Nombre de Liouville

En mathématiques, et plus précisément en théorie des nombres, un nombre de Liouville est un nombre réel x ayant la propriété suivante :

pour tout entier n, il existe des entiers q_n > 1 et p_n tels que 0 < |x – p_n/q_n| < 1/q_nⁿ

ou, ce qui est équivalent :

pour tout entier n et tout réel Modèle:Nobr, il existe des entiers q > 0 et p tels que 0 < |x – p/q| < A/qⁿ.

Un nombre de Liouville peut ainsi être approché « de manière très fine » par une suite de nombres rationnels. En 1844, Joseph Liouville montra qu'il existe des nombres vérifiant la seconde propriété et que tous sont transcendants<ref name=Liouville>Modèle:Article (accès à l'article et analyse de Michel Mendès France) sur Bibnum.</ref>, établissant ainsi pour la première fois l'existence de nombres transcendants.

Constante de Liouville

Pour illustrer son théorème, Liouville donne un procédé général de construction de tels nombres à l'aide de la théorie des fractions continues, ainsi que des exemples, mais indique une méthode plus simple : par exemple, pour tout entier Modèle:Nobr <math>\sum_{k=1}^\infty b^{-k!}</math> est un nombre de Liouville. Ce furent les premiers exemples explicites de nombres transcendants.

La constante de Liouville correspond au cas Modèle:Math. Il s'agit donc du réel

<math>

\sum_{k=1}^\infty10^{-k!}=0,110001000000000000000001000...~.

</math>

Plus généralement, pour tout entier Modèle:Math et toute suite Modèle:Math d'entiers compris entre Modèle:Math et Modèle:Math non tous nuls à partir d'un certain rang, le réel

<math>

x=\sum_{k=1}^\infty\frac{a_k}{b^{k!}}

</math>

est un nombre de Liouville<ref name=Exo3>Modèle:Note autre projet</ref>.

L'ensemble des nombres de Liouville a donc la puissance du continu<ref name=Exo3/>.

Mesure d'irrationalité d'un réel

La mesure d'irrationalité d'un réel x — ou « sa constante de Liouville-Roth »<ref name=Finch>Modèle:Ouvrage.</ref> — mesure la manière d'approcher x par des rationnels.

Cette mesure est toujours supérieure ou égale à 1, comme borne supérieure d'un ensemble qui contient Modèle:Math.

Par exemple :

• la mesure d'irrationalité d'un rationnel est égale à 1<ref name=Finch/><ref name=Exo1>Modèle:Note autre projet</ref> ;
• celle d'un irrationnel est supérieure ou égale à 2<ref name=Exo2>Modèle:Note autre projet</ref> ; plus précisément, si la fraction continue de cet irrationnel est <math>[a_0,a_1,\dots]</math> et a pour réduites <math>h_n/k_n</math>, sa mesure d'irrationalité est <math>1+\limsup\frac{\ln k_{n+1}}{\ln k_n}=2+\limsup\frac{\ln a_{n+1}}{\ln k_n}</math><ref>{{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Jonathan Sondow, « Irrationality measures, irrationality bases, and a theorem of Jarnik », 2004, Modèle:Arxiv2.</ref>.
• celle d'un irrationnel algébrique est exactement égale à 2 : c'est le théorème de Roth (1955), plus précis que celui de Liouville Modèle:Infra.
• les nombres de Liouville sont les réels dont la mesure d'irrationalité est infinie. En effet, si x est un nombre de Liouville alors, pour tout réel μ, les (p_n, q_n) de la Modèle:1re, pour n ≥ μ, satisfont 1/q_nⁿ ≤ 1/q_n^μ et forment un ensemble infini, puisque la suite des |x – p_n/q_n| est à valeurs non nulles et converge vers 0.

On trouve dans les ouvrages de légères variantes : certains auteurs<ref name="Finch" /> prennent (ce qui revient au même) la borne inférieure de l'ensemble des Modèle:Math pour lesquels il n'existe au contraire qu'un nombre fini de couples (p, q) d'entiers tels que q > 0 et 0 < |x – p/q| < 1/q^Modèle:Math. Certains<ref name=Ribenboim>Modèle:Ouvrage.</ref><ref name=Duverney/><ref name=Bugeaud/><ref name=JM/> parlent des mesures d'irrationalité : ce sont tous les nombres supérieurs ou égaux à la mesure d'irrationalité définie ici. Enfin, certains<ref>Modèle:Chapitre.</ref><ref name=Ribenboim/><ref name=Duverney/> ne la définissent que si x est un nombre irrationnel, ce qui leur évite de mentionner la minoration stricte de |x – p/q| par 0. Outre ces nuances, on trouve une définition différente<ref name=Duverney>Modèle:Ouvrage.</ref><ref name=Bugeaud>Modèle:Ouvrage.</ref><ref name=JM>Modèle:Ouvrage.</ref> mais Modèle:Refsou :

Transcendance des nombres de Liouville

Modèle:Article détaillé Les nombres de Liouville étant de mesure d'irrationalité infinie, leur transcendance est un corollaire immédiat du théorème suivant, démontré dans l'article détaillé en utilisant la seconde définition ci-dessus de la mesure d'irrationalité.

Certains réels (en fait presque tous) sont transcendants sans être de Liouville. Par exemple<ref name=Finch/>, la mesure d'irrationalité de [[e (nombre)|Modèle:Math]] = [2, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1,…] est égale à 2 et celle de [[Pi|Modèle:Math]] est inférieure<ref>Modèle:Article.</ref> à 7,61.

Théorème d'Erdős

Paul Erdős a démontré<ref>Modèle:Article.</ref> que tout nombre réel non nul peut s'écrire comme somme et comme produit de deux nombres de Liouville. A posteriori, cela s'explique par une propriété générale des G_δ denses et le fait que l'ensemble L des nombres de Liouville en est un<ref>Modèle:Harvsp.</ref> puisque

<math>L=\bigcap_{n\in\N^*}U_n\quad{\rm avec}\quad U_n=\bigcup_{p,q\in\Z,q\ge 2}\left]\frac pq-\frac1{q^n},\frac pq+\frac1{q^n}\right[\setminus\left\{\frac pq\right\}\text{ ouvert dense}</math>

et que ℝ est un espace de Baire.

Négligeabilité

L'ensemble des nombres de Liouville, en dépit de leur « abondance » du point de vue de la cardinalité et de la topologie, est négligeable et même :

• sa dimension de Hausdorff est nulle<ref>Modèle:Article.</ref> ;
• presque tout réel est de mesure d'irrationalité égale à 2, d'après un théorème de Khinchin<ref>Modèle:Ouvrage.</ref>.

Notes et références

Modèle:Traduction/Référence <references/>

Voir aussi

Liens externes

• Modèle:Lien web
• Modèle:MathWorld