Compacité séquentielle

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En mathématiques, un espace séquentiellement compact est un espace topologique dans lequel toute suite possède au moins une sous-suite convergente. La notion de compacité séquentielle entretient des rapports étroits avec celles de quasi-compacité et compacité et celle de compacité dénombrable. Pour un espace métrique (notamment pour un espace vectoriel normé), ces quatre notions sont équivalentes.

Intuitivement, un ensemble compact est « petit » et « fermé », au sens où l'on ne peut « s'en échapper ». Si l'on forme une suite de points de cet ensemble, ses éléments ne peuvent pas beaucoup s'éloigner les uns des autres et se concentrent sur certaines valeurs. Cet article propose une approche de la compacité dans le cadre restreint des espaces métriques, où elle est équivalente à la compacité séquentielle.

Comparaison avec la compacité

Modèle:Voir Un espace est dit compact s'il est séparé et quasi-compact. Or la définition usuelle de la quasi-compacité est équivalente à la suivante, qui correspond mot pour mot à celle de la compacité séquentielle, à une différence près : on remplace les suites par des suites généralisées<ref>{{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Raymond Mortini, Topologie, théorème 7.2 p. 32 (Mortini emploie, comme les anglophones, le mot « compact » pour désigner nos quasi-compacts.)</ref> :

Quelques contre-exemples suffisent à se convaincre que cet ajout du mot « généralisée » est très important. Les plus connus sont :

• le premier ordinal non dénombrable [0, ω₁[ (muni de la topologie de l'ordre) et la longue droite, séquentiellement compacts et séparés mais non compacts ;
• l'espace produit {0, 1}^ℝ et le compactifié de Stone-Čech βℕ de ℕ, compacts mais non séquentiellement compacts (donc non séquentiels). (En outre, ces deux compacts sont séparables et pourtant « très gros » : ils ont même cardinal 2^ℭ que l'ensemble des parties de ℝ<ref name=cardinal>Il est difficile de construire un espace séparé séquentiellement compact séparable de cardinal strictement supérieur à la puissance du continu : ZFC n'y suffit pas, mais n'exclut pas qu'il en existe. Modèle:Lien web.</ref>.)

Il existe cependant des liens entre ces deux notions via celle, multiforme, de compacité dénombrable (parfois sous certaines hypothèses, toujours vérifiées lorsque l'espace est métrisable) : voir l'article détaillé.

Par ailleurs, tout compact « assez petit » est séquentiellement compact. Sous l'hypothèse du continu, ce « assez petit » se traduit par : « ayant au plus autant d'éléments que ℝ ». Plus précisément (et sans l'hypothèse du continu) :Modèle:Retrait

Propriétés

• Tout espace fini ou, plus généralement, tout sous-espace réunion finie de parties séquentiellement compactes d'un même espace, est clairement séquentiellement compact.
• Tout espace à bases dénombrables de voisinages qui est Modèle:Lien (c'est-à-dire dans lequel l'adhérence de toute partie dénombrable est quasi-compacte) est séquentiellement compact<ref>Modèle:Ouvrage.</ref>.
• Dans un espace séparé, de même que toute partie compacte est fermée, toute partie K séquentiellement compacte est séquentiellement fermée, c'est-à-dire stable par limites de suites (toute suite de points de K qui converge a sa limite dans K), mais pas nécessairement fermée : par exemple [0, ω₁[ n'est pas fermé dans [0, ω₁].
• Toute partie séquentiellement fermée (et a fortiori toute partie fermée) d'un espace séquentiellement compact est séquentiellement compacte, de même que tout fermé d'un (quasi-)compact est (quasi-)compact.
• De même que l'intersection de toute suite décroissante de compacts non vides, l'intersection de toute suite décroissante de parties séquentiellement compactes Modèle:Math non vides est non vide. En effet, choisissons pour tout Modèle:Math un élément Modèle:Math de Modèle:Math. La suite Modèle:Math admet une sous-suite convergente dans Modèle:Math. Pour tout Modèle:Math, la sous-suite est à valeurs dans Modèle:Math à partir d'un certain rang et comme cet ensemble est séquentiellement fermé, il contient la limite.
• De même que la quasi-compacité, la compacité séquentielle est préservée par images continues.

• La compacité séquentielle est préservée par produits au plus dénombrables (alors que la quasi-compacité l'est par produits quelconques). Pour tout cardinal κ supérieur ou égal à la puissance du continu ℭ (le cardinal de ℝ, ou de l'ensemble des parties de ℕ), le compact Modèle:Nobr — produit de κ copies de l'espace discret {0, 1} — n'est pas séquentiellement compact<ref>Pour les cas intermédiaires ω₁ ≤ κ < ℭ, voir Modèle:Chapitre, Th 5.1 et 6.1.</ref>.

• Soit X le produit d'une suite (Xⁱ)_i∈ℕ d'espaces séquentiellement compacts et soit (x_j)_j∈ℕ une suite d'éléments de X (une suite de suites). À partir de n₀(j) = j, on construit par récurrence une suite d'extractrices n_p, chacune extraite de la précédente et telle que dans X^p, la suite <math>(x^p_{n_{p+1}(j)})_{j\in\N}</math> converge vers un certain x^p (pour extraire de n_p une sous-suite n_p+1 vérifiant cette condition, on utilise la compacité séquentielle de X^p), puis on pose (pour tout entier naturel p) φ(p) = n_p(p) (dans le cas d'un produit fini X₀×…×X_m–1, il n'est pas nécessaire d'appliquer ce procédé diagonal : on peut prendre simplement φ = n_m). Cette extractrice φ donne alors une suite extraite de (x_j)_j∈ℕ qui converge par construction vers l'élément (x^p)_p∈ℕ de X, ce qui achève la preuve.
• Soit S = {0, 1}^ℕ l'ensemble des suites à valeurs dans {0, 1}. Le compact T = {0, 1}^S n'est pas séquentiellement compact. En effet, T s'identifie à l'ensemble, muni de la topologie de la convergence simple, des applications de S dans {0, 1}, or on peut construire une suite (f_n)_n∈ℕ de telles applications dont aucune sous-suite (f_φ(j)) n'a de limite. Il suffit pour cela de définir f_n par : f_n(s) = s_n pour tout s. Pour toute extractrice φ, considérons l'élément s de S tel que Modèle:Nobr si n = φ(j) pour un entier j pair et s_n = 0 pour toutes les autres valeurs de n. Alors, la suite des f_φ(j)(s) = s_φ(j) vaut alternativement 1 et 0 donc n'a pas de limite, ce qui prouve que la sous-suite (f_φ(j)) de (f_n)_n∈ℕ n'a pas de limite dans T.

Partie relativement séquentiellement compacte

Une partie A d'un espace topologique X est dite relativement séquentiellement compacte si toute suite à valeurs dans A possède au moins une sous-suite qui converge dans X. Cette notion est à rapprocher de celles de compacité relative et de compacité dénombrable relative mais l'adhérence d'une partie relativement séquentiellement compacte<ref>Modèle:Ouvrage.</ref> ou même d'une partie séquentiellement compacte<ref>Modèle:Lien web, Modèle:P..</ref> n'est pas nécessairement séquentiellement compacte.

Espaces métriques compacts

De très nombreux problèmes de topologie et d'analyse fonctionnelle se posent dans le cadre des espaces vectoriels normés de dimension quelconque, ou plus généralement des espaces métriques. L'outil principal est alors la notion de suite convergente. Dans le cas où l'on dispose d'une distance sur l'espace, on peut tirer de la compacité de nombreuses informations et l'on peut la caractériser à l'aide du théorème fondamental suivant.

Fermés bornés

Dans un espace métrique :

• les parties fermées sont les parties séquentiellement fermées ;
• une partie est dite bornée si elle est incluse dans une boule ;
• les boules fermées constituent des exemples simples de fermés bornés, mais d'autres ne sont pas « en un seul morceau » (voir connexité pour la formalisation de cette notion). Ainsi la réunion de deux boules fermées est encore un fermé borné, ou également l'ensemble de Cantor ;
• Toute partie séquentiellement compacte est fermée (d'après une des propriétés vues plus haut) et bornée<ref>Sans quoi, elle contiendrait une suite d'éléments dont les distances à un point fixe tendent vers l'infini, donc sans sous-suite convergente.</ref> mais la réciproque est fausse, même dans un espace vectoriel normé.

Cette réciproque est cependant vraie lorsque l'espace métrique est la droite réelle, le plan usuel, ou plus généralement un espace vectoriel réel de dimension finie muni d'une norme :

Modèle:Théorème L'article « Théorème de Borel-Lebesgue » en donne une démonstration à partir de la notion de compacité mais on peut aussi en donner une à partir de celle, équivalente ici, de compacité séquentielle : Modèle:Démonstration Un espace métrique est dit propre si toutes ses boules fermées sont compactes ou, ce qui revient au même, si ses compacts sont ses fermés bornés. Le théorème précédent est optimal au sens suivant :

La partie « si » se ramène, par équivalence des normes, à la caractérisation des compacts de ℝⁿ, fournie par le théorème de Borel-Lebesgue.

La partie « seulement si » est le théorème de compacité de Riesz proprement dit et se démontre en utilisant à nouveau, entre autres, le théorème de Bolzano-Weierstrass.

Limitations de taille

Un espace métrique X est dit précompact si toute suite dans X possède une sous-suite de Cauchy. Il est donc immédiat que X est séquentiellement compact si et seulement s’il est précompact et complet.

Par conséquent, tout espace métrisable (séquentiellement) compact est homéomorphe à un fermé du cube de Hilbert [0, 1]^ℕ (puisque tout métrique précompact est séparable et tout espace métrisable séparable est homéomorphe à un sous-espace de [0, 1]^ℕ). En particulier, il a au plus la puissance du continu<ref>Plus généralement, tout espace compact à bases dénombrables de voisinages a au plus la puissance du continu.</ref><ref name=cardinal/>.

Voir aussi

Articles connexes

• Introduction au théorème de Banach-Alaoglu dans l'article Topologie faible
• Théorème d'Eberlein-Šmulian et caractérisation séquentielle des espaces réflexifs