Tenseur de Ricci
Dans le cadre de la relativité générale<ref > {{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Modèle:Lien web.</ref>, le champ de gravitation est interprété comme une déformation de l'espace-temps. Celle-ci est exprimée à l'aide du tenseur de Ricci.
Le tenseur de Ricci est un champ tensoriel d'ordre 2, obtenu comme la trace du tenseur de courbure complet. On peut le considérer comme le laplacien du tenseur métrique riemannien dans le cas des variétés riemaniennes.
Le tenseur de Ricci occupe une place importante notamment dans l'équation d'Einstein, équation principale de la relativité générale. C'est aussi un objet fondamental en géométrie différentielle.
Histoire
L'éponyme du tenseur de RicciModèle:Sfn,Modèle:Sfn,Modèle:Sfn,Modèle:Sfn,Modèle:Sfn est le mathématicien italien Gregorio Ricci-Curbastro (Modèle:Date--Modèle:Date-)Modèle:Sfn qui l'a introduit dans des articles qu'il a coécrits avec son étudiant Tullio Levi-Civita (Modèle:Date--Modèle:Date-)Modèle:Sfn. Le tenseur apparaît, pour la première fois, dans un article de Ricci-Curbastro paru en Modèle:DateModèle:Sfn,Modèle:Sfn.
Le tenseur est aussi connu comme le tenseur de courbure de RicciModèle:Sfn,Modèle:Sfn car sa trace est la courbure (scalaire) de RicciModèle:Sfn,Modèle:Sfn.
Présentation
Définition, notation et expression
Le tenseur de Ricci est défini comme une contraction du tenseur de courbure de RiemannModèle:Sfn :
- <math>R_{\mu\nu}=\sum_\lambda{R^\lambda}_{\mu\nu\lambda}={R^\lambda}_{\mu\nu\lambda}</math>.
Propriétés
Le tenseur de Ricci est un tenseur de rang 2Modèle:Sfn.
Il est symétriqueModèle:Sfn,Modèle:Sfn,Modèle:Sfn :
- <math>R_{\mu\nu}=R_{\nu\mu}</math>.
Application en relativité générale
En relativité générale, le vide est une région de l'espace-temps où le tenseur énergie-impulsion s'annuleModèle:Sfn :
- <math>T_{\mu\nu}=0</math>.
Dans le videModèle:Sfn et en l'absence de constante cosmologiqueModèle:Sfn, l'équation d'Einstein devient :
- <math>R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}Rg_{\mu \nu}=0</math>,
soitModèle:Sfn,Modèle:Sfn :
- <math>R_{\mu\nu}=0</math>.
Un espace dont le tenseur de Ricci s'annule est parfois dit Ricci-platModèle:Sfn.
Construction mathématique
Le tenseur de Ricci s'obtient à partir du tenseur de courbure de Riemann <math>R</math>, qui exprime la courbure de la variété (dans le cas de la relativité générale, de l'espace-temps), à l'aide d'une réduction d'indices du tenseur.
Il peut s'exprimer notamment à partir des symboles de Christoffel, qui représentent l'évolution des vecteurs de base d'un point à l'autre de l'espace-temps, due à la courbure de ce dernier. Ces coefficients dépendent alors directement de la métrique de l'espace (de la variété), qui est un outil mathématique permettant de définir les distances au sein de l'espace.
D'un point de vue mathématique, on parvient aux résultats suivant, en utilisant la convention de sommation d'Einstein<ref>Cette convention stipule que les indices répétés seront des indices de sommation : <math>\textstyle x_{\mu}x^{\mu}=\sum_{\mu=0}^{3}x_{\mu}x^{\mu}</math>.</ref>.
Les symboles de Christoffel s'expriment par :
- <math>
{\Gamma^\gamma}_{\alpha\beta} =
\frac{1}{2} g^{\gamma\delta}(\partial_{\alpha}g_{\beta\delta} +
\partial_{\beta}g_{\alpha\delta} -
\partial_{\delta}g_{\alpha\beta})
</math>
Ces coefficients sont notamment utilisés pour écrire l'équation d'une géodésique, c'est-à-dire le chemin le plus court entre deux points de l'espace courbe – qui n'est pas toujours une ligne droite :
- <math>
\frac{\mathrm d^2x^\alpha}{\mathrm ds^2}+{\Gamma^\alpha}_{\beta\gamma} \frac{\mathrm dx^\beta}{\mathrm ds}\frac{\mathrm dx^\gamma}{\mathrm ds}=0 </math>
Le tenseur de courbure s'exprime à partir de ces mêmes coefficients de Christoffel:
- <math>{R^\delta}_{\alpha\beta\gamma} =
\partial_{\beta} {\Gamma^\delta}_{\alpha\gamma} -
\partial_{\gamma} {\Gamma^\delta}_{\alpha\beta} +
{\Gamma^\delta}_{\beta\varepsilon} {\Gamma^\varepsilon}_{\alpha\gamma} -
{\Gamma^\delta}_{\gamma\varepsilon} {\Gamma^\varepsilon}_{\alpha\beta}
</math>
Nous obtenons enfin le tenseur de Ricci par réduction (attention à l'ordre des indices) :
- <math>R_{\alpha\beta}={R^\gamma}_{\alpha\gamma\beta}</math>
Par la suite, la courbure scalaire se déduit à l'aide d'une nouvelle réduction :
- <math>R=g^{\alpha\beta}R_{\alpha\beta}</math>
La divergence du tenseur d'Einstein <math>R^{\alpha\beta} - \tfrac{1}{2} g^{\alpha\beta} R</math> est nulle :
- <math>\left[R^{\alpha\beta} - \frac{1}{2} g^{\alpha\beta} R\right]_{\alpha\beta} = 0</math>
Cette équation fondamentale se démontre en mettant en jeu la nullité de la dérivée covariante du tenseur métrique.
C'est en identifiant le tenseur d'Einstein et le tenseur d'énergie-impulsion que l'on obtient l'équation d'Einstein qui fonde la relativité générale.
Tenseurs d'une surface en coordonnées de Riemann
Tenseur de Riemann
Modèle:Voir Gauss a trouvé une formule de la courbure K d'une surface par un calcul assez compliqué mais plus simple en coordonnées de Riemann où elle est égale au tenseur de Riemann <math>R_{xyxy}</math> qui s'écrit alors, en deux dimensions<ref> En toute rigueur on devrait utiliser ici u et v au lieu de x et y car il s'agit de coordonnées de Gauss (voir Tenseur de Riemann).</ref>.
- <math> R_{xyxy}= -\frac12 \left(\frac{\partial^2 g_{xx}}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 g_{yy}}{\partial x^2}\right) </math>
où <math>g_{xx}</math> et <math>g_{yy}</math> sont les coefficients de la métrique en coordonnées de Riemann, c'est-à-dire des coordonnées cartésiennes locales. Le tenseur de Ricci est formé, en fonction de la métrique inverse <math>g^{ij}</math> indices supérieurs) et du tenseur de Riemann dit « entièrement covariant », (indices inférieurs), <math>R_{ijkl}</math>, par la relation générale
Tenseur de Ricci
- <math> R_{ik} = g^{mn} R_{mink} = \Sigma g^{mn} R_{mink}</math>
- <math>g^{xx} = 1/g_{xx}</math> et <math>g^{yy} = 1/g_{yy}</math> sont les éléments de la métrique inverse de la métrique directe, également diagonale. La convention d’Einstein consiste à supprimer le signe Σ, avec quelques restrictions. En deux dimensions ces relations s’explicitent en :
- <math>\left. R_{xx} = g^{xx} R_{xxxx} +g^{yy} R_{xyxy}\right.</math>
- <math>\left. R_{yy} = g^{xx} R_{xyxy} +g^{yy} R_{yyyy}\right.</math>
L'identité de Bianchi du tenseur de Riemann s'écrit :
- <math>R_{abcd}=-R_{bacd}=-R_{abdc}</math>
Elle devient, lorsque a = b = c = d = x (ou y) :
- <math>R_{xxxx}=-R_{xxxx}=-R_{yyyy}=0</math>
On a donc
- <math> R_{xxxx} = R_{yyyy} = 0</math>
En deux dimensions, il reste
- <math>R_{xx} = g^{yy}R_{xyxy} = \frac{1}{g_{yy}}R_{xyxy}</math>
- <math>R_{yy} =g^{xx}R_{xyxy} = \frac{1}{g_{xx}}R_{xyxy}</math>
Le tenseur de Ricci d’une surface de métrique diagonale a donc deux composantes différentes bien que celui de Riemann n’en ait qu’une seule, non nulle et au signe près.
Notes et références
Voir aussi
Bibliographie
- Modèle:Ouvrage.
- Modèle:Ouvrage.
- Modèle:Ouvrage.
- Modèle:Ouvrage.
- Modèle:Ouvrage.
- Modèle:Chapitre, Modèle:Abréviation discrète de :
- Modèle:Ouvrage.
- Modèle:Article.
