Droite réelle achevée
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En mathématiques, la droite réelle achevée désigne l'ensemble ordonné constitué des nombres réels auxquels sont adjoints deux éléments supplémentaires : un plus grand élément, noté Modèle:Math et un plus petit élément, noté Modèle:Math<ref name=Bourbak>Modèle:Bourbaki-Topologie, chap. IV, § 4, p. IV.13-17.</ref>. Elle est notée Modèle:Math, ℝ ∪ Modèle:Math ou Modèle:Surligner (notation toutefois ambiguë, car la barre signifie généralement « complémentaire » en théorie des ensembles, ou « adhérence » en topologie).
Cet ensemble est très utile en analyse, notamment pour généraliser les formules et théorèmes sur les limites sans avoir à effectuer une disjonction des cas, et dans certaines théories de l'intégration<ref>Cf. par exemple N. Bourbaki, Éléments de mathématique, livre VI : Intégration, chap. IV, § 1 et 5.</ref>.
Propriétés
Opérations
L'addition et la multiplication, définies sur l'ensemble des réels, sont partiellement étendues comme suit à la droite achevée<ref name=Bourbak/>.
Addition
Pour tout Modèle:Math, Modèle:Math.
Pour tout Modèle:Math, Modèle:Math.
Multiplication
Pour tout Modèle:Math :
- Modèle:Math si Modèle:Math et Modèle:Math si Modèle:Math ;
- Modèle:Math si Modèle:Math et Modèle:Math si Modèle:Math ;
Opérations indéterminées
Modèle:Refsou, parce qu'on ne rajoute pas suffisamment d'éléments (voir « Indice d'un sous-groupe »). On préfère donc ne pas définir (Modèle:Math) + (Modèle:Math).
De même, dans le cadre des calculs de limites, on ne donne aucun sens aux produits ou [[Division par zéro|quotients par Modèle:Math]] de Modèle:Math ou Modèle:Math. Cependant, en théorie de la mesure et en analyse convexe, on adopte souvent la convention <math>0\times\pm\infty=0</math>.
Récapitulatif
L'addition et la multiplication partiellement étendues à la droite réelle achevée sont résumées dans les tableaux suivants, les cases grisées représentant les formes indéterminées :
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Relation d'ordre
L'ensemble Modèle:Surligner est muni d'une relation d'ordre, notée ≤, qui étend la relation d'ordre usuelle sur ℝ. Cette relation est telle que Modèle:Math est le plus petit élément de Modèle:Surligner et Modèle:Math le plus grand élément<ref name=Bourbak/>.
Ainsi, si <math>(a, b) \in \R^2</math>, avec <math>a \le b</math> au sens de la relation d'ordre usuelle sur ℝ, on a :
- <math>-\infty \le a \le b \le +\infty. </math>
Comme celle sur ℝ, la relation d'ordre usuelle sur Modèle:Surligner est totale.
La droite réelle achevée est un treillis complet, c'est-à-dire que toute partie de cet ensemble admet une borne supérieure et une borne inférieure<ref name=Bourbak/>, y compris l'ensemble vide ∅ (Modèle:Math est sa borne inférieure et Modèle:Math sa borne supérieure, comme expliqué dans le § « Exemples » de l'article sur les bornes supérieure et inférieure).
Métriques et topologie
L'ordre sur Modèle:Surligner induit une topologie de l'ordre : une base d'ouverts est constituée des intervalles de la forme ]a, Modèle:Math] ou [[[:Modèle:Math]], b[ ou ]a, b[ avec a et b réels. La topologie induite sur ℝ par cette topologie sur Modèle:Surligner est donc la topologie de l'ordre de ℝ, c'est-à-dire sa topologie usuelle<ref name=Bourbak/>. Autrement dit : les voisinages dans Modèle:Surligner d'un réel x sont les mêmes que ceux définis par la topologie usuelle sur ℝ, augmentés éventuellement de Modèle:Math et/ou de Modèle:Math.
Tout point de Modèle:Surligner possède une base de voisinages dénombrable. Par exemple :
- les intervalles ]n, Modèle:Math] avec n entier (ou entier positif) forment une base de voisinages de Modèle:Math ;
- les intervalles [[[:Modèle:Math]], n[ avec n entier (ou entier négatif) forment une base de voisinages de Modèle:Math ;
- pour tout réel x, les intervalles ]x – 1/n, x + 1/n[ avec n entier strictement positif forment une base de voisinages de x.
L'espace topologique Modèle:Surligner est même métrisable, mais aucune distance ne s'impose naturellement plus qu'une autre ; en particulier, il n'existe sur Modèle:Surligner aucune distance continue qui soit une extension de la distance usuelle sur ℝ.
Parmi les distances induisant la topologie de Modèle:Surligner, on peut citer :
- <math>d'(x, y) = | \arctan y - \arctan x |</math>, en comptant <math>\arctan \pm \infty = \pm \pi/2</math>
- <math>d'(x, y) = | \tanh y - \tanh x |</math>, en comptant <math>\tanh \pm \infty = \pm 1</math>
En effet, l'application Modèle:Math (Modèle:Abbr wikitexte Modèle:Math) est un isomorphisme d'ensembles ordonnés de ℝ dans Modèle:Math (resp. dans Modèle:Math), donc<ref name=Bourbak/> se prolonge en un isomorphisme d'ensembles ordonnés de Modèle:Surligner dans Modèle:Math (resp. dans Modèle:Math), qui est par conséquent un homéomorphisme entre les topologies associées à ces ordres.
Ces homéomorphismes montrent aussi que Modèle:Surligner est compact<ref name=Bourbak/>.
