Matrice jacobienne

Modèle:Confusion En analyse vectorielle, la matrice jacobienne est la matrice des dérivées partielles du premier ordre d'une fonction vectorielle en un point donné. Son nom vient du mathématicien Charles Jacobi. Le déterminant de cette matrice, appelé jacobien, joue un rôle important pour l'intégration par changement de variable et dans la résolution de problèmes non linéaires.

Définition

Soit Modèle:Mvar une fonction d'un ouvert de Modèle:Math à valeurs dans Modèle:Math. Une telle fonction est définie par ses Modèle:Mvar fonctions composantes à valeurs réelles :

<math>F : \begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix} \longmapsto \begin{pmatrix}

f_1(x_1,\dots,x_n)\\ \vdots\\

f_m(x_1,\dots,x_n)\end{pmatrix}</math>.

Les dérivées partielles de ces fonctions en un point Modèle:Mvar, si elles existent, peuvent être rangées dans une matrice à Modèle:Mvar lignes et Modèle:Mvar colonnes, appelée matrice jacobienne de Modèle:Mvar :

<math>J_F\left(M\right)=

\begin{pmatrix} \dfrac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{\partial f_m}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{pmatrix}.

</math>

La case sur la ligne Modèle:Mvar et la colonne Modèle:Mvar contient <math>\frac {\partial f_i}{\partial x_j}</math> qui est la dérivée partielle de la i-ème fonction composante Modèle:Mvar selon la variable Modèle:Mvar. Cette matrice est notée :

<math>J_F\left(M\right),\qquad \frac{\partial\left(f_1,\ldots,f_m\right)}{\partial\left(x_1,\ldots,x_n\right)}\qquad \text{ou}\qquad\frac{\mathrm D\left(f_1,\ldots,f_m\right)}{\mathrm D\left(x_1,\ldots,x_n\right)}</math>.

Pour Modèle:Math, la Modèle:Mvar-ème ligne de cette matrice est la transposée du vecteur gradient au point Modèle:Mvar de la fonction Modèle:Mvar, lorsque celui-ci existe. La matrice jacobienne est également la matrice de la différentielle de la fonction, lorsque celle-ci existe. On démontre que la fonction Modèle:Mvar est de [[classe de régularité|classe Modèle:Math]] si et seulement si ses dérivées partielles existent et sont continues<ref>Voir par exemple Modèle:Ouvrage, Exemple 1 et Modèle:P., Proposition II.1.9 (et, pour une généralisation aux fonctions de classe Modèle:Math, Modèle:P.), ou encore Modèle:Note autre projet</ref>.

Propriétés

La [[Théorème de dérivation des fonctions composées#Cas général|composée Modèle:Math de fonctions différentiables]] est différentiable, et sa matrice jacobienne s'obtient par la formule :

<math> J_{F \circ G}= \bigl( J_F \circ G \bigr) \cdot J_G</math>,

dont un cas particulier est la formule de dérivation de la composée de deux fonctions réelles d'une variable réelle, Modèle:Mvar et Modèle:Mvar :

<math>(f\circ g)'(x)=(f'\circ g)(x)\times g'(x)</math>.

Déterminant jacobien

Si Modèle:Math, alors la matrice jacobienne de Modèle:Mvar est une matrice carrée. Son déterminant Modèle:Math est appelé le déterminant jacobien, ou jacobien. Dire que le jacobien est non nul revient donc à dire que la matrice jacobienne est inversible.

Une fonction Modèle:Mvar de classe Modèle:Math est inversible au voisinage de Modèle:Mvar avec une réciproque Modèle:Math de classe Modèle:Math si et seulement si son jacobien en Modèle:Mvar est non nul (théorème d'inversion locale). La matrice jacobienne de Modèle:Math se déduit alors de celle de Modèle:Mvar, par la formule

<math>J_{F^{-1}} = \bigl( J_F \circ F^{-1} \bigr)^{-1}</math>.

Le théorème de changement de variables dans les intégrales multiples fait intervenir la valeur absolue du jacobien.

Il n'est pas nécessaire de supposer que Modèle:Mvar soit ouvert, ni que Modèle:Mvar soit un homéomorphisme de Modèle:Mvar sur Modèle:Mvar : cela résulte des hypothèses, d'après le théorème de l'invariance du domaine.

On démontre d'abord ce théorème si Modèle:Mvar est un difféomorphisme<ref>Modèle:Harvsp.</ref> (ce qui, d'après le théorème d'inversion locale, revient simplement à rajouter l'hypothèse que le jacobien de Modèle:Mvar ne s'annule en aucun point de Modèle:Mvar), puis on s'affranchit de cette hypothèse<ref>Modèle:Harvsp.</ref> grâce au théorème de Sard.

Exemple

Le passage aux coordonnées polaires en coordonnées cartésiennes est un changement de variables Modèle:Math défini par l'application suivante :

<math> \begin{array}{rcl}

F : \R_+ \times [0,2\pi] & \longrightarrow & \R^2\\ \left(r,\theta\right) & \longmapsto & \left(r\cos\theta,r\sin\theta\right).

\end{array}</math>

La matrice jacobienne au point Modèle:Math est :

<math>J_F\left(r,\theta\right) =

\begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \\ \end{pmatrix}

</math>.

Le jacobien du passage en coordonnées polaires est donc :

<math>r \cos^2\theta+r \sin^2\theta=r</math>.

Si Modèle:Mvar est une fonction intégrable sur un ouvert Modèle:Mvar de Modèle:Math, en posant

<math>U =F^{-1}(V)=\left\{(r,\theta)\in\R_+\times[0,2\pi]\mid\left(r\cos\theta,r\sin\theta\right)\in V\right\}</math>

et en appliquant le théorème ci-dessus non pas directement à Modèle:Mvar et Modèle:Mvar (Modèle:Mvar n'est pas injective et Modèle:Mvar n'est pas ouvert dans Modèle:Math) mais aux ouverts intermédiaires

<math>V'=V\setminus(\R^+\times\{0\})\quad\text{et}\quad U'=F^{-1}(V')=U\cap(\R_+^*\times]0,2\pi[)</math>,

on obtient (puisque [[Différence ensembliste|Modèle:Math et Modèle:Math]] sont négligeables) :

<math>\iint_V g\left(x,y\right)\,\mathrm dx\mathrm dy=\iint_U g\left(r\cos\theta,r\sin\theta\right)r\,\mathrm dr\mathrm d\theta</math>.

Interprétation

Matrice jacobienne

La matrice jacobienne intervient dans le développement limité des fonctions à plusieurs variables : au voisinage du point Modèle:Mvar, l'approximation linéaire de la fonction Modèle:Mvar est donnée par :

<math>F\left(X\right) \approx F\left(M\right) + J_F\left(M\right) \overrightarrow{MX}</math>.

Jacobien

Si le jacobien est positif au point Modèle:Mvar, l'orientation de l'espace est conservée au voisinage de ce point. À l'inverse, l'orientation est inversée si le jacobien est négatif.

Si l'on considère un « petit » domaine, le volume de l'image de ce domaine par la fonction Modèle:Mvar sera celui du domaine de départ multiplié par la valeur absolue du jacobien.

Application

En mécanique des milieux continus, le tenseur des déformations pour les petites déformations (ou tenseur de Green) est la partie symétrique de la matrice jacobienne du vecteur-déplacement de chaque point du solide. En mécanique analytique, on sait qu'une transformation est canonique si et seulement si sa jacobienne appartient au groupe symplectique.

L'inversion du produit de matrices jacobiennes successives est aussi utile pour déterminer la propagation des incertitudes dans une expérience. Par exemple dans un cas de trois capteurs fournissant respectivement trois observations qui sont chacun sensibles à trois mesurandes, l'inversion de la matrice jacobienne de la relation mesurandes vers observations permet de déterminer l'incertitude sur chacun des mesurandes connaissant expérimentalement l'incertitude sur chacune des observations (bruit de fond expérimental). Lorsque les trois capteurs sont complètement découplés, le cas idéal, les matrices jacobiennes sont diagonales et il n'y a pas de propagation dramatique de l'incertitude.

Voir aussi

Modèle:Autres projets Matrice hessienne