Nombre plastique
Le nombre plastique, de symbole Modèle:Mvar (à lire psi), est l'unique solution réelle de l'équation du troisième degré :
C'est un entier algébrique de degré 3, qui s'exprime par radicaux imbriqués :
et dont une valeur approchée<ref>{{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Decimal expansion of real root of x3-x-1 (sometimes called the silver constant, or the plastic constant) : Modèle:OEIS (contient d'autres références utiles).</ref> est 1,3247.
À l'instar du nombre d'or, il est à la base d'un système de proportions qui fait partie d’une méthode générale de conception en arts plastiques. En ce qui concerne le nombre plastique, ce système a été introduit par Hans van der Laan (1904-1991), moine bénédictin et architecte des Pays-Bas. Il fut également étudié par l’ingénieur polytechnicien français Gérard Cordonnier, qui appelle ce nombre le nombre radiant<ref name="Ravatin">Modèle:Article.</ref>.
Le nombre plastique est lié à la suite de Padovan.
Propriétés algébriques
Le nombre plastique est la solution réelle de l'équation Modèle:Math. Il s'exprime donc comme itération infinie de racines cubiques :
- <math>\psi = \sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1+\cdots}}}}</math>.
Les deux autres solutions de l'équation sont deux nombres complexes conjugués, racines de l'équation du second degré Modèle:Math. Le nombre Modèle:Mvar est le plus petit nombre de Pisot.
De l'égalité Modèle:Math, on déduit :
- <math>\forall n\in\Z\quad\psi^n=P_{n-4}\psi^2+P_{n-3}\psi+P_{n-5}</math>
où Modèle:Math est la suite de Padovan (prolongée de façon naturelle aux indices négatifs). Par exemple :
- <math>\psi^4=\psi^2+\psi</math>,
- <math>\psi^5 = \psi^2+\psi+1</math>,
égalités directement liées au découpage d'un segment imaginé par Gérard Cordonnier Modèle:Infra.
On peut citer aussi
- <math>\psi^{-4}= \psi -1</math>,
qui fait de Modèle:Mvar le seul nombre à être, avec le nombre d'or, un nombre morphique. Un nombre morphique est un nombre réel qui est solution conjointe de deux équations de la forme
- <math>x^n=x + 1 \quad \text{ et }\quad x^{-p} = x - 1</math>
où Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont des entiers naturels non nuls. Ce résultat fut démontré en 2001 par Jan Aarts, Robbert Fokkink et Godfried Kruijtzer<ref>{{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} J. Aarts, R. Fokkink et G. Kruijtzer, « Morphic numbers ».</ref>.
Le nombre Modèle:Mvar est la limite de la suite des quotients de termes consécutifs de la suite de Padovan
- <math>\frac 11,\, \frac 11,\, \frac 21,\, \frac 22,\, \frac 32,\, \frac 43,\, \frac 54,\, \frac 75 ,\, \frac 97,\, \frac {12}9,\,\frac{16}{12},\, \frac{21}{16},\,\frac{28}{21},\, \frac{37}{28},\,\frac{49}{37},\, \frac{65}{49},\,\frac{86}{65},\, \frac{114}{86},\,\frac{151}{114},\, \frac{200}{151},\,\frac{265}{200},\, \dots</math>
Les deux derniers quotients fournissent un encadrement de Modèle:Mvar inférieur à Modèle:Math.
Certaines puissances de Modèle:Mvar s'expriment comme sommes de séries géométriquesModèle:Refsou : pour Modèle:Math, on a
- <math>\sum^\infty_{k=0}\frac1{\psi^{pk}}=\frac{\psi^p}{\psi^p-1}=\psi^q</math> si et seulement si <math>\psi^p+\psi^q=\psi^{p+q}</math> (exemples : Modèle:Math).
Propriétés géométriques
En 1924, Gérard Cordonnier invente une variante de la division d'un segment entre moyenne et extrême raison en imaginant le découpage d'un segment en trois parties définissant 6 sections en progression géométrique. Il démontre que la progression géométrique est de rapport Modèle:Mvar, racine du polynôme Modèle:Math. Il appelle ce nombre « nombre radiant » et en étudie les propriétés tant mathématiques qu'esthétiques et symboliques. En 1958, il décide d'écrire un livre, Au-delà du nombre d'or : le nombre radiant, qu'il n'aura jamais le temps de terminer<ref name="Ravatin"/>.
D'après l'architecte et moine Hans van der Laan, les dimensions respectives de deux objets sont perceptibles lorsque la plus grande dimension d'un objet est égale à la somme des deux plus petites dimensions de l'autre<ref>{{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Richard Padovan, « Dom Hans Van Der Laan and the Plastic Number », in Nexus, vol. IV : Architecture and Mathematics, 2002, Kim Williams Books, p. 181-193.</ref>. Le principe est de construire une pièce dont les dimensions soient telles que, quand on remplace la plus petite dimension par la somme des deux plus petites, on obtient la plus grande dimension d'une pièce de mêmes proportions que la précédente. Si on appelle Modèle:Math les trois dimensions de la pièce, cette condition se traduit par :
- Modèle:Math et Modèle:Math sont proportionnels,
soit encore :
- <math>\frac{l_2}{l_1} = \frac{l_3}{l_2}=\frac{l_1+l_2}{l_3}</math>.
Si l'on appelle Modèle:Mvar le rapport Modèle:Math, ces égalités se traduisent par
- <math>l_2=\psi l_1\quad l_3 = \psi^2 l_1\quad 1+\psi=\psi^3</math>
où l'on reconnait en Modèle:Mvar l'unique racine réelle de Modèle:Math.
Les dimensions de la pièce en question sont, donc, en rapport de Modèle:Mvar.
L'architecte Padovan, reprenant les calculs de Van der Laan, montre qu'en partant d'un cube et, en remplaçant systématiquement la plus petite des dimensions par la somme des deux plus grandes, on obtient, au bout de plusieurs itérations, un pavé dont les dimensions se rapprochent de celles d'un pavé recherché. Il construit à cet effet une suite qui porte son nom.
Cette construction est à rapprocher de celle du rectangle d'or, en dimension 2, et de la suite de Fibonacci. Cette ressemblance fait dire à Ian Stewart que le nombre plastique est le Modèle:Citation<ref>Modèle:Lien web. Voir aussi Modèle:Ouvrage.</ref>.
Notes et références
Voir aussi
Bibliographie
Il existe deux ouvrages étudiant le nombre radiant ou nombre plastique :
- Le Nombre plastique, quinze leçons sur l'ordonnance architectonique, de Hans van der Laan, trad. du manuscrit hollandais par Dom Xavier Botte, Leiden, E.J. Brill, 1960
- Théorie des formes et des champs de cohérences, de Jacques Ravatin, Anne-Marie Branca, Éditions du Cosmogone, 1998
Articles connexes
Liens externes
- Modèle:Lien web
- Modèle:MathWorld (avec d'autres références utiles)
- Modèle:Lien web (nombre d'or, nombre d'argent, nombre plastique)
