Constante de Catalan

Modèle:Voir homonymes En mathématiques, la constante de Catalan, portant le nom du mathématicien Eugène Charles Catalan, est le nombre défini par : Modèle:Retrait où <math>\beta</math> est la fonction bêta de Dirichlet.

Ses décimales sont répertoriées par la Modèle:OEIS.

On ne sait pas si la constante <math>K</math> est rationnelle ou irrationnelle.

Autres expressions

La constante <math>K</math> de Catalan est aussi égale à :

Expressions intégrales

• <math>I_1=\int_0^1 {\arctan u \over u} \, \mathrm du</math>
• <math>I_2={1\over2}\int_0^{\pi/2} \frac u{\sin u}\mathrm du</math>
• <math>I_3=- \int_0^1 {\ln u \over 1+u^2} \, \mathrm du= \int_1^{+\infty} {\ln u \over 1+u^2} \, \mathrm du</math>
• <math>I_4=- \int_0^{\pi/4} {\ln(\tan u) \, \mathrm du}=\int_0^{\pi/4} {\ln(\cot u) \,

\mathrm du} \overset{u\leftrightarrow 2u}{=} \frac14 \int_0^{\pi/2} \ln\left(\frac{1+\cos u}{1-\cos u}\right) \, \mathrm du </math>

• <math>I_5=\int_0^1 \int_0^1 \frac{\mathrm dx \mathrm dy}{1+x^2 y^2} </math>
• <math>I_6=\int_0^{1/\sqrt 2} { \arcsin u\over{u(1-u^2)}}\mathrm du</math>
• <math>I_7=\int_0^{\ln(1+\sqrt 2)} \arccos {(\operatorname{sh} u)} \,\mathrm du

\overset{\operatorname{sh}u\leftrightarrow u}{=}\int_0^1 \frac{\arccos u}{\sqrt{1+u^2}} \,\mathrm du</math>

• <math>I_8=\int_0^{\pi/2} \operatorname{argsh} {(\sin u)} \,\mathrm du\overset{\sin u\leftrightarrow u}{=}

\int_0^1 \frac{\operatorname{argsh} u}{\sqrt{1-u^2}} \,\mathrm du </math>

• <math>I_{9}={1\over 2}\int_0^{\pi/2} \operatorname{argth} {(\sin u)} \,\mathrm du

\overset{\sin u\leftrightarrow u}{=}{1\over 2}\int_0^1 \frac{\operatorname{argth} u}{\sqrt{1-u^2}} \,\mathrm du </math>

• <math>I_{10}=\int_0^{+\infty} \arctan (e^{-u}) \,\mathrm du</math>
• <math>I_{11}=\frac12 \int_0^{+\infty} \frac{u}{\operatorname{ch} u} \,\mathrm du</math>
• <math>I_{12}={1 \over 2} \int_0^1F(k)\, \mathrm dk\quad</math> où <math>\quad F(k) = \int_0^{\frac\pi2} \frac{\, \mathrm d\varphi}{\sqrt{1-k^2\sin^2 \varphi}}</math> est l'intégrale elliptique complète de première espèce
• <math>I_{13}=-{1 \over 2} +\int_0^1E(k)\, \mathrm dk\quad</math> où <math>\quad E(k) = \int_0^{\frac\pi2} {\sqrt{1-k^2\sin^2 \varphi}}\, \mathrm d\varphi</math> est l'intégrale elliptique complète de deuxième espèce
• <math>I_{14}={1\over4}\int_0^1 \int_0^1 \frac{\mathrm dx \mathrm dy}{(x+y)\sqrt{(1-x)(1-y)}} </math>
• <math>I_{15}=\int_{1/\sqrt2}^1 \frac{\operatorname{argth} u}{u\sqrt{2u^2-1}} \,\mathrm du

\overset{u\leftrightarrow \cos u}{=}\int_{0}^{\pi/4} \frac{\tan u\operatorname{argth} (\cos u)}{\sqrt{\cos 2u}} \,\mathrm du</math>

• <math>I_{16}=\int_{0}^{1/\sqrt2} \frac{\operatorname{argth} u}{{(1-u^2)}\sqrt{1-2u^2}} \,\mathrm du

\overset{u\leftrightarrow \sin u}{=}\int_{0}^{\pi/4} \frac{\operatorname{argth} (\sin u)}{\cos u\sqrt{\cos 2u}} \,\mathrm du</math>

Modèle:Démonstration \,\overset{u=tx}{=} \int_0^1 \frac{x\,\mathrm dt}{\sqrt{1+t^2x^2}}\,</math> donc <math>I_8=\int_0^{\pi/2} \int_0^1 \frac{\sin u}{\sqrt{1+t^2\sin^2u}}\,\mathrm dt \,\mathrm du =\int_0^{1} \int_0^{\pi/2} \frac{\sin u\,\mathrm du}{\sqrt{1+t^2\sin^2u}} \,\mathrm dt</math>

or <math>\int_0^{\pi/2} \frac{\sin u}{\sqrt{1+t^2\sin^2u}}\,\mathrm du\overset{v=\cos u}{=} \int_0^{1} \frac{\mathrm dv}{\sqrt{1+t^2-t^2v^2}}={1\over t} \arcsin {t \over \sqrt{1+t^2}}={\arctan {t }\over t} </math> donc <math>I_8=I_1</math> ;

variante : posons <math>f(x)=\int_0^{\pi/2} \operatorname{argsh} {(x\sin u)} \,\mathrm du</math> ; alors <math>f'(x)=\int_0^{\pi/2} \frac{\sin u}{\sqrt{1+x^2\sin^2 u}} \,\mathrm du={\arctan x\over x}</math> comme ci-dessus, donc <math>I_8=f(1)=\int_0^1f'(x)dx=\int_0^1\frac{\arctan(x)}{x}\mathrm dx=I_1</math>;

démonstration de <math>I_4</math> = <math>I_9</math>

<math>\int_0^{\pi/4} {\ln(\cot(u)) \, \mathrm du}={1\over 2}\int_0^{\pi/2} {\ln(\cot(2u)) \, \mathrm du} ={1\over 2}\int_0^{\pi/2} {\ln\sqrt{{1+\cos u}\over{1-\cos u}} \, \mathrm du} ={1\over 2}\int_0^{\pi/2} {\operatorname{argth}\cos u \, \mathrm du} ={1\over 2}\int_0^{\pi/2} {\operatorname{argth}\sin u \, \mathrm du}</math>

on passe de <math>I_{10}</math> à <math>I_2</math> en posant <math>e^{-u}=\tan{v\over2}</math>;

on passe de <math>I_{11}</math> à <math>I_3</math> en posant <math>u=\ln v</math>;

on passe de <math>I_{12}</math> et <math>I_{13}</math> à <math>I_2</math> en intervertissant les signes d'intégration;

passage de <math>I_{14}</math> à <math>I_{15}</math> :

<math>\int_0^1 \frac{\mathrm dx}{(x+y)\sqrt{(1-x)(1-y)}}= \left [ \frac{-2 \operatorname{argth}\sqrt{1-x \over{1+y}}}{\sqrt{1-y^2}} \right ]_0^1= \frac{2 \operatorname{argth}\sqrt{1 \over{1+y}}}{\sqrt{1-y^2}} </math>

donc <math>I_{14}={1\over4}\int_0^1 \int_0^1 \frac{\mathrm dx \mathrm dy}{(x+y)\sqrt{(1-x)(1-y)}} =\int_0^1 {\frac{ \operatorname{argth}\sqrt{1 \over{1+y}}}{2\sqrt{1-y^2}}}\mathrm dy \overset{u=1/{\sqrt{1+y}}}=\int_{1/\sqrt2}^1 \frac{\operatorname{argth} u}{u\sqrt{2u^2-1}} \,\mathrm du=I_{15} </math>

pour <math>I_{14}</math> et <math>I_{16}</math>, voir la référence Bradley ci-dessous, pages 23 et 11. }}

Développements en série

Cette constante peut aussi être définie par la fonction de Clausen : Modèle:Retrait ce qui nous donne les formules suivantes :

• <math> K=- \int_0^\frac\pi2\ln\biggl(2 \sin{u\over 2}\biggr) \,\mathrm du</math>,
• <math>K=\frac\pi2\left(1-\ln\left(\frac\pi2\right) + \sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta(2n)}{n(2n+1)} \left(\frac14\right)^{2n}\right)</math>,
• <math> K=\frac\pi2\left(3-\ln\left(\frac{15\pi}{32}\right)

-4 \ln \left( \frac53\right) +\sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta(2n)-1}{n(2n+1)} \left(\frac14\right)^{2n}\right) </math>.

Puisque <math>K</math> est l'image de 2 par la fonction bêta, nous avons un lien avec le polylogarithme : Modèle:Retrait d'où : Modèle:Retrait

Utilisation

Modèle:Mvar apparaît en combinatoire, ainsi que dans les valeurs de la fonction polygamma de deuxième ordre, aussi appelée la Modèle:Lien : Modèle:Retrait Modèle:Retrait

Simon Plouffe donne une famille infinie d'identités entre la fonction trigamma, <math>\pi^2</math> et la constante de Catalan.

Modèle:Mvar apparaît aussi dans la loi sécante hyperbolique.

Séries convergeant rapidement

Les deux formules suivantes convergent rapidement vers Modèle:Mvar et sont donc appropriées pour le calcul numérique :

<math>K = \,</math>	<math>3 \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^{4n}} \left( -\frac1{2(8n+2)^2} +\frac1{2^2(8n+3)^2} -\frac1{2^3(8n+5)^2} +\frac1{2^3(8n+6)^2} -\frac1{2^4(8n+7)^2} +\frac1{2(8n+1)^2} \right) -</math>
	<math> 2 \sum_{n=0}^\infty \frac1{2^{12n}} \left( \frac1{2^4(8n+2)^2} +\frac1{2^6(8n+3)^2} -\frac1{2^9(8n+5)^2} -\frac1{2^{10} (8n+6)^2} -\frac1{2^{12} (8n+7)^2} +\frac1{2^3(8n+1)^2} \right)</math>

et Modèle:Retrait

Les calculs théoriques pour cette série ont été donnés par Broadhurst<ref>{{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} D. J. Broadhurst, Polylogarithmic ladders, hypergeometric series and the ten millionth digits of ζ(3) and ζ(5), arXiv : math.CA/9803067, 1998.</ref>.

Décimales connues

Le nombre de chiffres connus de la constante de Catalan a augmenté radicalement pendant les dernières décennies. Ceci est dû à l'augmentation des performances des ordinateurs et aux améliorations algorithmiques<ref>{{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Constants and Records of Computation sur le site de X. Gourdon et P. Sebah.</ref>.

Nombres de chiffres connus de la constante de Catalan

Date	Décimales	Calculé par
2009	31 026 000 000	R. Shan et A. J. Yee
Octobre 2006	5 000 000 000	indicationDeLangue}} Value of Catalan constant sur le site de Shigeru Kondo.</ref>
2002	201 000 000	Xavier Gourdon et Pascal Sebah
2001	100 000 500	Xavier Gourdon et Pascal Sebah
4 janvier 1998	12 500 000	Xavier Gourdon
1997	3 379 957	Patrick Demichel
1996	1 500 000	Thomas Papanikolaou
29 septembre 1996	300 000	Thomas Papanikolaou
14 août 1996	100 000	Greg J. Fee et Simon Plouffe
1996	50 000	Greg J. Fee
1990	20 000	Greg J. Fee
1913	32	James W. L. Glaisher
1877	20	James W. L. Glaisher

Voir aussi

Bibliographie

• Modèle:Article
• Modèle:Ouvrage
• François Le Lionnais, Les nombres remarquables, Hermann, 1983 puis 1999 Modèle:ISBN
• Modèle:Ouvrage
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