Espace localement compact
En topologie, un espace localement compact est un espace séparé qui admet des voisinages compacts pour tous ses points. Un tel espace n'est pas nécessairement compact lui-même mais on peut y généraliser (au moins partiellement) beaucoup de résultats sur les espaces compacts. Ce sont aussi les espaces qu'on peut « rendre » compacts avec un point grâce à la compactification d'Alexandrov.
Motivations
La compacité est une source très fertile de résultats en topologie mais elle reste une propriété très contraignante. En particulier, le fait qu'un espace métrique doit être borné pour être compact fait que les résultats concernant les espaces compacts ne sont presque jamais applicables aux espaces métriques rencontrés, qui sont très rarement bornés.
Cependant, on peut appliquer ces résultats à certains espaces métriques non bornés (notamment aux espaces vectoriels normés) à condition que l'objet étudié respecte certaines propriétés supplémentaires, qui permettent d'y appliquer les outils développés pour les espaces compacts.
Par exemple, toute suite de points d'un compact admet une valeur d'adhérence ; le cas élémentaire du théorème de Bolzano-Weierstrass dit qu'une suite bornée de points de ℝ (ou plus généralement de ℝn) admet une valeur d'adhérence. Or ni ℝ ni ℝn ne sont compacts, mais en ajoutant « bornée » on peut conclure quelque chose, car ℝ et ℝn sont localement compacts. De même, dans un espace métrique localement compact, toute suite bornée possèdera une sous-suite convergente.
Définitions
Un espace topologique X est dit localement compact s’il est séparé Modèle:Refnec et si tout point x élément de X admet un voisinage compact, autrement dit si x appartient à un ouvert relativement compact (c'est-à-dire d'adhérence compacte, ou encore : inclus dans un compact).
Cette définition implique<ref>Modèle:Bourbaki-Topologie, TG I.64, corollaire.</ref> la caractérisation suivante (parfois prise comme définition) : un espace topologique séparé X est localement compact si et seulement si tout point de X admet une base de voisinages compacts.
Modèle:Démonstration/début Soit Modèle:Formule un point de Modèle:Formule, que l’on suppose vérifier la première définition : il possède alors un voisinage compact Modèle:Formule.
- Première preuveModèle:Note
- Il suffit de montrer que pour tout voisinage Modèle:Formule de Modèle:Formule, il existe un voisinage fermé Modèle:Formule contenu dans Modèle:Formule et dans Modèle:Formule.
- La frontière Modèle:Formule est fermée et incluse dans Modèle:Formule ; elle est donc compacte. Par séparation, pour chacun de ses points Modèle:Formule, il existe un voisinage ouvert Modèle:Formule de Modèle:Formule et un voisinage Modèle:Formule contenu dans Modèle:Formule de Modèle:Formule disjoints. Or, la famille des ouverts Modèle:Formule recouvre Modèle:Formule ; il existe donc un sous-recouvrement fini Modèle:Formule et Modèle:Formule est un voisinage de Modèle:Formule ne rencontrant aucun des Modèle:Formule : son adhérence est incluse dans Modèle:Formule.
- Seconde preuve
- Dans Modèle:Math, qui est compact donc régulier (et même normal)Modèle:Note, les voisinages compacts de Modèle:Math forment une base de voisinages. Ils forment donc aussi une base de voisinages de Modèle:Math dans Modèle:Math, puisque Modèle:Math est un tel voisinage.
Propriétés
Tout espace compact est localement compact.
Dans un espace localement compact, tout compact est inclus dans un ouvert relativement compact<ref>Modèle:Ouvrage, Lemma 1.</ref>.
Comme (par définition) toute « propriété topologique », la compacité locale est conservée par homéomorphismes.
Elle est aussi conservée par produits finis.
Un sous-espace Y d'un espace localement compact X est lui-même localement compact si et seulement s'il peut s'écrire comme la différence de deux fermés de X : Y = F1\F2.
En particulier, tous les ouverts et les fermés d'un espace localement compact sont localement compacts.
Tout espace localement compact est complètement régulier, mais pas nécessairement normal (la planche de Tychonoff épointée est un contre-exemple).
Tout espace localement compact est un espace de Baire, c'est-à-dire que la conclusion du théorème de Baire s'y applique : une union dénombrable de parties nulle part denses (c'est-à-dire dont l'intérieur de l'adhérence est vide) est d'intérieur vide.
Les quotients d'espaces localement compacts sont les k-espaces.
Un espace localement compact est σ-compact :
- (si et) seulement s'il est hémicompact<ref name=NariciBeckenstein>Modèle:Ouvrage.</ref>,<ref name=Joshi/>,<ref>Modèle:Ouvrage.</ref> ;
- si (et seulement si) il est de Lindelöf<ref>Modèle:Ouvrage.</ref>.
Tout espace hémicompact à bases dénombrables de voisinages est localement compact<ref name=NariciBeckenstein/>,<ref name=Joshi>Modèle:Ouvrage.</ref>.
Exemples
- L'espace ℝ des réels est le prototype d'espace localement compact mais non compact.
- Le produit fini ℝn, pour tout entier n > 0, hérite de ces deux propriétés.
- Tout espace homéomorphe à un tel ℝn également : par exemple ℂm (pour tout entier m > 0), l'intervalle ]0, 1[ ou le disque ouvert {z ∈ ℂ | |z| < 1} du plan complexe.
- Plus généralement, toute variété topologique (même sans base dénombrable) est localement compacte.
- Tout espace discret est localement compact.
- En revanche, les espaces suivants ne sont pas localement compacts :
- le produit infini ℕℕ ;
- le sous-espace ℚ de ℝ (puisqu'une suite bornée de rationnels n'a pas toujours de valeur d'adhérence rationnelle) ;
- les espaces vectoriels topologiques séparés de dimension infinie (rencontrés en analyse fonctionnelle) ;
- le « demi-plan ouvert plus un point » : {(0, 0)} ∪ {(x, y) ∈ ℝ2 | x > 0} c'est-à-dire les points du plan d'abscisse strictement positive plus l'origine. Dans ce cas, c'est justement l'origine qui pose un problème, car elle n'a aucun voisinage compact.
