Fonction génératrice des probabilités

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Modèle:Confusion En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des probabilités, la fonction génératrice des probabilités (ou fonction génératrice des moments factoriels<ref name=":0">Modèle:Lien web</ref>,<ref>Modèle:Lien web</ref>,<ref>Modèle:Lien web</ref>) d'une variable aléatoire (à valeurs dans les entiers naturels) est la série entière associée à la fonction de masse de cette variable aléatoire. La fonction génératrice des probabilités est utile car elle permet de caractériser entièrement la fonction de masse. La fonction génératrice des probabilités est usuellement identifiée à sa somme.

Définition

Soit Modèle:Mvar une variable aléatoire entière et positive, la fonction génératrice des probabilités de Modèle:Mvar est la série entière

<math> G_X(t) :=\sum _{k\geq0} \mathbb{P}(X=k)t^k</math>

où <math>\mathbb{P}(X=k)</math> est la probabilité que la variable aléatoire Modèle:Mvar prenne la valeur Modèle:Mvar. La fonction génératrice des probabilités sera souvent confondue avec sa somme lorsque celle-ci converge.

Si Modèle:Formule est le rayon de convergence de la série entière, alors on remarque que la fonction <math> t \mapsto \mathbb{E}[t^X]</math> existe et est finie sur l'ensemble <math> ]-R,R[ \, \cup \, \{-1,1\}</math> (avec pour convention que Modèle:Math) et donc<ref>Cette égalité apparait souvent comme définition de la fonction génératrice des probabilités, mais dans ce cas, cette dernière perd son statut de série entière pour devenir une fonction définie sur un certain sous ensemble des nombres réels. Il ne faut pas se laisser abuser par le mot "fonction" dans "fonction génératrice des probabilités" car cette dernière est bel et bien une série entière ; sa somme en revanche est une fonction.</ref>

<math> G_X(t) = \mathbb{E}[t^X] ~~~ \forall t \in \, ]-R,R[ \, \cup \, \{-1,1\}</math>.

Si Modèle:Mvar est fini alors cette dernière égalité peut encore être vraie pour Modèle:Formule ou Modèle:Formule<ref>Si l'on s'autorise à prendre des valeurs infinies alors l'égalité <math>G_X(t) = \mathbb{E}[t^X] \in [0,+\infty]</math> est vraie pour tout Modèle:Formule. </ref>.

Les coefficients de la série entière étant des probabilités, Modèle:Mvar est supérieur ou égal à Modèle:Math. En effet, pour Modèle:Formule la série est uniformément convergente puisque <math> \left|\mathbb{P}(X=k)t^k \right| \leq {P}(X=k) </math> et que <math> \sum _{k\geq0}{P}(X=k)=1 </math>.

Si Modèle:Mvar est strictement supérieur à Modèle:Math alors Modèle:Mvar est développable en série entière au voisinage de Modèle:Math (car la somme d'une série entière est développable en série entière dans son disque ouvert de convergence), de plus Modèle:Mvar admet des moments factoriels de tout ordre finis<ref name=":0" /> et au voisinage de Modèle:Math on a<ref>Cette égalité explique pourquoi la fonction génératrice des probabilités est aussi appelée fonction génératrice des moments factoriels. Cependant il faut faire attention car la série entière générée par les moments factoriels peut avoir un rayon de convergence nul (les moments factoriels peuvent même ne pas être finis) tandis que la série entière générée par les probabilités a toujours un rayon de convergence supérieur ou égal à 1.</ref>

<math> G_X(t) = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{k!} \mathbb{E} \left[ (X)_k \right] (t-1)^k</math>

où <math> \mathbb{E} \left[ (X)_k \right]</math> désigne le Modèle:Mvar-ième moment factoriel de Modèle:Mvar.

Fonctions génératrices de lois usuelles

Fonctions génératrices de lois usuelles<ref>Pour alléger les notations on aura posé <math>q =1-p</math>. Dans le cas de la loi de Markov-Pólya on aura aussi posé <math>m=a+b</math> et <math>x^{(r,i)} := x(x+i)(x+2i)\dots(x+(r-1)i)</math>. La fonction Modèle:Math désigne la fonction bêta et <math>_2F_1</math> désigne la fonction hypergéométrique. Enfin on aura, par convention, considéré que Modèle:Mvar parmi Modèle:Mvar est nul dès que <math>k > n</math></ref>
Nom de la loi Paramètres Fonction de masse <math>k \mapsto \mathbb{P}(X=k)</math> Fonction génératrice Modèle:Mvar Rayon de convergence de Modèle:Mvar
Loi de Bernoulli <math>p</math> <math>p \mathbf{1}_{k=1} + q\mathbf{1}_{k=0}</math> <math>q+pt </math> <math>\infty</math>
Loi bêta-binomiale <math>n,\alpha,\beta</math> <math>\binom nk \frac{\mathrm{B}(k+\alpha,n-k+\beta)}{\mathrm{B}(\alpha,\beta)}</math> <math>\frac{_2F_1(-n,\alpha\,;\,1-\beta-n\,;\,t)}{_2F_1(-n,\alpha\,;\,1-\beta-n\,;\,1)}</math> Modèle:Math
Loi binomiale <math>n,p</math> <math>\binom nk p^kq^{n-k}</math> <math>(q+pt)^n</math> <math>\infty</math>
Loi binomiale négative <math>n,p</math> <math>\binom{n+k-1}{k} p^nq^k</math> <math>\left(\frac{p}{1-qt}\right)^n</math> <math>\frac 1q</math>
Loi binomiale négative étendue <math>r,p,m</math> <math> \frac{{r+k-1 \choose k} q^k }{p^{-r}-\sum_{i=0}^{m-1}{r+i-1 \choose i} q^i}\mathbf{1}_{k\geq m}</math> <math>\frac{(1-qt)^{-r}-\sum_{i=0}^{m-1}\binom{r+i-1}i (qt)^i} {p^{-r}-\sum_{i=0}^{m-1}\binom{r+i-1}i q^i}</math> <math>\frac 1q</math>
Loi géométrique <math>p</math> <math>q^{k-1}p \mathbf{1}_{k\geq 1}</math> <math>\frac{pt}{1-qt}</math> <math>\frac 1q</math>
Loi hypergéométrique <math>n,p,N</math> <math>\frac{\binom{pN}{k}\binom{qN}{n-k}}{\binom Nn}</math> <math>\frac{_2F_1(-n,-pN\,;\,1+qN-n\,;\,t)}{_2F_1(-n,-pN\,;\,1+qN-n\,;\,1)}</math> Modèle:Math
Loi logarithmique <math>p</math> <math>\frac{-p^k}{k\ln q} \mathbf{1}_{k \geq 1}</math> <math> \frac{\ln (1-pt)}{\ln q} </math> <math>\frac 1p</math>
Loi de Markov-Pólya <math>a,b,h,n</math> <math>\binom{n}{k}\frac{a^{(k,h)}b^{(n-k,h)}}{m^{(n,h)}}</math> <math>\frac{_2F_1(-n,\,a/h\,;\,1-b/h-n \,;\, t)}{_2F_1(-n,\,a/h\,;\,1-b/h-n \,;\, 1)}</math> Modèle:Math
Loi de Poisson <math>\lambda</math> <math>\frac {\lambda^k}{k!}\mathrm{e}^{-\lambda}</math> <math>\mathrm{e}^{\lambda(t-1)}</math> <math>\infty</math>
Loi uniforme discrète Modèle:Math, Modèle:Math, Modèle:Math <math>\frac1n \mathbf{1}_{a \geq k \geq b}</math> <math>t^a \frac{t^n-1}{t-1}</math> <math>\infty</math>

Propriétés

<math>\mathbb{E}[X]= G_X' (1)</math>.
<math> \mathbb{V}[X]=G_X (1) + G_X' (1) - G_X'(1)^2</math>.
<math> \mathbb{E}\left[(X)_k\right]=G_X^{(k)} (1)</math>.
  • Deux variables aléatoires à valeurs dans <math>\N</math> admettent la même fonction génératrice des probabilités si et seulement si elles ont la même loi de probabilité. Autrement dit la fonction génératrice des probabilités caractérise la loi. De plus on a
<math> G_X^{(k)}(0) =k! \mathbb{P}(X=k) ~~~\forall k \geq 0</math>.
  • Soient Modèle:Mvar et Modèle:Mvar deux variables aléatoires à valeurs dans <math>\N</math>. Si Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont indépendantes alors on a :
    <math>G_{X+Y}=G_X\times G_Y.</math>
    Remarque : La réciproque est fausse.
  • Si Modèle:Math, Modèle:Math, ..., Modèle:Mvar sont des variables aléatoires indépendantes, et si on pose
    <math>S_n = \sum_{i=1}^n a_i X_i</math>
    où les ai sont des constantes, alors
    <math>G_{S_n}(z) = \mathbb{E}(z^{S_n}) = \mathbb{E}(z^{\sum_{i=1}^n a_i X_i,}) = G_{X_1}(z^{a_1})G_{X_2}(z^{a_2})\cdots G_{X_n}(z^{a_n})</math>.
  • Si en plus les Modèle:Formulei ont tous la même loi (et donc même fonction génératrice Modèle:Mvar), alors la variable aléatoire
    <math>S_n = \sum_{i=1}^n X_i</math>
    a pour fonction génératrice :
    <math>G_{S_n}=G^n</math>.
  • Soit (Modèle:Mvar) une suite de variables aléatoires à valeurs dans <math>\N</math> et Modèle:Mvar une variable aléatoire aussi à valeurs dans <math>\N</math>. Alors les assertions suivantes sont équivalentes :

Composition des fonctions génératrices

La propriété suivante est particulièrement utile à l'étude des processus de Galton-Watson.

Modèle:Théorème</math>.

  • On suppose que <math>(N,X_1,X_2,...)</math> est une famille de variables aléatoires indépendantes.

Alors :

<math>G_{S_N}=G_N\circ G_X</math>.

}} Modèle:Démonstration.</math>

Par conséquent,

<math> \begin{align}

G_{S_N}(z) &= \mathbb{E}\left[z^{S_N}\right]\\ &= \mathbb{E}\left[z^{\sum_{n\ge 0}\ S_n\ 1\!\!1_{\{N= n\}}}\right]\\ &= \mathbb{E}\left[\sum_{n\ge 0}\ z^{S_n}\ 1\!\!1_{\{N= n\}}\right]\\ &= \sum_{n\ge 0}\ \mathbb{E}\left[z^{S_n}\ 1\!\!1_{\{N= n\}}\right]\\ &= \sum_{n\ge 0}\ \mathbb{E}\left[z^{S_n}\right]\times\mathbb{E}\left[1\!\!1_{\{N= n\}}\right]\\ &= \sum_{n\ge 0}\ G_{S_n}(z)\times\mathbb{P}\left(N= n\right)\\ &= \sum_{n\ge 0}\ \mathbb{P}\left(N= n\right)\times \left(G_{X}(z)\right)^n\\ &= G_N\left(G_X(z)\right).

\end{align}</math>

}}

Généralisation

L'égalité suivante <math>G_X(t) = \mathbb{E}[t^X]</math> permet de considérer la notion de fonction génératrice des moments factoriels d'une variable aléatoire Modèle:Mvar dans le cas où Modèle:Mvar prend des valeurs réelles et Modèle:Mvar des valeurs complexes (à condition que Modèle:Formule ou que Modèle:Math). Dans ce cadre plus général, Modèle:Mvar ne se voit plus comme la série entière associée à la fonction de masse mais comme une fonction à valeurs complexes définie sur un certain sous-ensemble du plan complexe. Cet ensemble de définition dépend bien-sûr de Modèle:Mvar mais il contiendra toujours le cercle unité. La restriction de Modèle:Mvar au cercle unité est équivalente à la fonction caractéristique Modèle:Mvar dans le sens où

<math>G_X(\mathrm{e}^{it}) = \phi_X(t) ~~~\forall t \in \mathbb{R}</math>.

En pratique la fonction caractéristique est presque exclusivement utilisée pour des variables aléatoires à valeurs réelles tandis que la fonction génératrice des probabilités est utilisée pour des variables aléatoires à valeurs dans les entiers naturels<ref>Cependant il faut garder à l'esprit que la fonction caractéristique est parfaitement bien définie pour une variable aléatoire à valeurs entières et que, dans ce cas, elle ne coïncide pas avec la fonction génératrice des probabilités. La fonction caractéristique n'est donc pas une généralisation, stricto sensu, de la fonction génératrice des probabilités.</ref>.

Notes et références

Modèle:Références

Voir aussi

Modèle:Autres projets

Bibliographie

Modèle:Portail

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