définition à partir d'un concept antérieur, mais est un point de départ pour la formalisation d'une grande partie des mathématiques : Modèle:Citation bloc
Éléments d'ensembles, éléments de classes
Dans l'expression « x est élément de M », la lettre M désigne souvent un ensemble. C'est notamment ce que suppose la présentation formelle donnée plus haut, où cette expression est notée <math>x\in M</math>.
Une théorie trop naïve des ensembles conduisant à des paradoxes fameux, comme celui créé par l'ensemble de tous les ensembles, il est parfois utile de considérer une relation d'appartenance d'un élément x à un objet M qui n'est pas un ensemble mais une classe. C'est par exemple le cas en théorie des catégories ; dans ce dernier contexte, toutefois, on utilise plutôt l'expression : « x est un "objet" de M ».
Dans le formalisme des classes de la théorie la plus couramment utilisée, la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel, les classes s'identifient à des prédicats unaires du langage. Dire que x est élément de la classe M correspondant au prédicat P, c'est simplement une autre façon de dire que P(x) est vrai.
Symbole d'appartenance
Le symbole d'appartenance « ∈ » est un symbole mathématique introduit par Giuseppe Peano<ref>Hans Freudenthal, « Notation mathématique », Dictionnaire des mathématiques – fondements, probabilités, applications, Encyclopædia Universalis et Albin Michel, Paris 1998.</ref> pour l'appartenance en théorie des ensembles. Sa graphie correspond à celle de la lettre grecque epsilon en Europe continentale à cette époque.
Il en existe une version minuscule et une version barrée, et ces trois caractères ont également un codage Unicode renversé de droite à gauche.
| Nom | Unicode | HTML | LaTeX | ||
|---|---|---|---|---|---|
| appartient à | ∈ | 2208 | ∈ | <math>\in</math> | \in
|
| n'appartient pas à | ∉ | 2209 | ∉ | <math>\notin</math> | \notin
|
| petit appartient à | ∊ | 220A | |||
| contient comme élément | ∋ | 220B | ∋ | <math>\ni</math> | \ni ou \owns
|
| ne contient pas comme élément | ∌ | 220C | <math>\not\ni</math> | \not\ni ou \not\owns
| |
| petit contient comme élément | ∍ | 220D | |||
Ce symbole est repris comme titre d'un recueil de poésie publié par Jacques Roubaud en 1967. Pour l'auteur, il est aussi « par extension, symbole de l'appartenance au monde de « l'être au monde »<ref>Modèle:Ouvrage, p. 11. </ref>. » Modèle:Autres projets
Articles connexes
- Inclusion
- SETL, un langage de programmation fondé sur la notion d'ensemble
- Liste en compréhension
