Nombre pyramidal carré
12 + 22 + 32 + 42 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30.
En arithmétique géométrique, un nombre pyramidal carré est un nombre figuré qui peut être représenté par une pyramide de base carrée, dont chaque couche représente un nombre carré.
Les dix premiers<ref>Pour les 1 000 premiers, voir ce lien de la Modèle:OEIS.</ref> sont 1, 1+4 = 5, 5+9 = 14, 14+16 = 30, 55, 91, 140, 204, 285 et 385.
On montre par récurrence que pour tout entier Modèle:Mvar ≥ 1, le Modèle:Mvar-ième nombre pyramidal carré, somme des Modèle:Mvar premiers nombres carrés, est égal à :
Propriétés
Les deux seuls nombres pyramidaux carrés qui sont des nombres carrés sont P1(4) = 1 = 12 et P24(4) = 4 900 = 702. Ce résultat, conjecturé par Édouard Lucas en 1875, fut achevé d'être prouvé par George Neville Watson en 1918<ref>Modèle:MathWorld.</ref>, ce qui résout le « problème des boulets de canon<ref>Modèle:MathWorld.</ref> » : peut-on former, avec le même nombre de boulets, un carré étalé au sol et une pyramide de base carrée ?
Le Modèle:Mvar-ième nombre pyramidal carré est le quart du (2Modèle:Mvar)-ième nombre tétraédrique.
La somme des Modèle:Mvar-ième et (Modèle:Mvar – 1)-ième nombres pyramidaux carrés est le Modèle:Mvar-ième nombre octaédrique<ref>Modèle:Ouvrage.</ref>.
Un exemple : Nombre de carrés dans une grille carrée
Combien y a-t-il de carrés distincts dans une grille carrée Modèle:Mvar x Modèle:Mvar ?
- Le nombre de carrés 1 x 1 est Modèle:Mvar2.
- Le nombre de carrés 2 x 2 est (Modèle:Mvar - 1)² , comme on peut le voir en formant une première ligne de carrés 2 x 2 en haut de la grille.
- Plus généralement, le nombre de carrés k x k (1 ≤ k ≤ n) est (n − k + 1)2.
Le nombre total de carrés (petits et grands) est alors donné par le nombre pyramidal carré correspondant : 1 carré dans une grille 1 x 1, 5 carrés (un 2 x 2 et quatre 1 x 1 ) dans une grille 2 x 2, ... 55 carrés de taille 1, 2, 3, 4 ou 5 dans une grille 5 x 5...
