Fonction polylogarithme

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Modèle:Confusion

La fonction polylogarithme (aussi connue sous le nom de fonction de Jonquière) est une fonction spéciale qui peut être définie pour tout Modèle:Mvar et Modèle:Math par :

<math>

\operatorname{Li}_s(z)=\sum_{k=1}^\infty {z^k \over k^s}.

</math>

Le paramètre Modèle:Mvar et l'argument Modèle:Mvar sont pris sur l'ensemble ℂ des nombres complexes. Les cas particuliers Modèle:Math et Modèle:Math sont appelés le polylogarithme d'ordre 2 ou dilogarithme et le polylogarithme d'ordre 3 ou trilogarithme respectivement. Le polylogarithme apparaît aussi dans la forme fermée de l'intégrale de la distribution de Fermi-Dirac et la distribution de Bose-Einstein et est quelquefois connue comme l'intégrale de Fermi-Dirac ou l'intégrale de Bose-Einstein.

Par prolongement analytique, on peut également donner un sens au polylogarithme pour Modèle:Math.

Différentes fonctions polylogarithmes dans le plan complexe :
Fichier:Complex polylogminus3.jpg
Fichier:Complex polylogminus2.jpg
Fichier:Complex polylogminus1.jpg
Fichier:Complex polylog0.jpg
Fichier:Complex polylog1.jpg
Fichier:Complex polylog2.jpg
Fichier:Complex polylog3.jpg
Modèle:Math Modèle:Math Modèle:Math Modèle:Math Modèle:Math Modèle:Math Modèle:Math

Propriétés

Dans le cas important où le paramètre Modèle:Mvar est un nombre entier, il sera représenté par Modèle:Mvar (ou Modèle:Mvar lorsqu'il est négatif). Il est souvent pratique de définir Modèle:Math où Modèle:Math est la branche principale du logarithme naturel, c’est-à-dire <math>- \pi < \Im(\mu) \le \pi</math>. Ainsi, toute l'exponentiation sera supposée être à valeur unique. (e.g. Modèle:Math).

Dépendant du paramètre Modèle:Mvar, le polylogarithme peut être à valeurs multiples. La branche principale du polylogarithme est celle pour laquelle Modèle:Math est réel pour Modèle:Mvar réel, Modèle:Math et est continu excepté sur l'axe des réels positifs, où une coupure est faite de Modèle:Math à l'infini telle que la coupure place l'axe réel sur le demi-plan le plus bas de Modèle:Mvar. En termes de Modèle:Math, ceci s'élève à Modèle:Math. Le fait que le polylogarithme puisse être discontinu en Modèle:Math peut causer une certaine confusion.

Pour Modèle:Mvar réel et supérieur ou égal à 1, la partie imaginaire du polylogarithme est Modèle:Harv :

<math>\Im(\operatorname{Li}_s(z)) = -{{\pi \mu^{s-1}}\over{\Gamma(s)}}.</math>

En traversant la coupure :

<math>\lim_{\delta\rightarrow 0^+}\Im(\operatorname{Li}_s(z+\mathrm{i}\delta)) = {{\pi \mu^{s-1}}\over{\Gamma(s)}}.</math>

Les dérivées du polylogarithme s'expriment également avec le polylogarithme :

<math>z{\partial \operatorname{Li}_s(z) \over \partial z} = \operatorname{Li}_{s-1}(z),\qquad{\partial \operatorname{Li}_s(\mathrm{e}^\mu) \over \partial \mu} = \operatorname{Li}_{s-1}(\mathrm{e}^\mu).</math>

Valeurs particulières

Fichier:Polylogarithm plot negative.svg

Voir aussi la section « Relation de parenté avec les autres fonctions » ci-dessous.

Pour les valeurs entières de Modèle:Mvar, on peut écrire les expressions explicites suivantes :

<math>\operatorname{Li}_{1}(z) = -\ln(1-z)</math>
<math>\operatorname{Li}_{0}(z) = {z \over 1-z}</math>
<math>\operatorname{Li}_{-1}(z) = {z \over (1-z)^2}</math>
<math>\operatorname{Li}_{-2}(z) = {z(1+z) \over (1-z)^3}</math>
<math>\operatorname{Li}_{-3}(z) = {z(1+4z+z^2) \over (1-z)^4}.</math>

Le polylogarithme, pour toutes les valeurs entières négatives de Modèle:Mvar, peut être exprimé comme une fraction rationnelle en Modèle:Mvar (voir les représentations en série ci-dessus). Certaines expressions particulières pour les demi valeurs entières de l'argument sont :

<math>\operatorname{Li}_{1}\left(\frac12 \right) = \ln(2)</math>
<math>\operatorname{Li}_{2}\left(\frac12 \right) = {\pi^2 \over 12}-{1\over2}\ln^2 2</math>
<math>\operatorname{Li}_{3}\left(\frac12 \right) = {1 \over 24}[4(\ln 2)^3-2\pi^2\ln 2+21\,\zeta(3)]</math>

où <math>\zeta</math> est la fonction zêta de Riemann. Aucune formule similaire de ce type n'est connue pour des ordres plus élevés Modèle:Harv ; par ailleurs, les seules valeurs connues de Modèle:Math exprimables à l'aide des fonctions élémentaires sont les huit valeurs suivantes<ref>Modèle:Harvsp Modèle:P.</ref> :

<math>\operatorname{Li}_{2}(0) = 0\ ; \ \operatorname{Li}_{2}(1) = \dfrac{\pi^2}6 \ ; \ \operatorname{Li}_{2}(-1) = \dfrac{-\pi^2}{12} \ ; \ \operatorname{Li}_{2}(1/2) = {\pi^2 \over 12}-{1\over2}\ln^2 2</math>

ainsi que

<math>\operatorname{Li}_{2}\left({3-\sqrt5\over2}\right) = \dfrac{\pi^2}{15}-\ln^2\left({1+\sqrt5\over2}\right) \ ; \ \operatorname{Li}_{2}\left({-1+\sqrt5\over2}\right) = \dfrac{\pi^2}{10}-\ln^2\left({1+\sqrt5\over2}\right)</math> ;
<math>\operatorname{Li}_{2}\left({1-\sqrt5\over2}\right) = -\dfrac{\pi^2}{15}+{1\over2}\ln^2\left({1+\sqrt5\over2}\right)\ ; \ \operatorname{Li}_{2}\left({-1-\sqrt5\over2}\right) = -\dfrac{\pi^2}{10}+{1\over2}\ln^2\left({1+\sqrt5\over2}\right)</math>.

Expressions alternatives

<math>\operatorname{Li}_{s+1}(z) \equiv {1 \over \Gamma(s+1)} \int_0^\infty {t^s \over \mathrm{e}^t/z-1}~\mathrm dt

</math>

Celle-ci converge pour <math>\Re(s) > 0</math> et tous les Modèle:Mvar excepté pour les Modèle:Mvar réels et supérieurs ou égaux à 1. Le polylogarithme dans ce contexte est quelquefois connu comme l'intégrale de Bose ou de Bose-Einstein.
<math>

-\operatorname{Li}_{s+1}(-z) \equiv {1 \over \Gamma(s+1)} \int_0^\infty {t^s \over \mathrm{e}^t/z+1}~\mathrm dt. </math>

Celle-ci converge pour <math>\Re(s) > 0</math> et tous les Modèle:Mvar excepté pour les Modèle:Mvar réels et strictement inférieurs à -1. Le polylogarithme dans ce contexte est quelquefois connu comme l'intégrale de Fermi ou l'intégrale de Fermi-Dirac. (GNU)
  • Le polylogarithme peut plutôt être généralement représenté par une intégrale sur un Modèle:Lien Modèle:Harv.
    • Tant que le pôle Modèle:Math de l'intégrande n'est pas relié à l'axe réel positif, et <math>s \ne 1,2,3\ldots</math>, on a :
      <math>

\operatorname{Li}_s(\mathrm{e}^\mu)={{-\Gamma(1-s)}\over{2\pi \mathrm{i}}}\oint_H {{(-t)^{s-1}}\over{\mathrm{e}^{t-\mu}-1}}dt </math>

    • où Modèle:Mvar représente le contour de Hankel. L'intégrande possède une coupure le long de l'axe réel de zéro à l'infini, l'axe réel étant sur la moitié inférieure de la feuille (<math>\Im(t) \le 0</math>).
    • Pour le cas où Modèle:Math est réel et positif, nous pouvons simplement ajouter la contribution limitante du pôle :
      <math>

\operatorname{Li}_s(\mathrm{e}^\mu)=-{{\Gamma(1-s)}\over{2\pi \mathrm{i}}}\oint_H {{(-t)^{s-1}}\over{\mathrm{e}^{t-\mu}}-1}dt + 2\pi \mathrm{i} R </math>

\operatorname{Li}_s(-z) + \operatorname{Li}_s(z) = 2^{1-s} ~ \operatorname{Li}_s(z^2) </math>

La fonction de Kummer obéit à une formule de duplication très similaire.

Relation de parenté avec les autres fonctions

<math>\operatorname{Li}_s(1) = \zeta(s)\quad (\textrm{Re}(s)>1) </math>
<math>\operatorname{Li}_s(-1) = -\eta(s)</math>
où Modèle:Math est la fonction êta de Dirichlet.
Pour des arguments imaginaires purs, nous avons :
<math>\operatorname{Li}_s(\pm \mathrm{i}) = 2^{-s}\eta(s)\pm \mathrm{i} \beta(s)</math>
où Modèle:Math est la fonction bêta de Dirichlet.
  • Le polylogarithme est équivalent à l'intégrale de Fermi-Dirac (GNU)
<math>

F_s(\mu)=-\operatorname{Li}_{s+1}(-\mathrm{e}^\mu)\, </math>

<math>\operatorname{Li}_s(z)=z~\Phi(z,s,1)</math>
<math>\operatorname{Li}_s(\mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i} x})+(-1)^s \operatorname{Li}_s(\mathrm{e}^{-2\pi \mathrm{i} x})={(2\pi \mathrm{i})^s \over \Gamma(s)}~\zeta\left(1-s,x\right)</math>
où Modèle:Math est la fonction Gamma d'Euler. Ceci est valable pour <math>\textrm{Re}(s)>1, \textrm{Im}(x)\ge 0, 0 \le \textrm{Re}(x) < 1</math>

et aussi pour <math>\textrm{Re}(s)>1, \textrm{Im}(x)\le 0, 0 < \textrm{Re}(x) \le 1.</math>

(l'équation équivalente d'Modèle:Harvsp, § 1.11-16 n'est pas correcte si on suppose que les branches principales du polylogarithme et le logarithme sont utilisés simultanément).
Cette équation fournit le prolongement analytique de la représentation en série du polylogarithme au-delà de son cercle de convergence Modèle:Math.
<math>\zeta(-n,x)=-{B_{n+1}(x) \over n+1}</math>
qui reste valable pour tous les Modèle:Mvar réels et Modèle:Mvar entier positif, il peut être remarqué que :
<math>\operatorname{Li}_{n}(\mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i} x})+ (-1)^n \operatorname{Li}_{n}(\mathrm{e}^{-2\pi \mathrm{i} x}) = -{(2 \pi \mathrm{i})^n\over n!} B_n(x)</math>
sous les mêmes contraintes sur Modèle:Mvar et Modèle:Mvar que ci-dessus. (L'équation correspondante d'Modèle:Harvsp, § 1.11-18 n'est pas correcte). Pour les valeurs entières négatives du paramètre, on a pour tous les Modèle:Mvar (Modèle:Harvsp, § 1.11-17) :
<math>\operatorname{Li}_{-n}(z)+ (-1)^n \operatorname{Li}_{-n}\left(\frac1z\right)=0,\ n=1,2,3\ldots</math>
<math>

\operatorname{Li}_s(\mathrm{e}^{\pm \mathrm{i} \theta}) = \operatorname{Ci}_s(\theta) \pm \mathrm{i} \operatorname{Si}_s(\theta) </math>

<math>

\operatorname{Li}_s(\pm iy)=2^{-s}\operatorname{Li}_s(-y^2)\pm \mathrm{i}\,\operatorname{Ti}_s(y) </math>

<math>

\chi_s(z)={1 \over 2}~[\operatorname{Li}_s(z)-\operatorname{Li}_s(-z)] </math>

<math>

\operatorname{Li}_{n}(\mathrm{e}^\mu)=\sum_{k=0}^{n-1}Z_{n-k}(-\mu){\mu^k \over k!}~~~~~~(n=1,2,3,\ldots) </math>

Une expression remarquablement similaire relie la fonction de Debye au polylogarithme :
<math>

Z_n(\mu)=\sum_{k=0}^{n-1}\operatorname{Li}_{n-k}(\mathrm{e}^{-\mu}){\mu^k \over k!}~~~~~~(n=1,2,3,\ldots) </math>

Représentations en séries

On peut représenter le polylogarithme comme une série de puissances pour Modèle:Math comme suit Modèle:Harv. Considérons la transformation de Mellin :

<math>

M_s(r) =\int_0^\infty \textrm{Li}_s(f\mathrm{e}^{-u})u^{r-1}~\mathrm du ={1 \over \Gamma(s)}\int_0^\infty\int_0^\infty {t^{s-1}u^{r-1} \over \mathrm{e}^{t+u}/f-1}~\mathrm dt~\mathrm du </math> Le changement de variables Modèle:Math permet à l'intégrale d'être séparée :

<math>

M_s(r)={1 \over \Gamma(s)}\int_0^1 b^{r-1}(1-b)^{s-1}~\mathrm db\int_0^\infty{a^{s+r-1} \over \mathrm{e}^a/f-1}~\mathrm da= \Gamma(r)\textrm{Li}_{s+r}(f) </math> pour Modèle:Math on a, à travers la transformation inverse de Mellin :

<math>\operatorname{Li}_{s}(\mathrm{e}^{-u})={1 \over 2\pi \mathrm{i}}\int_{c-\mathrm{i}\infty}^{c+\mathrm{i}\infty}\Gamma(r)\zeta(s+r)u^{-r}~\mathrm dr</math>

où Modèle:Mvar est une constante à droite des pôles de l'intégrande.

Le chemin d'intégration peut être converti en un contour fermé, et les pôles de l'intégrande sont ceux de Modèle:Math à Modèle:Math et de Modèle:Math à Modèle:Math. Sommer les résidus donne, pour <math>|\mu|<2\pi</math> et <math>s \ne 1,2,3,\ldots</math>

<math>\operatorname{Li}_s(\mathrm{e}^\mu) =\Gamma(1-s)(-\mu)^{s-1} + \sum_{k=0}^\infty {\zeta(s-k) \over k!}~\mu^k </math>

Si le paramètre Modèle:Mvar est un entier positif Modèle:Mvar, ainsi que le Modèle:Math terme, la fonction gamma devient infinie, bien que leur somme ne l'est pas. Pour un entier Modèle:Math, nous avons :

<math>\lim_{s\rightarrow k+1}\left[{\zeta(s-k)\mu^k \over k!}+\Gamma(1-s)(-\mu)^{s-1}\right]

= {\mu^k \over k!}\left(\sum_{m=1}^k{1 \over m}-\ln(-\mu)\right) </math> et pour Modèle:Math :

<math>

\lim_{s\rightarrow 1}\left[\zeta(s)+\Gamma(1-s)(-\mu)^{s-1}\right] = -\ln(-\mu) </math> Ainsi, pour Modèle:Mvar où Modèle:Mvar est un entier positif et <math>|\mu|<2\pi</math>, nous avons :

<math>\operatorname{Li}_{n}(\mathrm{e}^\mu) = {\mu^{n-1} \over (n-1)!}\left(H_{n-1}-\ln(-\mu)\right) +
\sum_{k=0,k\ne n-1}^\infty {\zeta(n-k) \over k!}~\mu^k, \ (n=2,3,4,\ldots)

</math>

<math>\operatorname{Li}_{1}(\mathrm{e}^\mu) =-\ln(-\mu)+\sum_{k=1}^\infty {\zeta(1-k) \over k!}~\mu^k

~~~~~~~~~~(n=1) </math> où Modèle:Math est un nombre harmonique :

<math>H_{n-1}=\sum_{k=1}^{n-1}{1\over k}</math>

Le problème des termes contient maintenant Modèle:Math qui, lorsqu'ils sont multipliés par Modèle:Math, tendront vers zéro quand Modèle:Math tend vers zéro, excepté pour Modèle:Math. Ceci reflète le fait qu'il existe une vraie singularité logarithmique en Modèle:Math en Modèle:Math et Modèle:Math, puisque :

<math>\lim_{\mu\rightarrow 0}\Gamma(1-s)(-\mu)^{s-1}=0~~~~~(\textrm{Re}(s)>1) </math>

En utilisant la parenté entre la fonction zêta de Riemann et les nombres de Bernoulli Modèle:Mvar

<math>\zeta(-n)=(-1)^n{B_{n+1} \over n+1}~~~~~~~~~~~(n=0,1,2,3,\ldots)</math>

on obtient pour les valeurs entières négatives de Modèle:Mvar et <math>|\mu|<2\pi</math> :

<math>\operatorname{Li}_{-n}(z) = {n! \over (-\mu)^{n+1}}-

\sum_{k=0}^{\infty} { B_{k+n+1}\over k!~(k+n+1)}~\mu^k,\ (n=1,2,3,\ldots) </math> puisque, excepté pour Modèle:Math, tous les nombres de Bernoulli impairs sont égaux à zéro. Nous obtenons le terme Modèle:Math en utilisant <math>\zeta(0)=B_1=-\frac12</math>. Encore, l'équation équivalent d'Modèle:Harvsp, § 1.11-15 n'est pas correcte si nous supposons que les branches principales du polylogarithme et le logarithme sont utilisées simultanément, puisque <math>\ln\left(\frac1z \right)</math> n'est pas uniformément égal à Modèle:Math.

L'équation définie peut être étendue aux valeurs négatives du paramètre Modèle:Mvar en utilisant une intégrale sur un Modèle:Lien (Modèle:Harvsp et Modèle:Harvsp) :

<math>\operatorname{Li}_s(\mathrm{e}^\mu)=-{\Gamma(1-p) \over 2\pi \mathrm{i}}\oint_H{(-t)^{s-1} \over \mathrm{e}^{t-\mu}-1}dt</math>

où Modèle:Mvar est le contour de Hankel qui peut être modifié pour qu'il entoure les pôles de l'intégrande, à Modèle:Math, l'intégrale peut être évaluée comme la somme des résidus :

<math>\operatorname{Li}_s(\mathrm{e}^\mu)=\Gamma(1-s)\sum_{k=-\infty}^\infty (2k\pi \mathrm{i}-\mu)^{s-1}

</math> Ceci restera valable pour <math>\textrm{Re}(s)<0</math> et tous les Modèle:Mvar excepté pour Modèle:Math.

Pour les entiers négatifs Modèle:Mvar, le polylogarithme peut être exprimé comme une série impliquent les nombres eulériens

<math>\operatorname{Li}_{-n}(z) = {1 \over (1-z)^{n+1}} \sum_{i=0}^{n-1}\left\langle{n\atop i}\right\rangle z^{n-i},\ (n=1,2,3,\ldots)

</math> où <math>\left\langle{n\atop i}\right\rangle</math> sont les nombres eulériens.

Une autre formule explicite pour les entiers négatifs Modèle:Mvar est Modèle:Harv :

<math>\operatorname{Li}_{-n}(z) = \sum_{k=1}^{n+1}{(-1)^{n+k+1}(k-1)!S(n+1,k) \over (1-z)^k},\ (n=1,2,3,\ldots)

</math> où Modèle:Math sont les nombres de Stirling de deuxième espèce.

Comportement aux limites

Les limites suivantes restent valables pour le polylogarithme Modèle:Harv :

<math>

\lim_{|z|\rightarrow 0} \operatorname{Li}_s(z) = \lim_{s \rightarrow \infty} \operatorname{Li}_s(z) = z </math>

<math>

\lim_{\mathrm{Re}(\mu) \rightarrow \infty} \operatorname{Li}_s(\mathrm{e}^\mu) = -{\mu^s \over \Gamma(s+1)}, \ (s\ne -1, -2,-3,\ldots) </math>

<math>\lim_{\mathrm{Re}(\mu) \rightarrow \infty} \operatorname{Li}_{-n}(\mathrm{e}^\mu) = -(-1)^n\mathrm{e}^{-\mu},\ (n=1,2,3,\ldots)

</math>

<math>\lim_{|\mu|\rightarrow 0} \operatorname{Li}_s(\mathrm{e}^\mu) = \Gamma(1-s)(-\mu)^s,\ (s<1)

</math>

Échelles de polylogarithmes

Leonard Lewin a découvert une remarquable généralisation d'un grand nombre de relations classiques sur les polylogarithmes pour des valeurs particulières. Celles-ci sont maintenant appelées les échelles de polylogarithmes. Définissons <math>\rho=\frac{(\sqrt5-1)}2</math> comme l'inverse du nombre d'or. Alors, deux exemples simples des résultats issus des échelles incluent

<math>\operatorname{Li}_2(\rho^6)=4\operatorname{Li}_2(\rho^3)+3\operatorname{Li}_2(\rho^2)-6\operatorname{Li}_2(\rho)+\frac{7\pi^2}{30}</math>

donné par Coxeter en 1935, et<ref>G.Huvent, Autour de la primitive de <math>t^p\coth(\alpha t/2)</math>, 2002</ref>

<math>\operatorname{Li}_2(\rho)=\frac{\pi^2}{10} - \log^2\rho</math>

donné par Landen. Les échelles de polylogarithmes apparaissent naturellement et profondément en K-théorie.

Notes et références

Modèle:Références

Modèle:Traduction/Référence

Bibliographie

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