Fonction de Clausen
En mathématiques, la fonction de Clausen, étudiée par Clausen puis (entre autres) Kummer et Modèle:Lien, est définie par l'intégrale suivante :
- <math>\operatorname{Cl}_2(\theta)=-\int_0^\theta\ln|2\sin(t/2)|\,\mathrm dt</math>.
Plus généralement, on définit, pour Modèle:Math :
- <math>\operatorname{Cl}_s(\theta) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(n\theta)}{n^s}</math>.
Propriétés
- Les fonctions de Clausen sont impaires et Modèle:Math-périodiques, donc nulles sur Modèle:Mathℤ.
- <math>\operatorname{Cl}_2(\theta)=\int_0^{\pi-\theta}\ln|2\cos(s/2)|\,\mathrm ds</math>.
- La fonction Modèle:Math pour Modèle:Math est reliée au polylogarithme Modèle:Math par :
- <math>\forall m\in\N^*\quad\operatorname{Cl}_{2m}(\theta)=\operatorname{Im}(\operatorname{Li}_{2m}(\mathrm e^{\mathrm i\theta}))</math> ;
- <math>\forall m\in\N\quad\operatorname{Cl}_{2m+1}(\theta)=\operatorname{Re}(\operatorname{Li}_{2m+1}(\mathrm e^{\mathrm i \theta}))</math>.
- Pour tout entier Modèle:Math, <math>\operatorname{Cl}_m(2\theta) = 2^{m-1}\Bigl(\operatorname{Cl}_m(\theta)-(-1)^m \operatorname{Cl}_m(\pi-\theta) \Bigr)</math>.
- <math>\operatorname{Li}_2(\exp(\mathrm i \theta)) = \zeta(2) - \theta(2\pi-\theta) /4+\mathrm i\operatorname{Cl}_2(\theta)</math>
- pour Modèle:Math, où Modèle:Math est la fonction zêta de Riemann<ref>Modèle:Structural Properties of Polylogarithms (Lewin), Modèle:P..</ref>.
Accélération du calcul de la série
Une des accélérations de série de la fonction de Clausen est donnée par :
- <math>\frac{\operatorname{Cl}_2(\theta)}{\theta} =
1-\ln|\theta| + \sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta(2n)}{n(2n+1)} \left(\frac{\theta}{2\pi}\right)^{2n} </math>, pour Modèle:Math.
Une forme convergeant plus rapidement est donnée par :
- <math>\frac{\operatorname{Cl}_2(\theta)}{\theta} =
3-\ln\left[|\theta| \left(1-\frac{\theta^2}{4\pi^2}\right)\right] -\frac{2\pi}{\theta} \ln \left( \frac{2\pi+\theta}{2\pi-\theta}\right) +\sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta(2n)-1}{n(2n+1)} \left(\frac{\theta}{2\pi}\right)^{2n} </math>.
La rapidité de la convergence de cette série est due au fait que Modèle:Math tend rapidement vers Modèle:Math quand Modèle:Mvar tend vers l'infini. Ces deux formes sont générées grâce aux techniques de somme utilisées pour obtenir la série zêta rationnelle<ref>Modèle:Computational Strategies for the Riemann Zeta Function.</ref>.
Valeurs particulières
- <math>\operatorname{Cl}_2\left(\frac\pi2\right)=K</math>
où Modèle:Mvar est la constante de Catalan. Plus généralement :
- <math>\operatorname{Cl}_s\left(\frac\pi2\right)=\beta(s)</math>
où Modèle:Mvar est la fonction bêta de Dirichlet.
La valeur maximale de Modèle:Math est la Modèle:Lien<ref>Modèle:MathWorld.</ref>,<ref>Apparaît sous le nom de « constante de Lobachevsky » dans Modèle:Lien web.</ref> :
- <math>\mathrm G=\operatorname{Cl}_2\left(\frac\pi3\right)=\frac32\operatorname{Cl}_2\left(\frac{2\pi}3\right)\approx1{,}015</math>.
Le Modèle:Lien du complément du Modèle:Lien est le double de cette constante<ref>Modèle:Harvsp.</ref>,<ref>Modèle:Ouvrage.</ref> :
- <math>V=2\mathrm G=2\sqrt3\,\sum_{n=1}^\infty\frac1{n\binom{2n}n}\sum_{k=n}^{2n-1}\frac1k\approx2{,}03
</math> (Modèle:OEIS2C)<ref>Pour de nombreuses autres expressions de Modèle:Mvar, voir Modèle:MathWorld.</ref>.
Extensions : les fonctions de Glaisher-Clausen
Plus généralement, on peut définir deux clases de fonctions de Clausen généralisées :
- <math>\operatorname{S}_z(\theta) = \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin k\theta}{k^z}</math>
- <math>\operatorname{C}_z(\theta) = \sum_{k=1}^\infty \frac{\cos k\theta}{k^z}</math>
La définition est valide pour tout complexe z tel que Modèle:Math. Le domaine de définition peut être étendu à tout le plan complexe par prolongement analytique.
Pour z entier positif, les fonctions de Clausen standard sont définies par les séries de Fourier suivantes :
- <math>\operatorname{Cl}_{2m+2}(\theta) = \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin k\theta }{k^{2m+2}}</math>
- <math>\operatorname{Cl}_{2m+1}(\theta) = \sum_{k=1}^\infty \frac{\cos k\theta }{k^{2m+1}}</math>
- <math>\operatorname{Sl}_{2m+2}(\theta) = \sum_{k=1}^\infty \frac{\cos k\theta }{k^{2m+2}}</math>
- <math>\operatorname{Sl}_{2m+1}(\theta) = \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin k\theta }{k^{2m+1}}</math>
Les fonctions de Clausen de type SL sont aussi notées <math>\operatorname{Gl}_m(\theta)\, </math> et parfois appelées fonctions de Glaisher-Clausen (du nom de James Whitbread Lee Glaisher, d'où la notation GL<ref>Modèle:Lien arXiv</ref>), qu'on peut définir par :
- <math>\mathrm{Gl}_n(\theta) =
\begin{cases} \frac12\left(\mathrm{Li}_n(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}) + \mathrm{Li}_n(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta})\right) & \mathrm{ si }\ n \ \mathrm{ pair } \\ \frac{1}{2\mathrm{i}}\left(\mathrm{Li}_n(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}) - \mathrm{Li}_n(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta})\right) & \mathrm{ si }\ n \ \mathrm{ impair } \end{cases}</math>
Références
Modèle:Traduction/Référence Modèle:Références
