Fonction zêta de Dedekind
En mathématiques, la fonction zêta de Dedekind est une série de Dirichlet définie pour tout corps de nombres Modèle:Math. C'est la fonction de la variable complexe Modèle:Math définie par la somme infinie :
prise sur tous les idéaux Modèle:Math non nuls de l'anneau Modèle:Math des entiers de Modèle:Math, où Modèle:Math désigne la norme de Modèle:Math (relative au corps ℚ des rationnels). Cette norme est égale au cardinal de l'anneau quotient Modèle:Math. En particulier, Modèle:Math est la fonction zêta de Riemann. Les propriétés de la fonction méromorphe Modèle:Math ont une signification considérable en théorie algébrique des nombres.
Propriétés
Cette fonction possède un développement en produit eulérien avec comme facteur associé à chaque nombre premier Modèle:Math : le produit, pris sur tous les idéaux premiers Modèle:Math de Modèle:Math divisant Modèle:Math, des
Ceci est l'expression en termes analytiques de l'unicité de la factorisation en nombres premiers des idéaux I.
Il est connu (démontré en général en premier par Erich Hecke) que Modèle:Math a un prolongement analytique dans le plan complexe entier en fonction méromorphe, ayant un pôle simple seulement à Modèle:Math = 1. Le résidu à ce pôle est une quantité importante, impliquant les invariants du groupe des unités et du groupe des classes de Modèle:Math. Il existe une équation fonctionnelle pour la fonction zêta de Dedekind, en reliant ses valeurs à Modèle:Math et Modèle:Math.
Pour le cas dans lequel Modèle:Math est une extension abélienne de ℚ, sa fonction zêta de Dedekind peut être écrite comme un produit de fonctions L de Dirichlet. Par exemple, quand Modèle:Math est un corps quadratique ceci montre que le rapport
- <math>\frac{\zeta_K(s)}{\zeta_Q(s)}\,</math>
est une fonction L
- <math>L(s,\chi)\,</math>
où <math>\chi\,</math> est un symbole de Jacobi comme caractère de Dirichlet. Ceci est une formulation de la loi de réciprocité quadratique.
En général si Modèle:Math est une extension galoisienne de ℚ avec un groupe de Galois Modèle:Math, sa fonction zêta de Dedekind possède une factorisation comparable en termes de fonctions L d'Artin. Celles-ci sont attachées aux représentations linéaires de Modèle:Math.
