Méthodes de quadrature de Gauss
Dans le domaine mathématique de l'analyse numérique, les méthodes de quadrature sont des approximations de la valeur numérique d'une intégrale. En général, on remplace le calcul de l'intégrale par une somme pondérée prise en un certain nombre de points du domaine d'intégration (voir calcul numérique d'une intégrale pour plus d'informations). La méthode de quadrature de Gauss, du nom de Carl Friedrich Gauss<ref>Gauss a publié les principes de cette méthode dans Modèle:Ouvrage.</ref>, est une méthode de quadrature exacte pour un polynôme de degré 2n – 1 avec n points pris sur le domaine d'intégration.
Les formules de Gauss jouent un rôle fondamental dans la méthode des éléments finis.
Principe général
On souhaite évaluer numériquement l'intégrale
- <math>I = \int_a^b f(x) \varpi(x) \,\mathrm{d}x.</math>
Le domaine d'intégration Modèle:Math couvre plusieurs cas :
- intervalles bornés : comme Modèle:Math, Modèle:Math, etc.
- demi-droite réelle : Modèle:Math, Modèle:Math,
- la droite réelle tout entière : ℝ.
Les méthodes sont de la forme
- <math>I = \int_a^b f(x) \varpi(x) \,\mathrm dx \approx \sum_{i=1}^n \omega_i f(x_i)</math>
où <math>\varpi : (a, b) \to\mathbb{R}_+</math> est une fonction de pondération continue strictement positive, qui peut assurer l'intégrabilité de f. Les <math>\omega_i</math> sont appelés les coefficients de quadrature (ou poids). Les points Modèle:Mvar sont appelés les nœuds de la quadrature.
Théorème fondamental
Pour Modèle:Mvar donné :
- Les Modèle:Mvar nœuds Modèle:Mvar sont réels, distincts, uniques et sont les racines du polynôme unitaire de degré Modèle:Mvar, orthogonal au sous-espace des polynômes de degré Modèle:Mvar-1 pour le produit scalaire <math> \left\langle h,g \right\rangle = \int_a^b h(x)g(x) \varpi(x) \,\mathrm{d}x </math><ref>Modèle:Ouvrage</ref>.
- Pour tout Modèle:Mvar, <math>\omega_i</math> est égal à <math>\int_a^b l_i(x) \varpi(x) \,\mathrm dx</math>, où Modèle:Mvar est le polynôme interpolateur de Lagrange de degré Modèle:Math, prenant la valeur 1 en Modèle:Mvar, et 0 en les Modèle:Mvar pour Modèle:Mvar différent de Modèle:Mvar.
- Pour les polynômes de degré inférieur ou égal à Modèle:Math, il y a égalité entre <math>\int_a^b f(x) \varpi(x) \,\mathrm dx</math> et <math>\sum_{i=1}^n \omega_i f(x_i)</math>.
Le domaine d'intégration et la fonction de pondération déterminent le type de la quadrature de Gauss. Le tableau suivant résume les situations les plus communes.
| Domaine d'intégration Modèle:Math | Fonction de pondération <math>\varpi(x)</math> | Famille de polynômes orthogonaux |
|---|---|---|
| Modèle:Math | Modèle:Math | Legendre |
| Modèle:Math | <math>(1-x)^\alpha (1+x)^\beta \ , \ \alpha, \beta > -1</math> | Jacobi |
| Modèle:Math | <math>\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math> | Tchebychev (premier type) |
| Modèle:Math | <math>\sqrt{1-x^2}</math> | Tchebychev (second type) |
| ℝ+ | <math>\mathrm{e}^{-x}</math> | Laguerre |
| ℝ | <math>\mathrm{e}^{-x^2}</math> | Hermite |
Une fois le type de quadrature choisi, la formule à n points s'écrit :
- <math> I(f) = \sum_{i=1}^n \omega_i f(x_i).</math>
On définit l'erreur comme <math>E(f) = |I - I(f)|</math>. Le degré d'exactitude d'une formule de quadrature est le degré le plus élevé de la famille des polynômes annulant E(f). On a le résultat suivant : une formule à n points admet un degré d'exactitude de Modèle:Math.
Cas particulier pour un intervalle fermé
Le domaine d'intégration Modèle:Math peut être changé (au moyen d'un changement de variable) en Modèle:Math avant d'appliquer les méthodes de quadrature de Gauss. Le changement se déroule ainsi :
- <math>
\int_a^b f(x)\,\mathrm dx = \frac{b-a}{2} \int_{-1}^1 f\left(\frac{b-a}{2}x + \frac{a+b}{2}\right)\,\mathrm dx. </math>
L'approximation de la valeur de l'intégrale devient :
- <math>
\frac{b-a}{2} \sum_{i=1}^n \omega_i f\left(\frac{b-a}{2}x_i + \frac{a+b}2\right)~. </math> où les Modèle:Mvar sont ici relatifs à l'intervalle Modèle:Math.
Méthodes courantes
Méthode de Gauss-Legendre
Pour le problème d'intégration le plus classique, on utilise la méthode de Gauss-Legendre<ref>Modèle:MathWorld.</ref>. Il s'agit d'intégrer la fonction f sur le segment Modèle:Math. Les n nœuds sont les racines du n-ième polynôme de Legendre, Modèle:Math, et les coefficients sont donnés par l'une ou l'autre égalité :
- <math>
\omega_i = \frac{-2}{(n+1) P'_{n}(x_i) P_{n+1}(x_i)} = \frac{2}{(1-x_i^2) P'_n(x_i)^2}.
</math> On peut aussi remarquer que la somme des coefficients est égale à 2. Le tableau suivant donne l'ensemble des informations pour réaliser le calcul approché de I pour les formules à un, deux et trois points.
| Nombre de points, n | Poids <math>(\omega_i)</math> | Points <math>(x_i)</math> | Polynôme de Legendre |
|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 0 | x |
| 2 | 1, 1 | –Modèle:Sqrt, Modèle:Sqrt | (3x2 – 1)/2 |
| 3 | 5/9, 8/9, 5/9 | –Modèle:Sqrt, Modèle:Math, Modèle:Sqrt | (5xModèle:3 – 3x)/2 |
Exemple
On cherche à déterminer <math>\int_{-1}^1 (x+1)^2 \mathrm dx</math>. On cherche à intégrer un polynôme de degré 2, 2 points suffisent pour obtenir la valeur exacte.
- <math>\int_{-1}^1 (x+1)^2 \mathrm dx = 1 \left(\frac{1}{\sqrt{3}}+1\right)^2+1\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}+1\right)^2=\frac83.</math>
On peut facilement vérifier ce résultat car dans cet exemple, on connaît une primitive de Modèle:Math :
- <math>\int_{-1}^1 (x+1)^2 \mathrm dx = \left[ \frac{(x+1)^3}{3} \right] ^{1}_{-1}=\frac83.</math>
Cet exemple ne représente pas un cas pratique. En règle générale, on n'obtient jamais un résultat exact et bien entendu, on n'applique pas ces méthodes pour les fonctions dont on connaît une primitive.
Méthode de Gauss-Tchebychev
Cette formule est associée au poids <math>\varpi(x)=(1-x^2)^{-1/2}</math> sur Modèle:Math. Pour une formule à n points<ref>Modèle:MathWorld.</ref>, les nœuds sont
- <math>x_i = \cos\left(\frac{(2i-1)\pi}{2n}\right)</math>
et les coefficients :
- <math>w_i = \frac{\pi}n.</math>
Méthode de Gauss-Laguerre
Cette formule est associée au poids <math>\varpi(x)={\rm e}^{-x}</math> sur Modèle:Math. Les n nœuds sont les n racines du n-ième polynôme de Laguerre Ln, et les coefficients sont
- <math>w_i = \frac{1}{(n+1) L'_{n}(x_i) L_{n+1}(x_i)} .</math>
Les coefficients et les nœuds ne peuvent être calculés analytiquement que pour n petit<ref>Modèle:MathWorld.</ref>. Par exemple, pour n = 2 :
| n | <math>x_i\,</math> | <math>w_i\,</math> |
|---|---|---|
| 2 | <math>2 \pm \sqrt{2}</math> | <math>\frac{2\mp\sqrt{2}}{4}</math> |
Maintenant, pour intégrer une fonction Modèle:Math sur ℝ+, il faut remarquer que
- <math>\int_0^{+\infty} f(x) \, \mathrm dx = \int_0^{+\infty} \frac{f(x)}{\varpi(x)} \varpi(x) \, \mathrm dx.</math>
Il reste alors à appliquer la formule de quadrature à la fonction <math>g(x) = f(x)/\varpi(x).</math>
Méthode de Gauss-Hermite
Sur ℝ, la formule de Gauss-Hermite est caractérisée par la pondération <math>\varpi(x)={\rm e}^{-x^2}</math>. Pour une formule à n points<ref>Modèle:MathWorld.</ref>, les Modèle:Math sont calculés comme les n racines du n-ième polynôme d'Hermite Hn ; quant aux pondérations, elles sont obtenues à partir de
- <math>w_i = \frac{2^{n+1} n ! \sqrt{\pi}}{[H_n'(x_i)]^2}.</math>
Concernant l'intégration de f sur ℝ, il suffit d'appliquer la formule de quadrature à la fonction <math>f(x){\rm e}^{x^2}.</math>
Autres méthodes de quadrature de Gauss
Méthodes de Gauss-Lobatto
Pour le cas des méthodes de quadrature de Gauss-Modèle:Lien sur l'intervalle Modèle:Math, on impose parmi les Modèle:Math points de quadrature les deux extrémités de l'intervalle :
- <math>a = x_1 < x_2 < \cdots < x_{r+1} = b.</math>
Pour un ordre de quadrature Modèle:Math, les points intérieurs de quadrature deviennent alors les zéros du polynôme dérivé du Modèle:Mathe polynôme orthogonal :
- <math>\forall i = 2 , \ldots , r \ , \ P_{r-1}'(x_i) = 0.</math>
Méthodes de Gauss-Radau
Modèle:... Pour le cas des méthodes de quadrature de Gauss-Radau sur l'intervalle Modèle:Math, on impose parmi les Modèle:Math points de quadrature une des extrémités :
- <math>a = x_1 < x_2 < \cdots < x_{r+1}.</math>
Par symétrie, on peut également fixer Modèle:Math comme point.
Pour un ordre de quadrature Modèle:Math, les points intérieurs de quadrature deviennent alors les zéros du polynôme :
- <math>\frac{P_{r-1}(x) + P_r(x)}{x-a}.</math>
Calcul des points et poids de quadrature
Pour obtenir les points et poids de quadrature pour un ordre élevé, on consultera avec profit l'ouvrage d'Abramowitz et Stegun<ref>Modèle:Ouvrage</ref>.
