Théorème de Lindemann-Weierstrass
Modèle:Voir homonymes En mathématiques, le théorème de Lindemann-Weierstrass établit que si des nombres algébriques Modèle:Math sont linéairement indépendants sur le corps Q des nombres rationnels, alors leurs exponentielles Modèle:Math sont algébriquement indépendantes sur Q. En d'autres termes, l'extension QModèle:Math de Q est [[Extension de corps#Extension transcendante|transcendante de degré Modèle:Math]].
Une formulation équivalente du théorème est la suivante<ref name=Baker>Modèle:Ouvrage, Theorem 1.4.</ref> : si Modèle:Math sont des nombres algébriques distincts alors Modèle:Math sont linéairement indépendants sur le corps Modèle:Surligner des nombres algébriques, c'est-à-dire : Modèle:Retrait pour tous nombres algébriques Modèle:Math non tous nuls.
En 1882, ce théorème fut annoncé par Ferdinand von Lindemann à la fin de son article sur le cas particulier Modèle:Math, et fut aussitôt démontré par Karl Weierstrass, qui diffusa son manuscrit mais différa jusqu'en 1885 sa publication<ref name=Rowe>Modèle:Chapitre.</ref>,<ref>Modèle:Article.</ref>.
Le cas Modèle:Math
Modèle:Voir En 1882, Lindemann avait esquissé<ref name=Rowe/> la preuve du fait que pour tout nombre algébrique Modèle:Math non nul, le nombre Modèle:Math est transcendant (ce qui redémontrait que [[e (nombre)|Modèle:Math]] est transcendant et prouvait que [[pi|Modèle:Math]] l'est aussi). C'est le cas Modèle:Math du théorème démontré par Weierstrass.
En effet (avec la première formulation),
- Modèle:Math est non nul équivaut à : l'ensemble Modèle:Math est linéairement libre sur Q, et
- Modèle:Math est transcendant équivaut à : l'ensemble Modèle:Math est algébriquement libre sur Q
En utilisant la seconde formulation, on peut le réécrire :
- Modèle:Math est non nul équivaut à : Modèle:Math et Modèle:Math sont distincts, et
- Modèle:Math est transcendant équivaut à : Modèle:Math et Modèle:Math sont linéairement indépendants sur Modèle:Surligner.
Conjecture Modèle:Math-adique
L'analogue Modèle:Math-adique du théorème de Lindemann-Weierstrass est la conjecture suivante : Modèle:Citation
Notes et références
Modèle:Traduction/Référence Modèle:Références
Voir aussi
Articles connexes
Lien externe
Modèle:Lien web (démonstration tirée de Modèle:Harvsp et détaillée), sur le site PlanetMath.
