Fraction dyadique
En mathématiques, une fraction dyadique ou rationnel dyadique est un nombre rationnel qui peut s'écrire sous forme de fraction avec pour dénominateur une puissance de deux<ref>Modèle:Lien web</ref>. On peut noter l'ensemble des nombres dyadiques formellement par
Par exemple, 1/2 ou 3/8 sont des fractions dyadiques, mais pas 1/3.
De même que les nombres décimaux sont les nombres qui ont un développement décimal fini<ref>Modèle:Lien web</ref>, les fractions dyadiques sont les nombres qui ont un développement binaire fini.
Le pouce est habituellement divisé de manière dyadique plutôt qu'en fractions décimales ; de manière similaire, les divisions habituelles du gallon en demi-gallons, quarts et pintes sont dyadiques. Les anciens égyptiens utilisaient aussi les fractions dyadiques dans les mesures, avec le numérateur 1 et des dénominateurs allant jusqu'à 64.
L'ensemble de toutes les fractions dyadiques est dense dans l'ensemble des nombres réels ; un nombre réel quelconque x est limite de la suite de rationnels dyadiques ⌊2nx⌋/2n.
Comparé aux autres sous-ensembles denses de la droite réelle, tels que les nombres rationnels, c'est un ensemble plutôt « petit » en un certain sens, c'est pourquoi il apparaît quelquefois dans les démonstrations de topologie comme le lemme d'Urysohn.
La somme, la différence ou le produit de deux fractions dyadiques quelconques est elle-même une fraction dyadique :
- <math>\frac{a}{2^b}+\frac{c}{2^d}=\frac{2^da+2^bc}{2^{b+d}}</math>
- <math>\frac{a}{2^b}-\frac{c}{2^d}=\frac{2^da-2^bc}{2^{b+d}}</math>
- <math>\frac{a}{2^b}\times \frac{c}{2^d} = \frac{ a \times c}{2^{b+d}}.</math>
Par contre, le quotient d'une fraction dyadique par une autre n'est pas, en général, une fraction dyadique. Ainsi, les fractions dyadiques forment un sous-anneau du corps ℚ des nombres rationnels. Ce sous-anneau est le localisé de l'anneau ℤ des entiers par rapport à l'ensemble des puissances de deux.
Les nombres surréels sont générés par un principe de construction itérative qui commence en générant toutes les fractions dyadiques finies, puis conduit à la création de nouvelles et étranges sortes de nombres infinis, infinitésimaux et autres.
Solénoïde dyadique
En tant que groupe abélien additif, l'ensemble des rationnels dyadiques est la limite inductive des sous-groupes monogènes infinis
- <math>2^{-n}\Z</math>
pour n = 0, 1, 2, ... . Dans l'esprit de la dualité de Pontriaguine, il existe un objet dual, nommément la limite projective du groupe du cercle unité sous l'application carrée répétée
- <math>\zeta \rightarrow \zeta^2.</math>
Le groupe topologique résultant D est appelé le solénoïde dyadique.
Un élément du solénoïde dyadique peut être représenté comme une suite infinie de nombres complexes :
- <math>q_0, q_1, q_2, \ldots\,</math>, avec la propriété que chaque qi se place sur le cercle unité et que, pour tous les i > 0,
- <math>q_i^2 = q_{i-1}.</math>
L'opération de groupe sur ces éléments multiplie deux suites quelconques convenablement.
En tant qu'espace topologique, c'est un continu indécomposable.
