Point à l'infini
{{#invoke:Bandeau|ébauche}} Modèle:À sourcer En mathématiques, et plus particulièrement en géométrie et en topologie, on appelle point à l'infini un objet adjoint à l'espace que l'on veut étudier pour pouvoir plus commodément y définir certaines notions de limites « à l'infini », ou encore pour obtenir des énoncés plus uniformes, tels que « deux droites se coupent toujours en un point, situé à l'infini si elles sont parallèles ».
Introduction
La notion de point à l'infini<ref>Pour la variété de la problématique concernant l'usage de l'infini, on pourra consulter l'article « Infini ».</ref> apparait au Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle dans le cadre du développement des méthodes de la perspective conique, avec l'invention de la « Modèle:Lang » d'Alberti.
L'utilisation de ces points par les géomètres des {{#switch: e
| e | er | =
{{#switch: e
| e | er | = Modèle:S mini-{{#ifeq: et|-| – | et }}Modèle:S mini- siècles
| Modèle:S mini-{{#ifeq: e|-| – | e }}Modèle:S mini- siècleXVII
}}
|
{{#switch: et
| e | er | = Modèle:S mini-{{#ifeq: e|-| – | e }}Modèle:S mini- siècle
| Modèle:S mini-{{#ifeq: et|-| – | et }}Modèle:S mini- siècles
}}
}} (par exemple Maurolico ou da Vignola en Italie, Stevin en Hollande, Desargues et Pascal en France), puis la systématisation de leur usage au Modèle:S mini-, a conduit à la création d'une discipline mathématique : la géométrie projective.
La généralisation du langage géométrique dans les mathématiques du Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle, et la possibilité de compactifier les corps des réels et des complexes par l'ajout d'un élément à l'infini a conduit à son tour à l'utilisation de la terminologie « point à l'infini » dans d'autres branches des mathématiques que celles directement dérivées de la géométrie.
En géométrie projective
La notion de point à l'infini, et plus généralement, d'élément géométrique à l'infini (droite à l'infini, plan à l'infini, hyperplan à l'infini), n'est pas une notion purement projective, mais elle permet de passer de l'affine au projectif, et du projectif à l'affine, et a un sens dans un espace affine (droite, plan, etc.) complété en un espace projectif.
Ainsi
- Une droite affine à laquelle on ajoute un point, dit alors point à l'infini, forme une droite projective.
- Un plan affine auquel on ajoute une droite à l'infini forme un plan projectif. Dans un plan affine complété en un plan projectif, chaque droite projective a un et un seul point à l'infini. Celui-ci se trouve sur la droite à l'infini du plan projectif. Deux droites projectives ont le même point à l'infini si et seulement si, dans le plan affine, les deux droites affines correspondantes sont parallèles.
- Un espace affine de dimension 3 auquel on ajoute (de façon analogue) un Modèle:Lien forme un espace projectif de dimension 3.
- Ces notions peuvent être généralisées à des dimensions supérieures avec l'introduction de la notion d'Modèle:Lien.
Réciproquement en distinguant un point quelconque d'une droite projective, que l'on appelle alors point à l'infini, on obtient une droite affine (les autres points de la droite) ; en distinguant une droite quelconque d'un plan projectif, dite alors droite à l'infini, on obtient un plan affine (le plan sans cette droite, et les points de cette droite), et ceci se généralise à la dimension 3 et aux dimensions supérieures.
On peut développer la notion de point à l'infini sur tout corps commutatif infini :
- Lorsque le corps de base est ℝ, la droite affine est la droite réelle usuelle. Cette droite augmentée du point à l'infini forme une courbe fermée, appelée « droite projective réelle » et notée P1(ℝ) (voir croquis).
- Lorsque le corps de base est ℂ, la droite affine est le plan complexe et la droite projective complexe est la sphère de Riemann P1(ℂ).
-
La droite projective réelle P1(ℝ) est la droite réelle complétée par un point à l'infini.
-
La droite projective complexe P1(ℂ) est le plan complexe complété par un point à l'infini.
Autres exemples
Modèle:... Compactifié d'Alexandrov
