Théorème de Heine

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Le théorème de Heine, démontré par Eduard Heine en 1872<ref>Modèle:Ouvrage.</ref><ref>Modèle:Article.</ref>, s'énonce ainsi : toute application continue d'un espace métrique compact dans un espace métrique quelconque est uniformément continue. Cela implique notamment que toute fonction continue d'un segment Modèle:Math dans ℝ est uniformément continue.

Énoncé et démonstration pour les fonctions numériques

Énoncé

L'application, notée Modèle:Math, étant continue en tout point Modèle:Math, nous savons que :

<math>\forall x \in [a,b], \forall \varepsilon > 0, \exists\eta_{x,\varepsilon} > 0\quad\text{tel que}\quad\forall y \in [a,b], |x-y|<\eta_{x,\varepsilon} \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon.</math>

Le théorème de Heine permet d'affirmer plus : elle est uniformément continue, c'est-à-dire que Modèle:Math peut être choisi indépendamment de Modèle:Math, ce qui nous permet d'inverser les deux quantificateurs :

<math>\forall x\in[a,b],\exists\eta_{x,\varepsilon}\quad\text{en}\quad\exists\eta_\varepsilon,\forall x\in[a,b].</math>

L'uniforme continuité de Modèle:Math s'exprime en effet par :

Démonstration

Une première méthode<ref>Modèle:Note autre projet.</ref> est de raisonner par contraposée, en supposant Modèle:Math non uniformément continue et en prouvant qu'elle est alors discontinue en au moins un point, grâce à la propriété de Bolzano-Weierstrass dans ℝ (toute suite réelle bornée possède une sous-suite convergente).

Une autre est d'utiliser comme suit le théorème de Borel-Lebesgue (de tout recouvrement ouvert de Modèle:Math, on peut extraire un sous-recouvrement fini) :

Pour tout x et y de [a, b], on note Modèle:Math et, pour tout r > 0, Modèle:Math.

Fixons un Modèle:Math et posons, pour tout <math>x\in[a,b]</math>, <math>\beta_{x,\varepsilon}=\frac12\eta_{x,\varepsilon/2}</math> (où les <math>\eta_{x,\varepsilon/2}</math> sont donnés par la continuité de Modèle:Math).

La famille d'ouverts <math>\Big(B(x,\beta_{x,\varepsilon})\Big)_{x\in[a,b]}</math> est un recouvrement de Modèle:Math. Il existe donc une partie finie Z de Modèle:Math telle que Modèle:Retrait

Posons Modèle:Retrait Alors, pour tous <math>x,y\in[a,b]</math> tels que <math>d(x,y)<\eta</math>, en choisissant un <math>z\in Z</math> tel que <math>x \in B(z,\beta_{z,\varepsilon})</math> on obtient :

<math>d(x,z)<\beta_{z,\varepsilon}\text{ et }d(y,z)\le d(y,x)+d(x,z)<\eta+\beta_{z,\varepsilon}\le2\beta_{z,\varepsilon}=\eta_{z,\varepsilon/2}</math>

donc

<math>d(f(x),f(y))\leq d(f(x),f(z))+d(f(z),f(y))<\varepsilon/2+\varepsilon/2=\varepsilon.</math>

La valeur Modèle:Math trouvée étant bien indépendante de Modèle:Math, la continuité uniforme est démontrée.

Énoncé et démonstrations dans le cas général

Énoncé

On note Modèle:Math l'application, d la distance sur X et d' la distance sur Y. L'uniforme continuité de Modèle:Math s'exprime alors par : Modèle:Énoncé

Remarque

Par l'une ou l'autre des deux variantes de la « démonstration directe » ci-dessous, on obtient plus généralement que si <math>(Z,d)</math> et <math>(Y,d')</math> sont deux espaces métriques et <math>X</math> une partie compacte de <math>Z</math> alors, pour toute application continue <math>f:Z\to Y</math> :

<math>\forall\varepsilon>0\quad\exists\eta>0\quad\forall a\in X\quad\forall b\in Z\quad d(a,b)<\eta\Rightarrow d'(f(a),f(b))<\varepsilon</math>.

Démonstration directe

On peut reproduire la démonstration précédente en remplaçant simplement <math>[a, b]</math> par <math>X</math>, <math>\mathbb{R}</math> par <math>Y</math>, théorème de Borel-Lebesgue par définition de la compacité (ou même directement par précompacité), et valeur absolue de la différence par distance.

De même, la variante utilisant la propriété de Bolzano-Weierstrass s'adapte sans difficulté.

Démonstration par le théorème des bornes

Par « théorème des bornes » on entend ici la version générale suivante du théorème des bornes usuel :

Toute application continue d'un compact non vide dans ℝ atteint sa borne inférieure (et sa borne supérieure).

Pour tout Modèle:Math, en appliquant ce théorème au compact

<math>K:=\{(x,y)\in X\times X\mid d'(f(x),f(y))\ge\varepsilon\},</math>

et à l'application Modèle:Math, on obtient, si K est non vide, un Modèle:Math vérifiant la propriété voulue :

<math>\eta:=\inf d(K)>0.</math>

(Si K est vide, on peut choisir Modèle:Math arbitrairement.)

Articles connexes

• Lemme de Cousin
• Fonction réglée
• Fonction affine par morceaux