Théorème de Bolzano-Weierstrass
Modèle:Voir homonymes En topologie des espaces métriques, le théorème de Bolzano-Weierstrass donne une caractérisation séquentielle des espaces compacts. Il tire son nom des mathématiciens Bernard Bolzano et Karl Weierstrass.
Énoncé du théorème
Un espace métrisable Modèle:Mvar est compact (au sens de l'axiome de Borel-Lebesgue) si (et seulement si) toute suite d'éléments de Modèle:Mvar admet une valeur d'adhérence dans Modèle:Mvar ou, de manière équivalente, admet une sous-suite qui converge vers un élément de Modèle:Mvar.
Cet énoncé peut se décomposer en :
- Deux scholies qui garantissent le « seulement si » :
- Dans un espace (non nécessairement métrisable) compact ou même seulement dénombrablement compact, toute suite admet une valeur d'adhérence :Modèle:Retrait
- Dans tout espace métrisable ou même seulement à bases dénombrables de voisinages, les valeurs d'adhérence d'une suite sont les limites de ses sous-suites convergentes :Modèle:Retrait
- L'énoncé proprement dit, le « si » :
Démonstration
Tout espace métrique Modèle:Mvar séquentiellement compact est évidemment précompact, c'est-à-dire que toute suite dans Modèle:Mvar admet une sous-suite de Cauchy ou, ce qui est équivalent : pour tout r > 0, Modèle:Mvar est recouvert par un nombre fini de boules de rayon r.
Pour en déduire qu'il est compact, il suffit d'utiliser les liens généraux entre diverses notions de compacité : puisque Modèle:Mvar est précompact, il est séparable donc à base dénombrable donc de Lindelöf, c'est-à-dire que tout recouvrement ouvert <math>\left(U_i\right)_{i\in I}</math> de Modèle:Mvar admet un sous-recouvrement dénombrable <math>\left(V_n\right)_{n\in\N}</math>. Puis, en utilisant à nouveau la compacité séquentielle, <math>\left(V_n\right)_{n\in\N}</math> a un sous-recouvrement fini (sinon, on pourrait choisir, pour tout n, un point <math>x_n\notin\cup_{k<n}V_k</math>, et la suite <math>(x_n)</math> n'aurait pas de valeur d'adhérence).
Une autre approche, plus spécifique, est d'utiliser le fait que pour tout recouvrement ouvert <math>\left(U_i\right)_{i\in I}</math> d'un espace métrique séquentiellement compact Modèle:Mvar, il existe au moins un nombre de Lebesgue, c'est-à-dire un réel Modèle:Math tel que toute boule ouverte de Modèle:Mvar de rayon Modèle:Mvar soit incluse dans au moins l'un des ouverts du recouvrement. Formellement :
- <math>\exists r\in\R_+^*\quad\forall x\in X\quad\exists i(x)\in I\quad B\left(x,r\right)\subset U_{i(x)}</math>.
Soit alors Modèle:Mvar un espace métrique séquentiellement compact, prouvons qu'il est compact<ref>Pour une variante, voir Modèle:Ouvrage.</ref>. Soit <math>\left(U_i\right)_{i\in I}</math> un recouvrement ouvert de Modèle:Mvar et soit Modèle:Mvar un nombre de Lebesgue pour ce recouvrement. Par précompacité, il existe une partie finie Modèle:Mvar de Modèle:Mvar telle que <math>X=\bigcup_{x\in Y}B\left(x,r\right)</math>. On en déduit alors que la sous-famille finie <math>\left(U_{i\left(x\right)}\right)_{x\in Y}</math> recouvre Modèle:Mvar.
Énoncé dans le cas réel
Cette propriété n'est que la partie facile du théorème (le « seulement si »), appliquée aux intervalles fermés bornés de ℝ, qui sont compacts d'après le théorème de Borel-Lebesgue. Elle s'applique de même aux suites bornées complexes, ou plus généralement aux suites bornées de vecteurs dans un espace vectoriel normé de dimension finie mais dans le cas réel, on peut en donner deux démonstrations plus directes :
- par extraction d'une sous-suite monotone : toute suite réelle x possède une sous-suite monotone y (Modèle:Cf. propriétés des sous-suites). Si x est bornée alors la sous-suite y aussi donc y est convergente, d'après le théorème de la limite monotone ;
- par dichotomie<ref>Modèle:Ouvrage.</ref>,<ref>Modèle:Ouvrage.</ref>,<ref>Modèle:Note autre projet</ref>.
Notes et références
Voir aussi
Article connexe
Bibliographie
- Georges Skandalis, Topologie et analyse Modèle:3e, Dunod, coll. « Sciences Sup », 2001
- Claude Wagschal, Topologie et analyse fonctionnelle, Hermann, coll. « Méthodes », 1995
