Horizon optique
L'horizon optique est la ligne circulaire où la terre et le ciel semblent se rejoindre et qui limite le champ visuel d'une personne en un lieu ne présentant pas d'obstacle à la vue<ref name=":2">Modèle:Lien web.</ref>. C'est aussi la limite divisant la sphère terrestre en deux parties, l'une visible de l'observateur, l'autre invisible<ref name=":2" />. La Terre étant presque sphérique, elle a une courbure Modèle:Incise qui provoque un phénomène observable à l'horizon optique : au delà de cette limite, la partie haute de certains objets peut encore être visible, alors que leur partie basse est cachée à l'observateur.
La courbure terrestre limite la possibilité d'observer des objets à une distance lointaine.
Il existe plusieurs méthodes permettant de calculer la distance de l'horizon optique en fonction de l'altitude du point d'observation, ainsi que la hauteur minimale des points partiellement visibles situés au-delà de cette distance<ref>Ces différentes méthodes s'appliquent à toutes les ondes électromagnétiques, qu'elles appartiennent au domaine de l'optique, ou soient à d'autres longueurs d'onde comme celles utilisées pour la télévision, la radio ou les communications mobiles. Dans ces derniers cas, le « point d'observation » est un émetteur ou un récepteur de ces ondes.</ref>.
Première approche : distance de l'horizon en ligne droite
La notion de puissance d'un point par rapport à un cercle, décrite par Euclide dans le livre III des Eléments, proposition 36<ref>Modèle:Ouvrage.</ref>, permet de démontrer que, quel que soit le segment sécant mené d'un point P extérieur à un cercle de centre O, de rayon Modèle:Mvar et le coupant en des points A et B, on a<ref>Pour la démonstration, voir l'article Puissance d'un point par rapport à un cercle.</ref> :
- <math>PA \times PB= constante =PO^2 - R^2</math>.
Le point limite de vision d'un observateur situé en P est le point T situé sur la droite qui passe par le point P et qui est tangente en T à la Terre<ref>C'est le cas particulier de la puissance d'un point par rapport à un cercle lorsque les points A et B sont confondus.</ref>, Modèle:Mvar étant la distance entre le point d'observation P et l'horizon visuel en T, et Modèle:Mvar étant l'altitude du point d'observation, on a :
- <math>d^2=PO^2 - R^2=(h+R)^2-R^2</math>.
Donc :
- <math>d = \sqrt{h \times (2\times R+h)}</math>.
En considérant que la Terre est quasiment sphérique<ref>Voir l'article Figure de la Terre.</ref> et que le rayon de la Terre est de Modèle:Unité<ref>La Terre n'étant pas absolument sphérique, son rayon peut être estimé en plusieurs points du globe d'altitude nulle comme compris entre Modèle:Nb.</ref>, cette formule devient, avec Modèle:Mvar et Modèle:Mvar mesurés en km<ref name=":1">En pratique, l'altitude du point d'observation Modèle:Mvar est le plus souvent très petite par rapport au rayon de la Terre. On peut donc estimer la distance Modèle:Mvar comme (Modèle:Mvar et Modèle:Mvar mesurés en km) :
- <math>d\simeq\sqrt{(12\,756\times\ h)}\simeq\ 113\times\sqrt{h}</math>.
Si on mesure Modèle:Mvar en kilomètres et Modèle:Mvar en mètres, cette formule devient : <math>d\simeq\ 3,6\times\sqrt{h}</math>.</ref> :
- <math>d = \sqrt{h \times (12\,756+h)}</math>.
Le tableau ci-dessous indique plusieurs exemples de distance de l'horizon optique Modèle:Mvar, en fonction de l'altitude Modèle:Mvar du point d'observation.
| Modèle:Mvar (m) | Modèle:Mvar (km) |
|---|---|
| 1,7 | 4,7 |
| 3,0 | 6,2 |
| 10 | 11,3 |
| 30 | 19,6 |
| 50 | 25,3 |
| 100 | 35,7 |
| 500 | 79,9 |
| 1 000 | 112,9 |
| 2 000 | 159,7 |
| 4 000 | 225,9 |
| 8 000 | 319,5 |
Ainsi, depuis le sommet du mont Blanc (Modèle:Mvar = Modèle:Nb), la distance de l'horizon optique approche les Modèle:Nb, alors que, depuis le sommet de la tour Eiffel (Modèle:Mvar = Modèle:Nb environ), cette distance est proche de Modèle:Nb. Quant à la distance de l'horizon depuis l'Everest, plus haute montagne sur Terre culminant à Modèle:Nb, elle dépasse les Modèle:Nb.
Deuxième approche : distance de l'horizon mesurée à la surface de la Terre
Cette technique est proche de celle utilisée par Ératosthène pour déterminer le rayon de la Terre<ref>Modèle:Ouvrage.</ref>,<ref>Modèle:Ouvrage.</ref>.
En considérant que la Terre est une sphère de rayon Modèle:Mvar, on peut calculer comment varie la courbure au fur et à mesure que l'on s'éloigne d'un point A, c'est-à-dire à quelle hauteur Modèle:Mvar se trouverait un rayon de lumière lancé à l'horizontale de A, vu depuis un point B distant sur Terre de Modèle:Mvar = AB (Modèle:Mvar = distance courbe sur la sphère).
Modèle:Mvar est la longueur d'un arc de cercle, correspondant à un angle au centre qui, exprimé en radians (Modèle:Nb), vaut : Modèle:Mvar = Modèle:Mvar/Modèle:Mvar.
Dans ce cas, on calcule :
- <math>d = R\times\arccos \left(\frac{R}{R+h}\right)</math>.
Cette distance Modèle:Mvar est la distance mesurée à la surface de la Terre entre le « pied » du point d'observation (B) et l'horizon (A)<ref>Pour tout point d'observation situé sur Terre, la différence entre la distance courbe ainsi calculée et celle calculée en ligne droite est très faible (inférieure à 0,1 %). Ceci est dû au fait que la hauteur du point d'observation (moins de Modèle:Nb) est très faible comparée au rayon de la Terre (plus de Modèle:Nb).</ref>.
On a également :
- <math>h = \frac{R}{\cos\alpha} - R = R\times\left(\frac{1}{\cos\alpha}-1\right) = R\times\left(\frac{1}{\cos\left(\frac{d}{R}\right)}-1\right)</math>.
Cette hauteur Modèle:Mvar est la hauteur maximale en B d'un objet qui sera invisible depuis A, et c'est aussi la hauteur minimale en B d'un objet dont la partie haute est visible de A.
Le graphique ci-dessous donne les valeurs de Modèle:Mvar en fonction de Modèle:Mvar pour un rayon terrestre de Modèle:Nb.
Calcul de la hauteur Modèle:Mvar d'une ligne horizontale tracée de A, depuis B sur la Terre.
Une variante de cette deuxième approche, utilisant le même cercle ci-dessus, consiste à appliquer le théorème de Pythagore.
On a alors (R+h)² = R² + d²
Puis d² = (R+h)² - R²
Et enfin <math>d = \sqrt{(R+h)^2 - R ^2}</math>
Troisième approche : points mutuellement visibles
On calcule ici quelle sera la hauteur Modèle:Mvar2 cachée en B à un observateur placé en A à l'altitude Modèle:Mvar1 à une distance (sur la sphère) de Modèle:Mvar = AB sur la sphère de rayon Modèle:Mvar.
On calcule la distance :
- <math>\overset{\frown}{BC} = d - \overset{\frown}{CA} = d - R\times\arccos \left(\frac{R}{R+h_1}\right)</math>
et on obtient :
- <math>
h_2=R\times\left ( \frac{1}{\cos( \frac{\overset{\frown}{BC}}{R} )} -1\right ) =R\times\left ( \frac{1}{\cos( \frac{d}{R}- \arccos( \frac{R}{R+h_1} ))}-1 \right ) </math>
Modèle:Mvar2 est la hauteur maximale en B d'un objet qui sera invisible à un observateur situé en A à l'altitude Modèle:Mvar1, et c'est aussi la hauteur minimale en B d'un objet dont la partie haute est visible de cet observateur.
Avec Modèle:Mvar = Modèle:Nb et Modèle:Mvar = Modèle:Nb entre les deux points d'observation, le graphique ci-dessous illustre comment la hauteur cachée Modèle:Mvar2 décroît à mesure que Modèle:Mvar1 augmente :
Conséquences et applications pratiques
Altitude du point d'observation
Plus l'altitude du point d'observation -ou plus généralement d'émission/réception dans le cas de toutes les ondes électromagnétiques - est élevée, plus l'horizon optique est lointain. Ainsi, chaque fois qu'on quadruple la hauteur d'un point d'observation, on double la distance de vision<ref name=":1" />.
C'est pour cette raison que les systèmes conçus pour observer ou être visibles à grande distance sont placés en hauteur :
- les feux des phares sont placés dans des positions aussi élevées que possible malgré l'augmentation de coût que cela implique dans leur construction ;
- les hunes d'observation des navires sont placées en hauteur dans la mâture ;
- les emplacements équipés du télégraphe de Chappe (Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle) sont sur des points hauts ;
- les miradors et tours d'observation sont placés et construits de façon à dominer leur environnement immédiat ;
- les émetteurs d'ondes servant à la télévision analogique ou numérique, à la radio ou aux communications mobiles sont placés sur des points hauts pour augmenter leur zone de couverture.
-
Phare du Portzic, Bretagne, France.
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Frégate Hermione à Rochefort. La hune est la plate-forme visible au deux tiers du grand mât.
-
Tour Chappe à Marly-le-Roi. Elle faisait partie de la liaison télégraphique Paris-Brest.
-
Tour du Guet, Calais, France.
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Tour hertzienne à Lisses, Essonne, France.
Distance de vision inférieure à la distance théorique
Les valeurs réelles de distance de vision peuvent être sensiblement inférieures à celles indiquées par la théorie. Plusieurs facteurs peuvent en effet diminuer cette distance, notamment :
- obstacle : un obstacle situé entre le point d'observation et l'horizon théorique (par exemple : arbre, immeuble, montagne) empêche de voir certains objets, pourtant théoriquement visibles, situés au delà de cet obstacle ;
- brouillard, faible luminosité : si l'atmosphère est obscurcie par du brouillard, ou si la luminosité est très faible (exemple : nuit sans Lune), la distance de vision optique d'un observateur humain sera fortement diminuée ;
- atténuation par l'atmosphère : la traversée de l'atmosphère affaiblit la puissance des ondes électromagnétiques. Cet affaiblissement dépend de paramètres caractérisant l'atmosphère, de la distance parcourue par ces ondes, ainsi que de leur fréquence. Il peut diminuer fortement la zone de couverture théorique d'un émetteur radioélectrique.
Limites liées à l'acuité de la vision humaine
L'œil humain a un pouvoir de résolution limité : pour pouvoir distinguer deux points, l'œil doit les voir sous un angle apparent de plus d'une minute d'arc. Ceci implique qu'un observateur humain ne verra un objet lointain, même situé avant l'horizon optique, que s'il a une taille suffisante. Cette taille vaut, avec Modèle:Mvar et Modèle:Mvar en mètres, et Modèle:Mvar en radians :
- <math>h=2\times (d\times\sin(\alpha/2))</math>.
Pour des angles apparents faibles, on a, avec <math>\alpha</math> en radians :
- <math>h\simeq d\times \alpha</math>.
Et pour <math>\alpha</math> = 1' d'arc, cette formule devient :
- <math>h\simeq d\times(2\times\Pi)/(60*360)</math>.
Avec Modèle:Mvar en m et Modèle:Mvar en km, cette formule devient :
- <math>h\simeq 0,29\times d</math>.
Ainsi un observateur situé à Modèle:Nb d'altitude ne verra à l'horizon (distant de Modèle:Nb) que les objets ayant une taille d'au moins Modèle:Nb. Ce même observateur d'une altitude de Modèle:Nb aura un horizon à environ Modèle:Nb, et ne verra d'objets à cette distance que s'ils ont un taille d'au moins Modèle:Nb.
L'utilisation de dispositifs optiques tels que jumelles, lunette d'observation ou longue-vue ne permet pas à cet observateur de voir plus loin : sa ligne d'horizon optique dépend en effet uniquement de son altitude. En revanche, grâce au pouvoir grossissant de ces équipements, il pourra voir des objets bien plus petits que ceux visibles à l'œil nu. Ainsi, avec un facteur de grossissement de 10, l'observateur situé à une altitude de Modèle:Nb verra à l'horizon des objets de Modèle:Nb, et celui situé à Modèle:Nb d'altitude des objets de Modèle:Nb.
-
L'œil ne distingue deux points distincts que s'il les voit avec un angle d'au moins 1' d'arc.
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Jumelles de grossissement 8.
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Longue-vue télescopique de marine.
-
Lunette fixe d'observation sur l'Arc de Triomphe à Paris.
Réfraction atmosphérique et augmentation de la distance de vision
Les calculs théoriques de distance de l'horizon optique prennent pour hypothèse que les ondes se propagent en ligne droite. En réalité, les ondes électromagnétiques traversant de façon oblique l'atmosphère terrestre sont déviées durant cette traversée. Ce phénomène est dû à la réfraction atmosphérique. L'importance de cette déviation dépend notamment de l'angle de cette traversée par rapport à la verticale, des caractéristiques de l'atmosphère (composition gazeuse, pollution, gradients de température, pression ou encore taux d'humidité) et de la fréquence de ces ondes. Lorsqu'elles sont l'objet de ce phénomène, les ondes, au lieu de se propager en ligne droite, le font en selon des trajectoires courbes. En conséquence, la réfraction, lorsqu'elle se produit, permet, d'un point d'observation donné, de voir plus loin que ne le prédit le calcul théorique, ainsi que l'illustrent les exemples suivants :
- de Marseille on ne peut normalement pas voir le sommet du Canigou distant de Modèle:Nb : pour le voir, il faudrait être à une altitude d'environ Modèle:Nb, alors que le point le plus élevé de Marseille n'est qu'à Modèle:Nb. Cependant, grâce à la réfraction, les Marseillais peuvent parfois voir cette montagne des Pyrénées en ombre chinoise sur un soleil couchant au-dessus de la Méditerranée<ref>Modèle:Lien web.</ref> ;
- les habitants de la Côte d'Azur et les Monégasques peuvent certains jours, même depuis le niveau de la mer, apercevoir la côte montagneuse nord de la Corse pourtant distante de Modèle:Nb<ref>Modèle:Lien web.</ref>.
La réfraction atmosphérique est également très importante en astronomie : ainsi, le soir, alors que le calcul théorique indique que le Soleil ne devrait plus être visible, on peut encore le voir. En effet la réfraction relève la trajectoire des rayons lumineux provenant du Soleil de 36 minutes d'arc ce qui rend le Soleil visible encore plusieurs minutes<ref>Modèle:Ouvrage.</ref>.
Réfutation du mythe de la Terre plate
La théorie de la Terre plate affirme que la Terre n'est pas ronde, mais plate. Il y a de nombreuses preuves scientifiques démontrant que cette théorie est un mythe, et que la Terre est bien ronde.
L'une de ces preuves est fournie par la vision qu'un observateur a des objets qui s'éloignent vers l'horizon. Ainsi une personne postée au bord de la mer qui observe un bateau à voile s'éloignant vers l'horizon le voit progressivement disparaitre : la coque passe la première sous l'horizon, puis le bas des mâts et des voiles, et enfin la totalité du navire disparait. C'est une conséquence de la courbure terrestre, bien connue des marins et très facile à observer<ref>Modèle:Ouvrage.</ref>.
Au contraire, si la Terre était plate, le navire se réduirait en taille apparente en s'éloignant, mais, à tout moment, l'observateur verrait la totalité du navire, de la coque au sommet des mâts.
Courbure et distance de l'horizon sur d'autres objets célestes
Tous les objets célestes qui ont une forme sphérique, ou sphéroïde, ont une courbure. C'est le cas de la Terre mais aussi, par exemple, de la Lune et du Soleil. On peut donc calculer avec les mêmes méthodes la distance de l'horizon optique sur de tels astres.
Ainsi, pour un observateur de Modèle:Nb, l'horizon est à Modèle:Nb sur Terre, mais seulement à Modèle:Nb sur la Lune, qui a un rayon quatre fois plus petit que celui de la Terre. Sur le Soleil, ce même observateur verrait l'horizon à près de Modèle:Nb, car le Soleil a un rayon de l'ordre de Modèle:Nb.
Voir aussi
- Horizon (physique)
- Zone de couverture des ondes radio
- Figure de la Terre
- Géodésie
