Théorie du chaos

Modèle:Voir homonymesModèle:Infobox Concept historique La théorie du chaos est une théorie scientifique rattachée aux mathématiques et à la physique qui étudie le comportement des systèmes dynamiques sensibles aux conditions initiales, un phénomène généralement illustré par l'effet papillon.

Dans de nombreux systèmes dynamiques, des modifications infimes des conditions initiales entraînent des évolutions rapidement divergentes, rendant toute prédiction impossible à long terme. Bien que ce soient des systèmes déterministes, dont le comportement futur est déterminé par les conditions initiales, sans aucune intervention du hasard, ils sont imprévisibles (au moins dans le détail) car on ne peut pas connaître les conditions initiales avec une précision infinie<ref group="alpha">Quand on procède au calcul numérique des solutions d'un système différentiel on peut imposer des conditions initiales exactes (par exemple via des nombres entiers), mais s'il s'agit d'un système dynamique sensible aux conditions initiales le résultat du calcul reste chaotique en raison des erreurs d'arrondi, qui ont le même effet que de petites variations des conditions initiales : le résultat des calculs sera reproductible sur un même ordinateur, mais pourrait être complètement différent d'un ordinateur à l'autre.</ref>.

Ce comportement paradoxal est connu sous le nom de chaos déterministe, ou tout simplement de chaos.

Le comportement chaotique est à la base de nombreux systèmes naturels, tels que la météo ou le climat. Ce comportement peut être étudié grâce à l'analyse par des modèles mathématiques chaotiques, ou par des techniques analytiques de récurrence et des applications de Poincaré. La théorie du chaos a des applications en météorologie, climatologie, sociologie, physique, informatique, ingénierie, économie, biologie et philosophie.

Introduction

Étymologie

La notion de chaos renvoie à un concept qui remonte à l'Antiquité, dans la perspective d'une explication du monde reposant sur le principe de l'harmonie et du cosmos. C'est un concept de philosophie avant d'être un concept des mathématiques.

Définition heuristique d'un système chaotique

Un système dynamique est dit chaotique si une portion « significative » de son espace des phases présente simultanément les deux caractéristiques suivantes :

• le phénomène de sensibilité aux conditions initiales ;
• une forte récurrence.

La présence de ces deux propriétés entraîne un comportement extrêmement désordonné, qualifié à juste titre de « chaotique ». Les systèmes chaotiques s'opposent notamment aux systèmes intégrables de la mécanique classique, qui furent longtemps les symboles d'une régularité toute puissante en physique théorique. La dynamique quasi périodique d'un système intégrable semblait elle-même trouver son illustration parfaite dans les majestueux mouvements des planètes du Système solaire autour du Soleil ; aussi Voltaire, qui incita Émilie du Châtelet à entreprendre la traduction des Philosophiae naturalis principia mathematica de Newton, parlait de Dieu comme du « Grand Horloger »…

Qu'est-ce que la « théorie du chaos » ?

Au cours de son histoire, la physique théorique s'était déjà trouvée confrontée à la description de systèmes complexes macroscopiques, comme un volume de gaz ou de liquide, mais la difficulté à décrire de tels systèmes semblait découler du très grand nombre de degrés de liberté internes du système à l'échelle microscopique (atomes, molécules). La mécanique statistique avait dans ce cas permis de rendre compte de façon satisfaisante des propriétés macroscopiques de ces systèmes à l'équilibre. Ce fut donc une grande surprise lorsqu'on s'aperçut à la fin du Modèle:Lien siècleModèle:Vérification siècle qu'une dynamique d'une grande complexité pouvait résulter d'un système simple possédant un très petit nombre de degrés de liberté<ref group=alpha>Pour un système dynamique différentiable inversible décrit par une équation différentielle (resp. l'itération d'une application suivant des temps discrets), trois (resp. deux) degrés de liberté suffisent. Pour un système dynamique décrit par l'itération d'une application différentiable non inversible suivant des temps discrets, un degré de liberté est suffisant. L'exemple paradigmatique est le doublement d'angle sur le cercle.

Pour des dimensions inférieures, la classification de Poincaré des homéomorphismes du cercle et le théorème de Poincaré-Bendixson sur les difféomorphismes de surface interdisent la présence d'une dynamique chaotique.</ref>, pourvu qu'il possède cette propriété de sensibilité aux conditions initiales.

La théorie du chaos s'attache principalement à la description de ces systèmes à petit nombre de degrés de liberté, souvent très simples à définir, mais dont la dynamique nous apparaît comme très désordonnée<ref group=alpha>Bien sûr, un système complexe peut aussi posséder une dynamique d'une grande complexité : mentionnons par exemple les phénomènes météorologiques ou l'économie.</ref>.

Chronologie de la théorie du chaos

Le déterminisme de Laplace

La question de départ était de prédire le mouvement de la Lune, question posée par les astronomes. Pierre-Simon de Laplace a émis l'hypothèse de la stabilité du Système solaire en utilisant la théorie des perturbations au premier ordre. Mais le développement perturbatif au premier ordre est insuffisant pour conclure définitivement. Un siècle après Laplace, Henri Poincaré s'est donc emparé du problème.

La découverte du phénomène de sensibilité aux conditions initiales par Henri Poincaré

Le phénomène de sensibilité aux conditions initiales a été découvert dès la fin du Modèle:Lien siècleModèle:Vérification siècle par Henri Poincaré, dans des travaux concernant le problème à N corps en mécanique céleste (notamment dans le volume 3 des Méthodes Nouvelles de la Mécanique Céleste), puis par Jacques Hadamard avec un modèle mathématique abstrait aujourd'hui baptisé « flot géodésique sur une surface à courbure négative ». Cette découverte a entraîné un grand nombre de travaux importants, principalement dans le domaine des mathématiques. Ces travaux sont évoqués dans le paragraphe Développements historiques situé plus loin.

Études de Mary Lucy Cartwright dans les années 1930

Mary Lucy Cartwright, mathématicienne britannique, à partir de 1938, noue une collaboration d’une dizaine d’années avec Littlewood et devient une pionnière de l’étude du chaos<ref>Modèle:Ouvrage</ref>.

Élaboration de la théorie du chaos dans les années 1970

Fichier:Lorenz attractor boxed.svg

Attracteur étrange de Lorenz (1963).

Ce n’est véritablement que dans les années 1970 que la théorie du chaos s'est progressivement imposée sur le devant de la scène scientifique, opérant une rupture épistémologique forte. Le terme suggestif de « chaos » n'a d'ailleurs été introduit qu'en 1975 par les deux mathématiciens Tien-Yien Li et James A. Yorke<ref>Cf. Modèle:Article.</ref>. Otto E. Rössler, connu pour avoir découvert l'un des attracteurs chaotiques le plus étudié (et appelé aujourd'hui attracteur de Rössler<ref>Modèle:Article.</ref>), utilisa le terme de « chaos » dans la plupart de ses articles dès 1976. Le caractère tardif de ce changement de paradigme s'explique aisément : la théorie du chaos doit en effet sa popularisation aux progrès fulgurants de l'informatique à partir des années 1960-70. Cette science nouvelle a en effet rendu accessible aux non-mathématiciens la visualisation directe de l'incroyable complexité de ces systèmes dynamiques, auparavant réservée aux seuls « initiés » capables d'absorber le formalisme mathématique idoine.

À titre d'illustration, la figure ci-contre est un exemple typique d'images produites par la théorie du chaos ; il s'agit ici d'un objet géométrique découvert par Lorenz en 1963, et initialement baptisé « attracteur étrange » à la suite de l'introduction de ce concept par David Ruelle et Floris Takens<ref>Modèle:Article.</ref>. (Cet objet sera commenté plus bas, au paragraphe : Lorenz et la météorologie.)

La théorie du chaos est une théorie scientifique. Elle repose sur la représentation des solutions des équations différentielles dans l'espace des phases associé : représenter les solutions sous forme de trajectoire dans l'espace plutôt que l'une des variables en fonction du temps permet de révéler la structure sous-jacente : c'est ce qui conduit à affirmer que la théorie du chaos contribue à « trouver de l'ordre caché sous un désordre apparent »<ref>Cf. Modèle:Ouvrage</ref>. L'attracteur de Lorenz précédemment représenté est un exemple d'une évolution d'un système dans l'espace des phases. Au déterminisme laplacien permettant la prédiction sur des temps arbitrairement longs a succédé un déterminisme de nature fondamentalement différente. Il peut être approché de manière probabiliste<ref>Cf. Modèle:Ouvrage.</ref> et alors caractérisé par l'existence d'invariants prenant la forme de mesures de probabilités, de dimension fractale… ou par une description topologique des attracteurs<ref>Modèle:Ouvrage</ref>. Toutes les sciences, y compris sociales, sont concernées<ref>Modèle:Ouvrage</ref><ref>Modèle:Ouvrage</ref><ref>Article de vulgarisation, en anglais, sur le sujet de la théorie du chaos en sciences sociales : "Social Sciences : Chaos Theory; An Overview, by Ashley Crossman, 2017 Lire en ligne</ref><ref>Alain Degenne. Les attracteurs. 2014. Lire en ligne</ref> par ce changement de paradigme ; en particulier, cette théorie peut inclure l'organisation du vivant dans la nature<ref>A. Hastings, C. L. Hom, S. Ellner, P. Truchin & H. C. J. Godfray, « Chaos in ecology : is Mother Nature a strange attractor ? », Annual Reviews of Ecology and Systematics, vol. 24, 1–33, 1993.</ref>.

Le déterminisme, de Laplace à Poincaré

La stabilité du Système solaire

Le point de départ de la théorie du chaos est le problème à « 3 corps » qui consiste à étudier le mouvement de trois corps en interaction gravitationnelle, comme le système : { Soleil - Terre - Lune }, supposé isolé du reste de l'univers. Le but de cette recherche est de déterminer si le Système solaire est « stable » sur le long terme, ou bien si l'un des corps risque un jour de percuter un autre corps, ou encore être éjecté du Système solaire vers l'infini.

Le problème à 3 corps est aussi vieux que la mécanique newtonienne : en effet, dès la naissance de cette théorie, son fondateur s'est intéressé au problème à trois corps dans le but de prédire le mouvement de la Lune. Tous les astronomes à sa suite ont abordé ce problème, dont Laplace, qui crut avoir prouvé la stabilité du Système solaire en utilisant la théorie des perturbations au premier ordre. Mais en réalité, le développement perturbatif au premier ordre est insuffisant pour conclure définitivement, et un siècle après Laplace, Henri Poincaré s'est donc emparé du problème. On examine ci-dessous l'évolution des idées qui distinguent la pensée de Laplace de celle de Poincaré.

Notion de système dynamique différentiel conservatif

Pour un système possédant n degrés de libertés, l'espace des phases <math>\Gamma </math> du système possède 2n dimensions, de telle sorte que l'état complet <math>x(t) \in \Gamma </math> du système à l'instant t est en général un vecteur à 2n composantes. On considère alors typiquement un système différentiel du premier ordre du type<ref>Rappelons qu'une équation différentielle d'ordre n peut toujours se ramener à un système de n équations différentielles couplées d'ordre un.</ref> :

<math>\frac{dx(t)}{dt} \ = \ f(x(t),t) </math>

où la fonction f définit le système dynamique étudié (c'est en général également un vecteur à n dimensions, c’est-à-dire un ensemble de n fonctions scalaires). Ce système physique, supposé conservatif, est déterministe si et seulement si la dynamique du système associe à chaque condition initiale <math>x_0</math> un et un seul état final <math>x(t)</math>. Il faut pour cela qu'il existe une application bijective <math>\phi_t : \Gamma \to \Gamma </math> de l'espace des phases sur lui-même telle que :

<math>x(t) \ = \ \phi_t(x_0)</math>

Lorsque le temps t varie, cette bijection engendre un flot sur <math>\Gamma </math>, c’est-à-dire un groupe continu à un paramètre <math>\phi_t</math>. Cette modélisation mathématique correspond par exemple au flot hamiltonien de la mécanique classique, ainsi qu'au flot géodésique.

Laplace, ou le déterminisme triomphant

Modèle:Loupe Fort des succès obtenus en mécanique céleste, Laplace écrit en 1814 dans l’introduction de son Essai philosophique sur les probabilités<ref>Modèle:Ouvrage, consulté le 27 juin 2013.</ref> :

Ce texte aujourd'hui célèbre est en réalité largement prophétique, au sens où Laplace ne possède pas le théorème général d'existence et d'unicité de la solution d'une équation différentielle, qui sera démontré ultérieurement, et fait l'objet du paragraphe suivant.

Le théorème de Cauchy-Lipschitz

C'est le mathématicien Cauchy qui énonce en 1820 le théorème général d'existence et d'unicité de la solution d'une équation différentielle. Lipschitz lui donnera sa forme définitive en 1868.

Poincaré et l'imprédictibilité

Environ un siècle après Laplace, Poincaré écrit dans l'introduction de son Calcul des Probabilités<ref>Henri Poincaré ; Calcul des probabilités, Gauthier-Villars (Paris - Modèle:2e, 1912). Réimpression : Éditions Jacques Gabay (Paris-1987).</ref><ref>Modèle:Pdf Modèle:Lien web</ref> un texte dont la tonalité est fort différente de celui de son illustre prédécesseur. C'est entre 1880 et 1910, que Poincaré, qui cherche à prouver la stabilité du Système solaire, découvre un nouveau continent issu des équations de Newton et jusqu'alors inexploré.

Sensibilité aux conditions initiales

Dans le paragraphe précédent, Poincaré met en exergue le phénomène connu aujourd'hui sous la dénomination de sensibilité aux conditions initiales : pour un système chaotique, une très petite erreur sur la connaissance de l'état initial x₀ dans l'espace des phases va se trouver (presque toujours) rapidement amplifiée.

Quantitativement, la croissance de l'erreur est localement exponentielle pour les systèmes fortement chaotiques, baptisés selon la théorie ergodique K-systèmes (le K est pour Kolmogorov), ainsi que pour les systèmes très fortement chaotiques, dits B-systèmes (le B est pour Bernoulli)<ref>On a l'implication : <math>B\Longrightarrow K</math>, la réciproque étant fausse en général. Les systèmes K et B possèdent une entropie de Kolmogorov-Sinai positive.</ref>. Cette amplification des erreurs rend rapidement totalement inopérant le pouvoir prédictif qui découle de l'unicité de la solution, assurée par Cauchy-Lipschitz.

Typiquement, pour un système chaotique, les erreurs croissent localement selon une loi du type <math>\textstyle e^\frac{t}{\tau}</math>, où <math>\tau</math> est un temps caractéristique du système chaotique, appelé parfois horizon de Liapounov<ref>L'inverse du temps <math>\tau</math> est appelé un exposant de Liapounov.</ref>. Le caractère prédictible de l'évolution du système ne subsiste que pour les instants <math> t \ll \tau </math>, pour lesquels l'exponentielle vaut approximativement 1, et donc tels que l'erreur garde sa taille initiale. En revanche, pour <math> t \gg \tau </math>, toute prédiction devient pratiquement impossible, bien que le théorème de Cauchy-Lipschitz reste vrai.

Postérité des travaux de Poincaré

Poincaré et la stabilité du Système solaire

Un siècle après Laplace, Henri Poincaré s'est attelé au problème de la stabilité du Système solaire. Entre 1880 et 1886, il commence par publier une série de mémoires intitulés : « Sur les courbes définies par une équation différentielle » qui donne naissance à l'analyse qualitative des équations différentielles. Poincaré y introduit notamment la notion capitale de portrait de phase, qui résume géométriquement l'aspect des solutions dans l'espace des phases du système. Puis, en 1890, il publie le fameux mémoire intitulé : « Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique », qui lui vaut le prix du roi Oscar, roi de Norvège et de Suède et passionné de mathématiques<ref>Le jury est composé de Weierstrass, Mittag-Lefflet et Hermite.</ref>. L'histoire est célèbre<ref>June Barrow-Green ; Poincaré & the three-body problem, History of Mathematics (Vol. 11), American Mathematical Society & London Mathematical Society (1997).</ref> : le mémoire lauréat comporte une erreur, détectée par le jeune mathématicien Lars Edvard Phragmén alors qu'il prépare le manuscrit pour l'imprimeur. Cette erreur oblige Poincaré à procéder à de profonds remaniements dans son mémoire, et aussi à rembourser les frais d'impression du premier mémoire, une somme supérieure de quelque mille couronnes au prix qu'il avait reçu. Mais cette erreur s'avère féconde, car en lieu et place de la stabilité du Système solaire, Poincaré découvre alors le chaos potentiel caché dans les équations de la dynamique.

Plus récemment, des calculs numériques effectués par l'astronome Jacques Laskar en 1989-1990<ref>Lire e.g. : Jacques Laskar ; La stabilité du Système solaire, dans : Amy Dahan Dalmedico, Jean-Luc Chabert & Karine Chemla (sous la direction de) ; Chaos & déterminisme, Points Sciences, Le Seuil (1992), Modèle:ISBN ; et : Jacques Laskar ; Chaos in the Solar System, conférence plénière donnée à TH2002 (Paris, juillet 2002). Format pdf.</ref>, puis confirmés par Sussman & Wisdom en 1992<ref>G.J. Sussman & J. Wisdom ; Chaotic evolution of the solar system, Science 257 (1992), 56-62.</ref>, montrent que le Système solaire est chaotique, avec un horizon de Liapounov de l'ordre de 200 millions d'années.

L'école russe des années 1890-1950

Liapounov et la stabilité du mouvement

Le Modèle:Date-, Alexandre Liapounov soutient à l'université de Moscou une thèse de doctorat intitulée : Le Problème général de la stabilité du mouvement. Il y introduit l'idée de mesurer la divergence possible entre deux orbites issues de conditions initiales voisines et définit la « stabilité de Liapounov ». Lorsque cette divergence croît exponentiellement avec le temps pour presque toutes les conditions initiales voisines d'un point donné, on a le phénomène de sensibilité aux conditions initiales, idée à laquelle sont attachés les exposants de Liapounov, qui donnent une mesure quantitative de cette divergence exponentielle locale<ref>La divergence n'est en général exponentielle que localement. Rappelons en effet qu'un système chaotique possède le plus souvent un espace des phases compact, propriété qui permet l'existence d'un phénomène de récurrence.</ref>.

L'école de Gorki : 1930-1940

Andronov – Pontriaguine

Prédictibilité et calculabilité

Norbert Wiener et John von Neumann se sont préoccupés pourtant de la possibilité de prédire par le calcul une situation future à partir d'un état présent. Si Wiener jugeait la tâche ardue, voire impossible puisque de « petites causes » qu'on omettrait nécessairement d'inclure dans le modèle peuvent produire de « grands effets » (il donna l'image du « flocon de neige déclenchant une avalanche »), Von Neumann y voyait une occasion exceptionnelle pour les nouveaux appareils que l'on n'avait pas encore baptisés ordinateurs : « Si un flocon de neige peut déclencher une avalanche », répondait-il à Wiener, « alors la prédiction par le calcul nous dira très exactement quel flocon de neige précis intercepter pour que l'avalanche ne se produise pas ! » Wiener se montra sceptique : un état hypercritique restait un état hypercritique, et supprimer ce flocon particulier ne ferait à son avis que « permettre à un autre de le remplacer dans cette fonction ». Selon lui, rien ne serait donc résolu (point de vue admis aujourd'hui). Les deux hommes ne poussèrent pas plus avant ce différend.

Décidabilité

Les mathématiciens brésiliens Francisco Dória et Modèle:Lien) ont prouvé que la théorie du chaos est indécidable (preuve publiée en 1991)<ref name="Stewart">Ian Stewart, «Deciding the undecidable," Nature vol. 352, pp. 664–665 (1991) et I. Stewart, From Here to Infinity, Oxford (1996).Modèle:Commentaire biblio.</ref> et que si elle est correctement axiomatisée au sein de la théorie des ensembles classique, alors elle est incomplète dans la théorie des ensembles classique au sens de Gödel<ref>NCA da Costa et FA Dória, "Undecidability and incompleteness in classical mechanics", Int. J. Theor. Physics vol. 30, pages 1041-1073 (1991). Modèle:Commentaire biblio</ref>. Le mathématicien Morris Hirsch avait formulé le problème de la décision concernant les systèmes dynamiques chaotiques.

Lorenz et la météorologie

Présentation

Fichier:Attracteur étrange de Lorenz.png

Attracteur de Lorenz.

Bien que le caractère vraisemblablement chaotique de la météorologie fut pressenti par Henri PoincaréModèle:Note, le météorologue Edward Lorenz est néanmoins considéré comme étant le premier à le mettre en évidence, en 1963<ref>Edward N. Lorenz, Deterministic non-periodic flow, Journal of the Atmospheric Sciences 20(2) (1963), 130–141. Format pdf.</ref>.

Mathématiquement, le couplage de l'atmosphère avec l'océan est décrit par le système d'équations aux dérivées partielles couplées de Navier-Stokes de la mécanique des fluides. Ce système d'équations était beaucoup trop compliqué à résoudre numériquement pour les premiers ordinateurs existant au temps de Lorenz. Celui-ci eut donc l'idée de chercher un modèle très simplifié de ces équations pour étudier une situation physique particulière : le phénomène de convection de Rayleigh-Bénard. Il aboutit alors à un système dynamique différentiel possédant seulement trois degrés de liberté, beaucoup plus simple à intégrer numériquement que les équations de départ. Il observa alors, par pur hasard, qu'une modification minime des données initiales (de l'ordre de un pour mille) entraînait des résultats très différents. Lorenz venait de mettre en exergue la sensibilité aux conditions initiales.

La métaphore du papillon

En 1972, Lorenz fait une conférence à l'American Association for the Advancement of Science intitulée<ref>Le titre n'est en fait pas de Lorenz, mais d'un autre météorologue, Philip Merilees, organisateur de la conférence ; Lorenz l'a découvert trop tard pour pouvoir en changer. Cf. Nicolas Witkowski : La chasse à l'effet papillon, Alliage 22 (1995), 46-53.</ref>: « Predictability: Does the Flap of a Butterfly's Wings in Brazil Set off a Tornado in Texas? », qui se traduit en français par :

Cette métaphore, devenue emblématique du phénomène de sensibilité aux conditions initiales, est souvent interprétée à tort de façon causale : ce serait le battement d'ailes du papillon qui déclencherait la tempête. Il n'en est rien ; Lorenz écrit en effet<ref>Edward N. Lorenz ; Un battement d'ailes de papillon au Brésil peut-il déclencher une tornade au Texas ?, Alliage 22 (1993), 42-45. Traduction française du texte de la conférence de 1972, publié (en anglais) dans : The essence of chaos, The Jessie and John Danz Lecture Series, University of Washington Press (1993). Ce livre contient une série de conférences de vulgarisation données à l'université de Washington (Seattle) en 1990.</ref>:

Modèle:Début citationDe crainte que le seul fait de demander, suivant le titre de cet article, « un battement d'ailes de papillon au Brésil peut-il déclencher une tornade au Texas ? », fasse douter de mon sérieux, sans même parler d'une réponse affirmative, je mettrai cette question en perspective en avançant les deux propositions suivantes :

• si un seul battement d'ailes d'un papillon peut avoir pour effet le déclenchement d'une tornade, alors, il en va ainsi également de tous les battements précédents et subséquents de ses ailes, comme de ceux de millions d'autres papillons, pour ne pas mentionner les activités d'innombrables créatures plus puissantes, en particulier de notre propre espèce ;
• si le battement d'ailes d'un papillon peut déclencher une tornade, il peut aussi l'empêcher.Modèle:Fin citation

Il serait plus juste de dire que la différence de cause (ici de conditions initiales) due à un battement d'ailes du papillon « induit » une différence d'effet qui est la tornade ; le battement d'ailes ne la provoque pas !

L'école russe des années 1950-1980

Modèle:Article détaillé Anosov – Sinaï - Arnold

Transition d'une dynamique régulière vers le chaos

Soit un système dynamique dépendant d'un paramètre <math>r </math> :

<math>\frac{dx(t)}{dt} \ = \ f_{r}(x(t),t) </math>

Il arrive que la dynamique change de comportement lorsque le paramètre <math>r </math> varie. On a pu mettre en évidence trois grands scénarios de passage d'une dynamique régulière à une dynamique chaotique lors de la variation d'un paramètre.

Cascade de doublements de période

Fichier:LogisticMap BifurcationDiagram.png

Bifurcation vers le chaos par doublement de période.

Mitchell Feigenbaum a redécouvert une route vers le chaos qui avait été étudiée dans les années 1960 par Myrberg. Aujourd'hui, cette route est appelée « cascade de doublements de période » pour décrire la transition entre un comportement périodique et un attracteur chaotique. Ce scénario est observé par exemple avec la suite logistique, qui est définie par récurrence par une application du segment [0, 1] dans lui-même :

<math>x_{n+1} \ = \ r \, x_n \ (1 - x_n)</math>

où Modèle:Mvar = 0, 1, … dénote le temps discret, Modèle:Mvar l'unique variable dynamique, et <math>0 \le r \le 4</math> un paramètre<ref>Lorsque le paramètre Modèle:Mvar devient supérieur à 4, l'application sort de l'intervalle [0, 1].</ref>. La dynamique de cette application présente un comportement très différent selon la valeur du paramètre <math>r</math> :

• Pour <math>0 \le r < 3 </math>, le système possède un point fixe attractif, qui devient instable lorsque <math>r = 3</math>.
• Pour <math>3 \le r <3{,}57\dots<</math>, l'application possède un attracteur qui est une orbite périodique, de période <math>2^n</math> où n est un entier qui tend vers l'infini lorsque <math>r</math> tend vers 3,57…
• Lorsque <math>r =3{,}57\dots<</math>, l'application possède un attracteur chaotique fractal découvert par le biologiste May (1976)<ref>R. M. May, Nature 261 (1976), 459.</ref>.
• Le cas <math>r = 4</math> avait été étudié dès 1947 par Ulam et von Neumann<ref>Stanislas Ulam & John Von Neumann, Bulletin of the American Mathematical Society, 53 (1947), 1120.</ref>. À noter qu'on peut dans ce cas précis établir l'expression exacte de la mesure invariante ergodique<ref>Pierre Collet & Jean-Pierre Eckmann, Iterated Maps on the Interval as Dynamical Systems, Birkhaüser, 1980.</ref>.

Lorsque le paramètre Modèle:Mvar augmente, on obtient donc une succession de bifurcations entre les comportements périodiques et le chaos, résumée sur la figure ci-contre.

Scénario de Ruelle-Takens

Par quasi-périodicité… Modèle:...

Scénario de Pomeau-Manneville

Modèle:... Par intermittence…

Quelques exemples

• Transformation du boulanger. La transformation du boulanger a de nombreuses variantes, qui toutes ont pour point commun de « faire remonter » très vite au niveau macroscopique d'infimes différences microscopiques, plus faible que la résolution de l'instrument utilisé.
• Transformation du photomaton.

Applications

• Astrophysique : Étoiles variables à Courbe de lumière irrégulière, Du chaos dans la musique des étoiles [1]
• Économie : son modèle simplifié décrit les cycles économiques<ref>Modèle:Ouvrage</ref><ref>Modèle:Article</ref><ref>Modèle:Article</ref>, l'évolution de la bourse <ref>Modèle:Article</ref>, du prix de l'or ou l'évolution d'une population donnée<ref>Trinh Xuan Thuan, Le chaos et l'harmonie : la fabrication du réel, Éditions Gallimard, page 192.</ref>
• Psychologie du développement : Esther Thelen a décrit le développement des premières acquisitions motrices de l'enfant et ses premiers apprentissages implicites (acquisition de la marche) en utilisant les modélisations issues des théories des systèmes dynamiques et théorie du chaos. Son approche était novatrice et a fortement influencé les modèles théoriques de la psychologie du développement après la publication de deux ouvrages de référence sur le sujet en 1993 et 1994 (co-auteur, Linda Smith) <ref>Thelen, E. and Smith, L.B. (1994). A Dynamic Systems Approach to the Development of Cognition and Action. Cambridge, Mass.: MIT Press</ref><ref>Smith, L. B., & Thelen, E. E. (1993). A dynamic systems approach to development: Applications. In This book grew out of a workshop," Dynamic Systems in Development," held for the Society for Research in Child Development in Kansas City, KS, Apr 1989.. The MIT Press.</ref>. Ce champ d'investigation est la Modèle:Lien.

Bibliographie

Bibliothèque virtuelle

• David Ruelle, Chaos, imprédictibilité et hasard, conférence de vulgarisation donnée en 2000 par l'auteur à l'Université de tous les savoirs, puis publiée dans : Qu'est-ce que l'Univers ? (éd. Y. Michaud), Odile Jacob (2000), 647-656. Texte complet disponible au format pdf.
• Académie des sciences morales et politiques ; Le chaos, dans : Implications philosophiques de la science contemporaine (2001), groupe de travail présidé par Bernard d'Espagnat :
  • François Lurcat, Le chaos & l'occident, format pdf.
  • Éric Bois, De quelques enjeux philosophiques du phénomène du chaos, format pdf.
  • Débat, format pdf.
• {{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Modèle:Lien, Roberto Artuso, Ronnie Mainieri et Gábor Vattay, The Chaos Webbook, (Version 11 - Modèle:Date-). Ouvrage de référence en ligne écrit par Predrag Cvitanović (Niels Bohr Institute, Copenhague) et ses collaborateurs.

Ouvrages de vulgarisation

• Amy Dahan-Dalmedico, Jean-Luc Chabert et Karine Chemla (sous la direction de), Chaos & déterminisme, Points Sciences, Le Seuil (1992), Modèle:ISBN. Un ouvrage collectif au format poche, divisé en trois parties : Approches mathématiques, Physique & Calcul, et Quelques retours sur l'histoire et la philosophie, écrits par quelques-uns des meilleurs spécialistes actuels du domaine.
• David Ruelle, Hasard & Chaos, Collection Opus 89, éditions Odile Jacob, 1991 Modèle:ISBN. Ouvrage d'introduction au chaos au format poche par un expert, professeur de physique théorique à l'IHES.
• Pierre Bergé, Yves Pomeau et Monique Dubois-Gance, Des rythmes au chaos, Collection Opus 64, Éditions Odile Jacob, 1997 Modèle:ISBN. Un autre ouvrage d'introduction au format poche, par des spécialistes français.
• {{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Modèle:Lien et Philip Holmes, Celestial Encounters - The Origin of Chaos, Princeton University Press, 1996 Modèle:ISBN. L'origine du "chaos" moderne se trouve dans les travaux pionniers d'Henri Poincaré réalisés à la fin du Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle à propos d'un vieux problème de mécanique newtonienne : le problème à N corps. Les auteurs, mathématiciens spécialistes du domaine, retracent l'histoire de ce problème et de ses développements de Poincaré à nos jours. Vulgarisation accessible à partir du premier cycle universitaire.
• Ivar Ekeland, Le Chaos, Dominos, Flammarion, 1995 Modèle:ISBN. Un ouvrage vulgarisant les notions de la théorie du chaos.
• James Gleick, La Théorie du chaos, Albin Michel, 1989 Modèle:ISBN. Réédité par Flammarion, 1991. Bestseller, a influencé les auteurs Michael Crichton (Jurassic Park) et Tom Stoppard (Arcadia).
• Julien Gargani, Poincaré, le hasard et l’étude des systèmes complexes, L'Harmattan, 2012. un ouvrage d'histoire et philosophie des sciences.
• Modèle:Lien et David Peat, Un miroir turbulent, Dunod, 1997 Modèle:ISBN. Un ouvrage de vulgarisation de la théorie du chaos.
• Vincent Fleury, Arbres de pierre, 1998. Ouvrage de vulgarisation qui part de l'histoire des dendrites pour introduire la morphogenèse (sensible) et articuler les relations entre structures compactes et arborescentes.
• Étienne Ghys, La Théorie du chaos. Une conférence enregistrée pour rendre ce concept accessible à tous, une coédition De vive voix - Académie des sciences, 2011 (ce CD a reçu le prix Lire dans le noir du livre audio 2011).

Textes techniques

• Modèle:Ouvrage
• {{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Devaney, Robert L. (2003). An Introduction to Chaotic Dynamical Systems (2nd ed.). Westview Press. Modèle:ISBN.
• Pierre Bergé, Yves Pomeau et Christian Vidal, L'ordre dans le chaos - Vers une approche déterministe de la turbulence, Hermann, 1988 Modèle:ISBN. Un ouvrage d'introduction au chaos par des experts français, accessible dès le premier cycle universitaire. Prix Henri-Poincaré 1990 de l'Académie des Sciences.
• Gilles Deleuze, Félix Guattari, Du chaos au cerveau dans Qu'est-ce que la philosophie?, Paris, Les éditions de minuit, 1991
• Christophe Letellier, Le Chaos dans la nature, Vuibert, 2006 Modèle:ISBN. Un ouvrage d'introduction tant aux aspects historiques qu'aux concepts techniques par un expert français.
• {{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} T. W. B. Kibble et F.H. Berkshire, Classical Mechanics, Prentice Hall, Modèle:4e édition, 1997 Modèle:ISBN. Un excellent cours d'introduction à la mécanique, des fondements newtoniens jusqu’aux formalismes plus avancés de Lagrange et de Hamilton. Kibble est professeur émérite de Physique Théorique de l'Imperial College de Londres. Pour cette Modèle:4e édition (avec un coauteur), deux chapitres d'introduction aux idées de la théorie du chaos ont été inclus. Niveau : à partir du premier cycle universitaire. (N.B. : Il a existé une traduction française de l'édition précédente, publiée en son temps par Dunod.)
• {{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Kathleen T. Alligood, Tim Sauer et Modèle:Lien, Chaos: An Introduction to Dynamical Systems, Springer-Verlag, 1997 Modèle:ISBN
• {{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} David Ruelle, Deterministic chaos: the science and the fiction, Proceedings of the Royal Society London A 427 (1990), 241-248
• Henri Poincaré, Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, 3 volumes, Éditions Gauthiers-Villars, 1892
• Jacques Hadamard, Les surfaces à courbures opposées et leurs lignes géodésiques, Journal de mathématiques pures et appliquées 4 (1898), 27. Pour une revue plus récente, voir e.g. la référence suivante : Pierre Pansu, Le flot géodésique des variétés Riemanniennes à courbure négative, Séminaire Bourbaki 738 (1991) publié dans : Astérisque 201-203 (1991) 269-298.
• {{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Orlando, Giuseppe; Pisarchick, Alexander; Stoop, Ruedi (2021). Nonlinearities in Economics | SpringerLink. Dynamic Modeling and Econometrics in Economics and Finance. Vol. 29. doi:10.1007/978-3-030-70982-2. Modèle:ISBN. S2CID 239756912.
• {{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Vladimir Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer-Verlag, Modèle:2e édition, 1989 Modèle:ISBN. Une synthèse de l'état de l'art en mécanique analytique (formalismes lagrangien & hamiltonien) avec l'accent mis sur l'interprétation géométrique de ces formalismes, par l'un des plus brillants mathématiciens du domaine. À partir du second cycle universitaire.
• {{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Vladimir Arnold, V.V. Kozlov et A.I. Neishtadt, Mathematical Aspects of Classical and Celestial Mechanics, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Springer-Verlag (Modèle:2e édition-1993). Une synthèse de l'état de l'art en mécanique céleste, par l'un des plus brillants mathématiciens du domaine (Arnold) et ses collaborateurs. À partir du second cycle universitaire.
• {{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Vladimir Arnold et André Avez, Ergodic problems of classical mechanics, Advanced Book Classics, Addison-Wesley, 1988. Réédition d'un ouvrage classique écrit en 1968.
• {{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} David Ruelle et Jean-Pierre Eckman, Ergodic theory of chaos and strange attractors, Review of Modern Physisc 57 (1985), 617-656
• {{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Vladimir Damgov, Nonlinear and parametric phenomena - Applications in radiophysical and mechanical systems, World Scientific, Series on Nonlinear Sciences, 2004.
• René Lozi, Can we trust in numerical computations of chaotic solutions of dynamical systems ?, in Topology and Dynamics of Chaos In Celebration of Robert Gilmore’s 70th Birthday, World Scientific Series on Nonlinear Science, 84, 2013, pp.63-98

Aspects historiques

• {{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} David Aubin, A Cultural History of Catastrophes and Chaos: Around the Institut des Hautes Études Scientifiques, France 1958-1980, Ph.D., université de Princeton, 1998, UMI #9817022 Modèle:Lire en ligne au format pdf
• Modèle:Article
• Modèle:Article
• Modèle:Chapitre
• Modèle:Chapitre.

Voir aussi

Liens externes

• Modèle:Autorité
• Modèle:Bases
• Modèle:Dictionnaires
• Découverte de la théorie du chaos de A à Z
• Contrôle de systèmes chaotiques
• La revue Chaos, une des revues scientifiques de référence (en anglais)
• Étienne Ghys, « L'attracteur de Lorenz, paradigme du chaos » Modèle:Pdf Modèle:Taille fichier
• Jos Leys, Étienne Ghys et Aurélien Alvarez, Chaos, une aventure mathématique