Théorème de Green

Modèle:Confusion En mathématiques, le théorème de Green, ou théorème de Green-Riemann, donne la relation entre une intégrale curviligne le long d'une courbe simple fermée orientée C¹ par morceaux et l'intégrale double sur la région du plan délimitée par cette courbe.

Ce théorème, nommé d'après George Green et Bernhard Riemann, est un cas particulier du théorème de Stokes.

Énoncé

Fichier:Green's-theorem-simple-region.png

Domaine délimité par une courbe régulière par morceaux.

Notation alternative

Vu comme cas particulier du théorème de Stokes, le théorème s'écrit sous la forme suivante, en notant Modèle:Math la courbe C et Modèle:Math la forme différentielle. Alors, la dérivée extérieure de Modèle:Math s'écrit :

<math> \mathrm d\omega = \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \mathrm dx \wedge \mathrm dy</math>

et le théorème de Green se résume par :

<math>\oint_{\partial D}\omega = \iint_{D} \mathrm d\omega.</math>

Le cercle sur l'intégrale précise que le bord Modèle:Math est une courbe fermée (orientée). Changer l'orientation de la courbe change le signe de l'intégrale curviligne. L'orientation du bord ∂D se fait intuitivement de telle façon qu'un point le parcourant doit avoir le domaine D constamment sur sa gauche.

On peut aussi interpréter <math>\oint_{\partial D} \omega </math> comme la circulation du champ de vecteurs <math>P\,\vec \imath + Q\,\vec \jmath </math> défini sur un ouvert du plan contenant Modèle:Math.

Démonstration dans un cas simplifié

Fichier:Théorème de Green-Riemann.svg

Théorème de Green-Riemann dans un cas simplifié.

Montrons que <math>\iint_D - \frac{\partial P}{\partial y }(x,y) \,\mathrm{d} x\mathrm{d} y = \int_{\partial D} P\,\mathrm{d}x</math> en supposant que le domaine Modèle:Math peut être décrit par :

<math> D = \{(x,y)\in \mathbb{R}^2 \ ;\ a\leqslant x \leqslant b \ \text{ et }\ f(x) \leqslant y \leqslant g(x) \} </math>

où Modèle:Math et Modèle:Math sont des fonctions de classe C¹ sur Modèle:Math qui coïncident en Modèle:Math et Modèle:Math.

Le théorème de Fubini donne :

<math>\iint_D - \frac{\partial P}{\partial y }(x,y)\,\mathrm{d} x\mathrm{d} y = \int_a^b \left( \int_{f(x)}^{g(x)} - \frac{\partial P}{\partial y }(x,y) \,\mathrm{d} y\right)\mathrm{d} x</math>

Or <math>\int_{f(x)}^{g(x)} -\frac{\partial P}{\partial y }(x,y) \,\mathrm{d} y = P(x,f(x))-P(x,g(x))</math>, de sorte que :

<math>\iint_D - \frac{\partial P}{\partial y }(x,y) \,\mathrm{d} x\mathrm{d} y = \int_a^b P(x,f(x))-P(x,g(x)) \,\mathrm{d}x.</math>

Or l'arc orienté <math>\partial D</math> peut être décomposé en deux sous-arcs :

<math>t \longmapsto (t,f(t))</math> où t croît de Modèle:Math à Modèle:Math

et <math>t \longmapsto (t,g(t))</math> où t décroît de Modèle:Math à Modèle:Math.

L'intégrale curviligne <math> \int_{\partial D} P \,\mathrm{d}x </math> est donc :

<math>\int_a^b P(t,f(t)) \,\mathrm{d} t + \int_{b}^{a} P(t,g(t)) \,\mathrm{d} t = \int_a^b P(t,f(t)) - P(t,g(t)) \,\mathrm{d} t</math> qui est bien l'expression obtenue ci-dessus.

On montre de même que <math>\iint_D \frac{\partial Q}{\partial x }(x,y) \,\mathrm{d} x\mathrm{d} y = \int_{\partial D} Q \,\mathrm{d}y</math> en supposant que le domaine Modèle:Math peut être décrit comme étant :

<math> D = \{(x,y)\in\R^2 \ ;\ c\leqslant y \leqslant d \ \text{ et }\ \phi(y) \leqslant x \leqslant \psi(y) \} </math>

où Modèle:Math et Modèle:Math sont des fonctions de classe C¹ sur Modèle:Math qui coïncident en Modèle:Math et Modèle:Math :

<math>\iint_D \frac{\partial Q}{\partial x }(x,y) \,\mathrm{d} x\mathrm{d} y = \int_c^d \int_{\phi(y)}^{\psi(y)} \frac{\partial Q}{\partial x }(x,y) \,\mathrm{d} x\mathrm{d} y = \int_c^d Q(\psi(y),y) - Q(\phi(y),y) \,\mathrm{d} y = \int_{\partial D} Q \,\mathrm{d}y.</math>

Utilisations

Le théorème de Green permet notamment de démontrer l'inégalité de Poincaré, ainsi que le théorème intégral de Cauchy pour les fonctions holomorphes.

Calculs d'aires

L'utilisation du théorème de Green permet de calculer l'aire délimitée par une courbe paramétrée fermée. Cette méthode est concrètement appliquée dans les planimètres.

Soit D un domaine du plan auquel le théorème de Green s'applique et soit C = ∂D sa frontière, orientée positivement par rapport à D. On a :

<math>\mathcal{A}(D)=\iint_D\mathrm dx \mathrm dy = \int_C-y \mathrm dx = \int_Cx \mathrm dy=\frac12\int_C-y \mathrm dx + x \mathrm dy </math>

en prenant respectivement <math>\left(P(x,y),Q(x,y)\right)</math> égal à <math>(-y,0)</math>, ou bien <math>(0,x)</math>, ou enfin <math>(-y/2,x/2)</math>, chacun de ces trois cas vérifiant <math>\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1 .</math>

Aire d'une astroïde

On traite ici l'exemple d'une astroïde, dont le bord C est paramétré par :

<math> t \mapsto(\cos^3t,\sin^3t),</math>

t variant de 0 à Modèle:Math. En prenant <math>P(x,y)\, \mathrm dx=-\frac y2\, \mathrm dx=\frac32\sin^4t\cos^2t\, \mathrm dt</math> et <math>Q(x,y)\, \mathrm dy=\frac x2\, \mathrm dy=\frac32\cos^4t\sin^2t\, \mathrm dt</math>, on obtient :

<math>\mathcal{A}(D)=\frac12\int_\mathcal{C} -y \mathrm dx + x \mathrm dy =\frac32\int_0^{2\pi}\cos^2t\sin^2t\,\mathrm dt.</math>

Après linéarisation, on en déduit que l'aire de l'astroïde est égale à Modèle:Sfrac.

Aire d'un polygone

Pour un polygone simple à Modèle:Math sommets Modèle:Math numérotés dans le sens trigonométrique positif, avec Modèle:Math, on obtient

<math>\mathcal{A}=\frac12\sum_{ i = 1 }^n (x_i+x_{i-1}) \, (y_i-y_{i-1})=-\frac12\sum_{ i = 1 }^n (x_i-x_{i-1}) \, (y_i+y_{i-1})</math>

ou encore

<math>\mathcal{A}=\frac12\sum_{ i = 1 }^n x_{i-1} \, y_i - x_i \, y_{i-1},</math>

expression qui peut s'interpréter comme la somme des aires des triangles Modèle:Math.

Note : dans la première relation, on observe qu'une translation ne modifie pas l'aire.