Équation d'Einstein

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Modèle:Voir homonymes

Fichier:EinsteinLeiden4.jpg
Équation sur un mur à Leyde.
Fichier:Swiss-Commemorative-Coin-1979b-CHF-5-obverse.png
Modèle:Formule : l'équation d'Einstein pour le vide et en l'absence de constante cosmologique, sur le revers d'une pièce commémorative suisse (Modèle:Citation, Modèle:Unité, Modèle:Date-).

L’équation d'Einstein<ref>Modèle:Ouvrage.</ref> ou équation de champ d'Einstein<ref>Modèle:Ouvrage.</ref> (en anglais, Einstein field equation ou EFE), publiée par Albert Einstein, pour la première fois le Modèle:DateModèle:Sfn, est l'équation aux dérivées partielles principale de la relativité générale. C'est une équation dynamique qui décrit comment la matière et l'énergie modifient la géométrie de l'espace-temps. Cette courbure de la géométrie autour d'une source de matière est alors interprétée comme le champ gravitationnel de cette source. Le mouvement des objets dans ce champ est décrit très précisément par l'équation de sa géodésique.

Histoire

L'équation d'EinsteinModèle:Sfn,Modèle:Sfn,Modèle:Sfn,Modèle:Sfn,Modèle:Sfn est l'équation fondamentale de la relativité généraleModèle:Sfn,Modèle:Sfn,Modèle:Sfn. Elle est une équation localeModèle:Sfn qui généralise l'équation de PoissonModèle:Sfn, forme locale de la loi de NewtonModèle:Sfn. Elle consiste en une équation tensorielleModèle:Sfn,Modèle:Sfn,Modèle:Sfn,Modèle:Note qui relie deux tenseursModèle:Sfn Modèle:Incise dont elle exprime la proportionnalitéModèle:Sfn. Elle représente un ensemble d'équations différentiellesModèle:Sfn aux dérivées partielles hautementModèle:Sfn,Modèle:Sfn non-linéaires du second ordreModèle:Sfn.

John A. Wheeler (Modèle:Date--Modèle:Date-) la présente ainsiModèle:Sfn : Modèle:Citation bilingue bloc ouModèle:Sfn : Modèle:Citation bilingue bloc

Son éponyme est Albert Einstein (Modèle:Date--Modèle:Date-) qui la présente, pour la première fois, le jeudiModèle:Sfn Modèle:Date à l'Académie royale des sciences de Prusse à Berlin. L'Académie publie la communication d'Einstein le jeudi suivant, Modèle:Date, dans ses Comptes rendusModèle:Sfn.

Einstein généralisera l'équation en y ajoutant un terme, appelé constante cosmologique, qui apparaît pour la première fois dans un article soumis le Modèle:Date et publié le Modèle:Date du même moisModèle:Sfn.

Forme mathématique de l'équation de champ d'Einstein

En notation symbolique, l'équation d'Einstein s'écritModèle:Sfn,Modèle:Sfn :

<math>\mathbf{G}-\Lambda\mathbf{g}=\kappa\mathbf{T}</math>,

avecModèle:Sfn :

<math>\mathbf{G}=\mathbf{R}-\frac{1}{2}R\mathbf{g}</math>.

<math>g</math> est la tenseur métrique. <math>G</math> est le tenseur d'EinsteinModèle:Sfn. <math>T</math> est le tenseur énergie-impulsion ; il représente l'énergie et le moment de tous les champs autres que le champ métrique lui-mêmeModèle:Sfn.

<math>\Lambda</math> et <math>\kappa</math> sont deux constantesModèle:Sfn. <math>\Lambda</math> est la constante cosmologiqueModèle:Sfn ; elle représente la densité d'énergie de l'espace-temps à l'absence de champs non-gravitationnelsModèle:Sfn. <math>\kappa</math> représente le couplage du champ gravitationnel avec les systèmes non-gravitationnelsModèle:Sfn.

L'équation de champ d'Einstein est généralement écrite de la manière suivante<ref>Modèle:Ouvrage, lire en ligne (consulté le 5 août 2014).</ref> : Modèle:Bloc emphase où :

avec :

Forme alternative

L'équation d'Einstein peut se réécrire comme suitModèle:Sfn :

<math>R_{\mu\nu}=\kappa\left(T_{\mu\nu}-\frac{1}{n-2}Tg_{\mu\nu}\right)+\frac{2}{n-2}\Lambda g_{\mu\nu}</math>,

où :

  • <math>n\ge 3</math> est le nombre de dimensions de l'espace-temps ;
  • <math>T</math> est la trace du tenseur énergie-impulsion.

Ainsi, pour <math>n=4</math>, l'équation d'Einstein peut ainsi s'écrireModèle:Sfn :

<math>R_{\mu\nu}=\kappa\left(T_{\mu\nu}-\frac{1}{2}Tg_{\mu\nu}\right)+\Lambda g_{\mu\nu}</math>.

Vide

Dans le vide <math>(T_{\mu\nu}=0)</math>, l'équation d'Einstein s'écritModèle:Sfn :

<math>R_{\mu\nu}=\frac{2}{n-2}\Lambda g_{\mu\nu}</math>,

avec <math>n\ge 3</math>.

Dans le vide et l'absence de constante cosmologique <math>(\Lambda=0)</math>, elle s'écritModèle:Sfn :

<math>G_{\mu\nu}=0</math> ou <math>R_{\mu\nu}=0</math>.

Analyse dimensionnelle

La dimension des composantes des tenseurs n'est pas prédéfinie. Considérons que les coordonnées <math>x^\mu</math> sont homogènes à une longueurModèle:Sfn : <math>[x^\mu]=\mathsf{L}</math>. Alors les composantes <math>g_{\mu\nu}</math> du tenseur métrique sont sans dimensionModèle:Sfn,Modèle:Sfn : <math>[g_{\mu\nu}]=1</math> ; et les composantes de la connexion de Levi-Civita sont homogènes à l'inverse d'une longueur : <math>\mathsf{L}^{-1}</math>Modèle:Sfn. Il en résulte que les composantes <math>R_{\mu\nu} </math> du tenseur de Ricci et que la courbure scalaire <math>R</math> sont homogènes à l'inverse du carré d'une longueurModèle:Sfn : <math>[R_{\mu\nu}]=[R]=\mathsf{L}^{-2}</math> ; que les composantes <math>G_{\mu\nu}</math> du tenseur d'Einstein ont la même dimension : <math>[G_{\mu\nu}]=\mathsf{L}^{-2}</math> ; que celles <math>T_{\mu\nu}</math> du tenseur énergie-impulsion sont homogènes une énergie volumiqueModèle:Sfn,Modèle:Sfn : <math>[T_{\mu\nu}]=\mathsf{L}^{-1}\mathsf{M}\mathsf{T}^{-2}</math> ; et que la constante <math>\kappa</math> est homogène à l'inverse d'une forceModèle:Sfn,Modèle:Sfn : <math>[\kappa]=\mathsf{L}^{-1}\mathsf{M}^{-1}\mathsf{T}^2</math>.

Détermination de la constante Modèle:Formule

La constante <math>\kappa</math> peut être déterminée en demandant que l'équation d'Einstein se réduise, à la limite newtonienne, à l'équation de PoissonModèle:Sfn,Modèle:Sfn.

En considérant que la constante <math>\kappa</math> est homogène à l'inverse d'une force, on obtient :

<math>\kappa=8\pi\frac{G}{c^4}</math>, où <math>G</math> est la constante gravitationnelle et <math>c</math> est la vitesse de la lumière dans le vide.

Nombre d'équations indépendantes

L'équation d'Einstein est une équation dans l'espace des tenseurs (covariants) symétriques de degré 2 sur une variété de dimension 4. Elle peut donc s'exprimer à l'aide de (4*5)/2 = 10 équations scalaires une fois qu'un système de coordonnées locales a été choisi. Par ailleurs, la première identité de Bianchi, qui est une équation dans l'espace des formes à valeurs vectorielles, peut s'exprimer à l'aide de 4 équations scalaires dans ce même système. L'équation d'Einstein comporte donc 10 - 4 = 6 équations indépendantesModèle:Refsou.

L'équation de champ d'Einstein est comprise comme une équation permettant de connaître le tenseur métrique <math>g_{ab}</math>, étant donné une distribution de matière et d'énergie exprimée sous la forme d'un tenseur énergie-impulsion. Malgré son aspect simple, elle est en réalité relativement complexe, notamment du fait que le tenseur de Ricci et la courbure scalaire dépendent de la métrique.

<math>\Lambda</math>, la constante cosmologique, a été introduite par Einstein pour permettre des solutions statiques au modèle cosmologique issu de l'équation d'Einstein. Par la suite, il a qualifié cette introduction de « plus grande erreur de sa vie ».

En définissant le tenseur d'Einstein

<math>G_{\mu \nu} = R_{\mu \nu} - {1 \over 2}R g_{\mu \nu}</math>

qui est un tenseur symétrique de Modèle:Nobr dépendant de la métrique et si l'on considère que <math>\Lambda</math> = 0 (ce qu'Einstein a fini par admettre, mais qui est controversé aujourd'hui), il est possible d'écrire cette relation de manière plus compacte

<math>G_{\mu \nu} = \frac{8 \pi G}{c^4} T_{\mu \nu}.</math>

En travaillant dans le système d'unités géométriques, où G = c = 1, on a :

<math>G_{\mu \nu} = 8\pi T_{\mu \nu}\,</math>

La partie de gauche représente la courbure de l'espace-temps telle qu'elle est déterminée par la métrique et l'expression de droite représente le contenu masse/énergie de l'espace-temps. Cette équation peut alors être interprétée comme un ensemble d'équations décrivant comment la courbure de l'espace-temps est reliée au contenu masse/énergie de l'univers.

Ces équations, ainsi que l'équation de la géodésique, forment le cœur de la formulation mathématique de la relativité générale.

Propriétés de l'équation d'Einstein

Unicité de l'équation

Le théorème de Lovelock, dû à David Lovelock, établit que l'équation d'Einstein est l'unique équation du champ qui :

  • est construite à partir du tenseur métrique ;
  • n'est pas supérieure au deuxième ordre dans les dérivées ;
  • est locale ;
  • est dérivée d'une actionModèle:Sfn.

L'équation d'Einstein est aussi l'unique équation non-linéaire du mouvement pour particule sans masse de spin 2Modèle:Sfn.

Conservation de l'énergie et du moment

Une importante conséquence de l'équation d'Einstein est la conservation locale de l'énergie et du moment. Ce résultat apparaît en utilisant l'identité différentielle de Bianchi pour obtenir :

<math>\nabla_\nu G^{\mu \nu}=G^{\mu \nu}{}_{;\nu}=0</math>

ce qui, en utilisant l'équation d'Einstein, donne :

<math>\nabla_\nu T^{\mu \nu}= T^{\mu \nu}{}_{;\nu}=0</math>

qui exprime la conservation locale du tenseur énergie-impulsion.

Non-linéarité des équations de champ

L'équation d'Einstein donne lieu à Modèle:Nombre aux dérivées partielles non linéaires pour les composants métriques. Cette caractéristique de non-linéarité distingue la relativité générale de l'ensemble des autres théories physiques. Par exemple, les équations de Maxwell de l'électromagnétisme sont linéaires par rapport aux champs électriques et magnétiques (c'est-à-dire que la somme de deux solutions est aussi une solution). Un autre exemple est celui de l'équation de Schrödinger en mécanique quantique où l'équation est linéaire par rapport à la fonction d'onde.

Principe de correspondance

L'approximation des champs faibles et des mouvements lents permet de retrouver l'équation de Poisson de la gravitation de Newton :

<math>\nabla{^2}\Phi=4\pi{G}{\rho}</math>,

où :

  • <math>\Phi</math> est le potentiel gravitationnel ;
  • <math>\pi</math> est le nombre pi ;
  • <math>G</math> est la constante gravitationnelle ;
  • <math>\rho</math> est la masse volumique.

La constante cosmologique

Modèle:Article détaillé

Il est possible de modifier l'équation des champs d'Einstein en introduisant un terme proportionnel à la métrique :

<math>R_{\mu \nu} - {1 \over 2}R g_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu} = {8 \pi} T_{\mu \nu}</math>

(on précisera que cette équation est vraie dans un système d'unités géométriques tel que G = c = 1, sinon on doit lire : (8πG/c4)Tμν. La constante <math>\Lambda</math> est appelée la constante cosmologique.

Cette constante cosmologique était à l'origine introduite par Einstein pour obtenir de son équation un univers statique (c'est-à-dire un univers qui ne soit pas en expansion ou en contraction). Cet effort fut un échec pour deux raisons : l'univers statique décrit par cette théorie était instable, et les observations des galaxies distantes par Hubble une décennie plus tard confirmèrent que notre univers n'est en fait pas statique mais en expansion. <math>\Lambda</math> fut donc par la suite abandonné, et Einstein la qualifia de Modèle:Citation.

Bien que la motivation d'Einstein pour l'introduction de cette constante ait été erronée, sa présence dans l’équation n'est pas inconsistante. En effet, récemment les techniques astronomiques améliorées ont permis d'affirmer qu'une valeur non nulle de <math>\Lambda</math> est nécessaire pour expliquer certaines observations. L'existence d'une constante cosmologique est alors équivalente à l'existence d'une énergie du vide non nulle.

Solutions de l'équation dans le vide

Modèle:Section à sourcer Les solutions de l'équation d'Einstein sont les tenseurs métriques de l'espace-temps. Elles sont souvent appelées « métriques ». Elles décrivent la structure de l'espace-temps en incluant le mouvement inertiel des objets. En raison du caractère hautement non linéaire des équations, il n'existe pas de solution analytique générale pour une distribution quelconque de matièreModèle:Sfn,Modèle:Sfn. Il n'existe que des solutions particulières pour des espaces-temps dotés de symétriesModèle:Sfn,Modèle:Sfn ou des champs gravitationnels faiblesModèle:Sfn. Il n'existe pas de solution complète connue pour un espace-temps constitué de deux corps massifs (correspondant au modèle théorique d'un système binaire de deux étoiles par exemple). Cependant, des approximations sont généralement faites dans ces cas.

L'étude des solutions exactes des équations de champs d'Einstein est l'une des activités de la cosmologie. Elle a mené à la prédiction de l'existence de trous noirs et aux divers modèles de l'évolution de l'univers.

En relativité générale, le Modèle:Dfn est une région de l'espace-temps dans laquelle le tenseur énergie-impulsion <math>T_{\mu\nu}</math> est nul : <math>T_{\mu\nu}=0</math>Modèle:Sfn,Modèle:Sfn. Dans le vide et en l'absence de constante cosmologiqueModèle:Sfn, l'équation d'Einstein s'écrit <math>R_{\mu\nu}=0</math>Modèle:Sfn,Modèle:Sfn.

Espace plat

Loin de toute source gravitationnelle, l'espace plat est une solution de cette équation, et la métrique de Minkowski s'applique. Cette dernière est la forme classique qu'on trouve dans le cadre de la relativité restreinte et les distances se mesurent à l'aide de la métrique : <math> ds^2 = c^2 dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2 \ . </math>

On voit alors qu'on a :

<math> (g_{\mu \nu}) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1\end{bmatrix} \ </math>

Espace autour d'une masse sphérique

La métrique de Schwarzschild permet de décrire la déformation de l'espace-temps dans le vide autour d'une masse sphérique unique (par exemple une étoile). On a alors, pour <math>(x^0, x^1, x^2, x^3)=(ct, r, \theta, \phi) </math> :

<math> (g_{\mu \nu}) = \begin{bmatrix} 1-\frac{2GM}{rc^2} & 0 & 0 & 0\\ 0 & -\frac{1}{1-\frac{2GM}{r c^2}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -r^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -r^2 \sin^2 \theta \end{bmatrix} \ </math>

Espace autour d'un corps en rotation

La métrique de Kerr, pour sa part, décrit la déformation de l'espace-temps dans le vide autour d'un trou noir en rotation (en l'absence de champs électromagnétiques). Elle est l'œuvre en 1963 de Roy Kerr, mathématicien néo-zélandais. Contrairement à la métrique de Schwarzschild qui peut s'appliquer autour de tout corps sphérique et statique, la métrique de Kerr est spécifique aux trous noirs seulement et ne peut s'appliquer à d'autres corps en rotation. En prenant à nouveau un référentiel sphérique de l'espace-temps <math>(x^0, x^1, x^2, x^3)=(t, r, \theta, \phi) </math> (en prenant c=1) on a :

<math> (g_{\mu \nu}) = \begin{bmatrix} 

\left(1-\frac{2Mr}{\Sigma}\right) & 0 & 0 & \frac{4aMr\sin^2\theta}{\Sigma} \  \\ 
0  & -\frac{\Sigma}{\Delta} & 0 & 0 \\
0 & 0 & -\Sigma & 0 \\
\frac{4aMr\sin^2\theta}{\Sigma} & 0 & 0 & -\left(r^2+a^2+\frac{2a^2Mr\sin^2\theta}{\Sigma}\right)\sin^2\theta

\end{bmatrix} \ </math>

avec :

<math>\Sigma=r^2+a^2\cos^2\theta \ </math>,
<math>\Delta=r^2-2Mr+a^2 \ </math>,


Métrique de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker

La métrique de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker permet de décrire un espace-temps de géométrie homogène et isotrope.

Notes et références

Notes

Modèle:Références

Références

Modèle:Références

Voir aussi

Publication originale

Bibliographie

Modèle:Légende plume

Manuels de cours d'enseignement supérieur

Ouvrages de vulgarisation

Dictionnaires et encyclopédies

Articles connexes

Liens externes

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